Iniciamos este libro GeoGebra con los Babilonios y la finalizamos con una reinterpretación de su trabajo. Como lo hemos comentado, para ellos, resolver la ecuación [math]x^2+c=bx[/math]era equivalente a encontrar dos números, uno de los cuales es [math]x[/math], y el otro digamos [math]y[/math] tales que [math]x+y=b[/math]y [math]x.y=c[/math]. ¡Realmente fue al contrario, pero para nuestros propósitos podemos pensarlo de esa manera!. Lo cual, geométricamente, en los tiempos de Apolonio, podíamos haberlo pensado como: Hallar el punto de intersección de la recta [math]x+y=b[/math]y la hipérbola [math]x.y=c[/math]; sin embargo estaríamos infringiendo la filosofía de los Griegos: Utilizar únicamente herramientas Euclidianas. [br][br]Podemos reinterpretar este proceso, para las raíces reales, de una manera diferente y adaptarnos a la manera de pensar Griega. De manera semejante podemos proceder para obtener las raíces complejas. Veamos esto.

[b]La construcción.[/b][br][br]Consideramos la ecuación [math]x^2+bx+c=0[/math]con [math]b,c[/math] números reales la cual, como sabemos es equivalente al sistema de ecuaciones  [math]x+y=-b[/math]y [math]x:y=c.[/math][br]Al elevar al cuadrado la expresión [math]x+y=-b[/math] se obtiene [math]x^2+2xy+y^2=b^2[/math] que, utilizando la expresión [math]xy=c[/math], se puede escribir como [math]x^2+y^2=b^2-2c[/math] y por tanto se tiene que [math]x^2+y^2=b^2-2c[/math] y [math]x+y=-b[/math].[br][br]En estas condiciones: [br]Si [math]b^2-2c>0[/math]las raíces reales de la ecuación [math]x^2+bx+c=0[/math]se pueden encontrar como las abcisas de los puntos de corte de la circunferencia [math]x^2+y^2=b^2-2c[/math] y la recta [math]x+y=-b.[/math]

La condición [math]b^2-2c>0[/math], implica la existencia de la circunferencia [math]x^2+y^2=b^2-2c[/math]pero no necesariamente su intersección con la recta [math]x+y=-b.[/math]Por ejemplo, con [math]b=-4,c=5[/math] se tiene la ecuación [math]x^2-4x+5=0[/math] para la cual [math]b^2-2c=6>0[/math], la circunferencia tiene por ecuación [math]x^2+y^2=6[/math], la ecuación de la recta  es [math]x+y=4[/math], pero estas no se intersectan, es decir, esta ecuación posee raíces complejas.[br]Como es conocido la ecuación [math]x^2+bx+c=0[/math]posee raíces reales siempre y cuando [math]b^2-4c\ge0.[/math]

[b]La construcción. [br][/b][br]Para las raíces complejas ¡que no se concebían en la época de los babilonios!, podemos proceder de[br]una manera análoga.  [br]Si [math]x=r+si[/math]es una solución compleja de la ecuación [math]x^2+bx+c=0[/math]entonces  [math]x^2+bx+c=\left(x-\left(r+si\right)\right)\left(x-\left(r-si\right)\right)=x^2-2rx+\left(r^2+s^2\right)[/math] por lo que [math]b=-2r[/math] y [math]r^2+s^2=c.[/math] [br][br]En estas condiciones: [br][br]Si [math]c>0[/math]las raíces, complejas, de la ecuación [math]x^2+bx+c=0[/math]se pueden encontrar como los puntos de corte de la circunferencia [math]x^2+y^2=c[/math] y la recta paralela al eje [math]y[/math], [math]x=-\frac{b}{2}.[/math]

Observese que cuando [math]\sqrt{c}=\frac{b}{2}[/math]o [math]\sqrt{c}=-\frac{b}{2}[/math] entonces la recta  [math]x=-\frac{b}{2}[/math] es tangente a la circunferencia [math]x^2+y^2=c[/math] precisamente en el punto [math]\left(-\frac{b}{2},0\right)[/math] y por tanto su abcisa corresponde a una raíz real doble de la ecuación.