[justify]Considere a pirâmide P, de altura h e base [math]ABCDE[/math] de área [math]A1[/math], contida em um plano horizontal [math]\alpha[/math], e um plano [math]\beta[/math], paralelo a [math]\alpha[/math]e secante à pirâmide. O plano [math]\beta[/math] determina uma secção transversal [math]abcde[/math] de área [math]A2[/math], que é base da pirâmide Q de altura d (pirâmide menor) e semelhante à base [math]ABCDE[/math]. Se os lado [math]AB[/math] da pirâmide P e os lados [math]ab[/math] da pirâmide Q são os comprimentos dos lados correspondentes de dois polígonos semelhantes das áreas[math]A1[/math] e [math]A2[/math]´, então:[br][br][br][math]\frac{A1}{A2}=\left(\frac{AB}{ab}\right)^2[/math][/justify]

[justify]Note, na figura anterior, que as respectivas faces laterais das pirâmides Q e P são triângulos semelhantes. Usando semelhança de triângulos, pode-se demonstrar que as bases de áreas [math]A1[/math] e [math]A2[/math] são polígonos semelhantes, com razão de semelhança [br][/justify][math]\frac{h}{d}[/math] , então, [math]\frac{A1}{A2}=\left(\frac{h}{d}\right)^2[/math][br][br]

[justify]Agora, considere duas pirâmides M e N de mesma medida h de altura, com bases de mesma área [math]A_M[/math] e [math]A_N[/math] contidas em um plano horizontal [math]\alpha[/math]. Qualquer plano [math]\beta[/math], paralelo a [math]\alpha[/math] e secante às pirâmides, determina duas secções transversais de áreas [math]S_M[/math] e [math]S_N[/math], respectivamente. Veja o exemplo na janela 3d abaixo.[/justify]

Vimos anteriormente que a razão entre a área da base e da secção transversal de cada pirâmide vale[br][br][math]\frac{A_M}{A_M}=\left(\frac{h}{d}\right)^2[/math] e [math]\frac{A_N}{S_N}=\left(\frac{h}{d}\right)^2[/math].[br][br]Logo, = [math]\frac{A_M}{S_M}=\frac{A_N}{S_N}[/math].[br][justify][br]Como [math]A_M[/math] = [math]A_N[/math], concluímos que [math]S_M[/math]= [math]S_N[/math] para qualquer plano [math]\beta[/math] paralelo a [math]\alpha[/math]. Com isso, pelo princípio de Cavalieri, como todas as secções transversais de duas pirâmides de mesma altura têm áreas iguais, então seus volumes são iguais. Provamos, assim, que duas pirâmides de mesma base e com mesma altura têm volumes iguais. Esse fato será utilizado a seguir para determinar o volume de uma pirâmide.[/justify]

Para calcular o volume de uma pirâmide qualquer, primeiramente, vamos considerar o prisma reto de base triangular. Esse prisma pode ser decomposto em três pirâmides triangulares, como mostram [br]as figuras a seguir. a seguir.

[b][size=150]Observe que:[/size][/b][br][br][justify]• as pirâmides [b]I[/b] e [b]II [/b]têm a mesma altura (altura do prisma), têm bases congruentes [math](\Delta ABC\cong\Delta DEF[/math], pois cada triângulo é uma base do prisma) e, portanto, as pirâmides[b] I[/b] e [b]II [/b]têm o mesmo volume;[br][br]• considerando as pirâmides [b]II[/b] e [b]III[/b] com respectivas bases [math]CEF[/math] e [math]BCE[/math], a altura (distância do ponto [math]D[/math]ao retângulo [math]BCFE[/math]) dessas pirâmides é a mesma, têm bases congruentes ([math]\Delta CEF\cong\Delta BCE[/math], pois cada um desses triângulos é a metade do retângulo [math]BCFE[/math]) e, portanto, novamente, as pirâmides [b]II[/b] e [b]III [/b]têm o mesmo volume. [br][br]Logo, as pirâmides [b]I[/b],[b] II[/b] e[b] III [/b]têm o mesmo volume, ou seja, [math]V_1=V_2=V_3[/math].[/justify]Seja [math]V_{prisma}[/math]= [math]V_1+V_2+V_3[/math](soma dos volumes das três pirâmides) e considerando [math]V_1=V_2=V_3=V[/math], temos:[br][br][br][math]V_{prisma}=V+V+V\Longrightarrow V_{prisma}=3V\Longrightarrow V=\frac{V_{prisma}}{3}[/math][br][br]Assim, o volume de cada pirâmide é igual a [math]\frac{1}{3}[/math] do volume do prisma triangular dado. Como o volume do prisma é [math]V_{prisma}=A_b.h[/math], podemos escrever: [math]V=\frac{V_{prisma}}{3}[/math] ou [math]\Longrightarrow V=\frac{A_b.h}{3}[/math][br][br]

[justify]1ª QUESTÃO: Em uma feira de artesanato, foi construída uma tenda com tecido no formato de uma pirâmide hexagonal regular com [math]8m[/math]de altura e aresta da base medindo [math]4\sqrt{3}m[/math]. Considerando que quem armou a tenda deixou uma das faces laterais como porta (sem fechamento do tecido), calcule a quantidade de tecido necessária para a cobertura da tenda. [br][br][b]Resolução:[/b] Primeiro vamos representar a tenda e sua base:[/justify]

No triângulo [math]AOB[/math], [math]m[/math]é a medida do apótema da base, então:[br][br] [math]m=\frac{l\sqrt{3}}{2}\Longrightarrow[/math] [math]m=\frac{4\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}=6\Longrightarrow m=6[/math] [br][br]Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo [math]VOM[/math], temos:[br][br][math]g^2=6^2+8^2\Longrightarrow g^2=36+64=100\Longrightarrow g=10[/math] pois [math]g>0[/math][br][br]Cálculo de área [math]A_f[/math] de uma face da pirâmide:[br][br][math]A_f=\frac{l.g}{2}\Longrightarrow A_f=\frac{4\sqrt{3}.10}{2}=20\sqrt{3}\Longrightarrow A_f=20\sqrt{3}[/math][br] [br]Como uma das faces laterais não usará tecido (porta), a área lateral será dada por:[br][br][math]5.20\sqrt{3}m^2=100\sqrt{3}m^2[/math][br][br][b]Portanto, serão necessários [/b][math]100\sqrt{ }3m^2[/math][b]de tecido. Se resolvemos essa expressão, teremos um resultado mais preciso, veja: [br][br] [/b][math]100.\sqrt{3}=100.1.7320=173,20m^2[/math][b] de tecido.[/b]

[br]Como [math]V=\frac{1.A_b.h}{3}[/math], precisamos determinar a área da base [math](A_b).[/math] A base é um quadrado, logo:[br][br][math]A_b=l^2\Longrightarrow A_b=3^2=9\Longrightarrow A_b=9cm^2[/math]. [br][br]Cálculo do volume (V):[br][br][math]V=\frac{1.A_b.h}{3}\Longrightarrow V=\frac{1.9.10}{3}=30\Longrightarrow V=30cm^3[/math][br][br]Portanto, o volume da pirâmide é [math]30cm^3[/math]

1-Em uma pirâmide quadrangular regular, cada aresta lateral mede 15 cm e cada aresta da base mede [br]18 cm. [br][br][br]Calcule e marque alternativa correta:

2- (UFPE) Uma pirâmide hexagonal regular tem a medida de 3 cm de aresta base. Se a altura da pirâmide mede 6 cm, assinale o inteiro mais próximo do volume da pirâmide, em [math]cm^3[/math].