Funcions 2n ESO
Unitat 4: Funcions i gràfiques
Table of Contents
- Concepte de funció, fórmules i taules de valors
- Concepte de funció
- Gràfiques de funcions
- Coordenades d'un punt
- Coordenades d'un punt en el pla cartesià
- Situar punt en el pla cartesià
- Punts funcions
- Punt en gràfic
- Funcions de proporcionalitat directa
- Funció de proporcionalitat directa
- Comprant xocolatines
- Funcions afins
- Funció AFÍ
- Gràfica funció lineal
- Funcions de proporcionalitat inversa
- Funció de proporcionalitat inversa
- Problema del gimnàs
- Anàlisi gimnasos (continu)
- Anàlisi gimnasos (discontinuïtats)
- Anàlisi gimnasos (constància)
Concepte de funció
Exemple: Pomes comprades i preu total
En Marc va a comprar pomes. Cada poma val 2€. La relació entre el nombre de pomes comprades i el cost total el podem expressar com una equació de dues variables: f(x) = 2x[br][br]- x representa el nombre de pomes comprades[br]- f(x) és el cost total en funció de les pomes que hem comprat[br][br][b]També ho podem expressar en forma de taula:[/b][br][table][tr][td]x[/td][td]0[/td][td]1[/td][td]2[/td][td]3[/td][td]4[/td][/tr][tr][td]f(x)[/td][td]0[/td][td]2[/td][td]4[/td][td]6[/td][td]8[/td][/tr][/table]Així, a la taula tenim expressat que:[br]- 0 pomes → 0€[br]- 1 poma → 2€[br]- 2 pomes → 4€[br]- 3 pomes → 6€[br]- etc.
Canviar de forma
Podem passar una funció de forma verbal a forma de taula o forma d'equació, per exemple:[br][br][br][b]D'enunciat verbal a fórmula:[br][/b][br]- El triple d'un nombre: f(x) = 3x[br]- L'oposat d'un nombre més dos: f(x) = - x + 2[br]- Set dividit entre un nombre: f(x) = 7/x[br][br][br][br][br][b]De fórmula a taula de valors:[br][br][/b]De la fórmula f(x) = 4x + 1 podem substituir x per omplir la taula següent:[br][br][table][tr][td]x[/td][td]0[/td][td]1[/td][td]2[/td][td]3[/td][/tr][tr][td]f(x)[/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][/tr][/table][br]f(0) = 4·0 + 1 = 1[br]f(1) = 4·1 + 1 = 5[br]f(2) = 4·2 + 1 = 9[br]f(3) = 4·3 + 1 = 13[br][br]I ara simplement omplim els forats amb els valors obtinguts:[br][br][table][tr][td]x[/td][td]0[/td][td]1[/td][td]2[/td][td]3[/td][/tr][tr][td]f(x)[/td][td]1[/td][td]5[/td][td]9[/td][td]13[/td][/tr][/table][br][br][br][br][b]De taula a fórmula:[br][/b][br]Donada la taula següent, treure la fórmula d'equació de la funció[br][br][table][tr][td]x[/td][td]0[/td][td]1[/td][td]2[/td][td]3[/td][/tr][tr][td]f(x)[/td][td]0[/td][td]5[/td][td]10[/td][td]15[/td][/tr][/table][br]De la taula següent podem veure que f(1) = 5, f(2) = 10, f(3) = 15...[br]Així que estem sempre multiplicant per 5. Així doncs, la fórmula ha de ser: f(x) = 5x
Coordenades d'un punt
Funció de proporcionalitat directa
Una funció de proporcionalitat directa segueix la fórmula següent: [math]f(x)=mx[/math][br][br]La seva gràfica és una recta que està definida per un paràmetre:[br]m: El pendent de la recta (inclinació)
Observa, comenta amb els teus companys i respon les preguntes.[br]a) Quina figura és la representació gràfica d'aquesta funció?[br]b) Quants parells de punts creus que necessitem per traçar-la?[br]c) On talla aquesta figura els eixos?[br]d) Mou el lliscador a i descriu amb les teves paraules quins efectes provoca al gràfic i a l'expressió analítica de la funció f.[br]e) A l'expressió de la funció. Què representa a?[br]f) A la representació gràfica si mous el lliscador a. Què observes?[br]g) Què passa si a = 0?
Funció AFÍ
Una funció afí, [math]f(x)=mx+n[/math], representa una recta que està definida per dos paràmetres:[br][br]m: El pendent de la recta (inclinació)[br]n: Ordenada en l'origen (valor de y quan x=0).
Funció de proporcionalitat inversa
Una funció de proporcionalitat inversa segueix la fórmula [math]f(x)=\frac{k}{x}[/math][br][br]Està definida per un paràmetre:[br]- k: La constant de proporcionalitat inversa[br][br][b][i]Exemples de funcions de proporcionalitat inversa a la vida real:[/i][br][br]Exemple 1:[/b][br]Un pastís que s'ha de dividir entre x amics:[br]- Fórmula: f(x) = 1/x[br]- x és el nombre d'amics[br]- f(x) és la porció que li tocaria a cada amic[br][br][b]Exemple 2:[/b][br]Un treball en grup de mates de 20 exercicis. Ens dividim els exercicis equitativament:[br]- Fórmula: f(x) = 20/x[br]- x és el nombre de gent del grup[br]- f(x) és el número d'exercicis que haurà de fer cada membre de l'equip[br]- Si faig el treball jo sol, f(1) = 20/1 = 20. Hauré de fer 20 exercicis[br]- Si faig el treball en parella, f(2) = 20/2 = 10. Cada persona farà 10 exercicis[br]- Si fem grups de quatre, f(4) = 20/4 = 5. Cada persona farà 5 exercicis[br]- Si només vull fer 2 problemes, quants membres ha de tenir el meu grup? 2 = 20/x, x=10. Haurem de ser un grup de 10 persones.
Mou el punt lliscant k, observa i contesta:[br]- Com canvia la gràfica en augmentar o disminuir k?[br]- Quina diferència observes si k és positiu o negatiu?[br]- Què creus que és k?[br]- A partir de la gràfica, com podem deduir el valor de k?
Anàlisi gimnasos (continu)
QUIN GIMNÀS ÉS MÉS RENTABLE?
El [color=#38761d][b]gimnàs verd[/b][/color] ens cobra una quantitat fixa cada mes.[br]El [b][color=#0000ff]gimnàs blau[/color][/b] ens cobra una quantitat fixa cada mes però també hem de pagar un únic cop per donar-nos d'alta.[br][b][br]Quin ens surt més a compte? Depèn de quants mesos anem al gym, pot ser millor opció anar al blau o al verd. El punt vermell del gràfic mostra quan el blau passa a ser millor opció.[br][/b][br]L'eix horitzontal representa els mesos que estem subscrits al gym.[br]L'eix vertical representa el que paguem en total.