La recta con geogebra
Estudio básico de la recta: gráfica, pendiente y ángulo de inclinación, ecuaciones, rectas paralelas, rectas secantes y rectas perpendiculares. Como anexos, sinopsis de función afín - función lineal - función constante y métodos de solución de sistemas de ecuaciones 2x2.
Table of Contents
- Controladores y Applets de Geogebra
- Geogebra: controladores y applets
- Generalidades de la recta
- Concepto de línea recta
- Pendiente de una recta
- Pendiente de una Recta y ángulo de inclinación
- Ecuaciones de la recta
- Ecuación normal u ordinaria de la recta: y = mx + b
- Ecuación simétrica o canónica de la recta: x/a + y/b = 1
- Ecuación general de la recta: Ax + By + C = 0
- Transformaciones entre las ecuaciones de la recta
- Ecuación de la recta dado pendiente y un punto
- Ecuación de la recta dados dos puntos
- Graficar una recta
- Graficar la recta dando la ecuación normal y = mx + b
- Graficar la recta dando ecuación general Ax + By + C = 0
- Graficar recta dando pendiente y un punto
- Posiciones relativas entre dos rectas en el plano
- Posiciones relativas entre dos rectas en el plano
- Anexo 1. Función afín, función lineal y función contante
- Sinopsis de función afín - lineal - constante y la recta
- Anexo 2. Solución de sistemas de ecuaciones lineales 2 x 2
- Solución gráfica de sistemas lineales 2x2
- Métodos de solución sistemas ecuaciones lineales 2 x 2
- Libros geogebra profedomingohely
- Libros geogebra profedomingohely
Geogebra: controladores y applets
[b]GeoGebra[/b] ([url=https://www.geogebra.org/]https://www.geogebra.org/[/url]) es un software matemático interactivo libre para la educación en colegios y universidades creado por Markus Hohenwarter, iniciado en el año 2001 como parte de su tesis de Master en la Universidad de Salzburgo.[br][br]Básicamente es un procesador geométrico y un procesador algebraico. Es un compendio de matemática con software interactivo que reúne geometría, álgebra, estadística y cálculo. También puede ser usado en física, proyecciones comerciales y otras disciplinas.[br][br][b]GeoGebra[/b] permite el trazado dinámico de construcciones geométricas de todo tipo así como la representación gráfica, el tratamiento algebraico y el cálculo de funciones reales de variable real, sus derivadas, integrales, etc.[br][br][br][b]Applets de geogebra [/b][br][br]Los [b]applets [/b]son pequeños programas o [b]aplicaciones[/b] que geogebra los integra dentro de una página web para dotarla de interactividad. Se crean por un [b]Contribuidor en geogebra [/b](persona que se ha registrado en [url=https://www.geogebra.org/]https://www.geogebra.org/[/url] y obtiene una cuenta), a partir de un archivo geogebra cuya extensión es [b].ggb.[/b]
[b]Controladores en geogebra[br][/b][br]Geogebra tiene definidos unos controladores u objetos de acción los cuales añaden interactividad y posibilidades de control sobre los objetos. [br][br]Los principales son:[br][list][*]Deslizadores[/*][/list][list][*]Casillas de entrada o campos de texto[/*][/list][list][*]Casillas de control de visualización[br][/*][/list][list][*]Botones[br][/*][/list][list][*]Botón Pausa-Reproduce[/*][/list] [br][b]Deslizadores[/b]: Son una representación gráfica de un número o de un ángulo libre. [br]El [b]dial del deslizador[/b] se puede mover desde un valor mínimo hasta un valor máximo. Estos valores se definen al momento de crear el deslizador.[br] [br][b]Casillas de entrada o campos de texto:[/b] Permiten ingresar datos que se asocian a un objeto específico.[br] [br][b]Casillas de control de visualización: [/b]Son representaciones gráficas de conmutadores entre dos estados: Verdadero (true = 1) y Falso (false = 0). [br] [br][b]Botones:[/b] Son elementos que se visualizan como caja rectangular. Cuando se hace clic sobre ellos se ejecutan las instrucciones de programación que se les ha asignado.[br] [br][b]Botón Pausa-Reproduce: [/b]Es un botón que reproduce/pausa la animación que está definida.[br][br][br][br]
Concepto de línea recta
Se pueden tener varios conceptos: [br][br]1. Línea recta es una sucesión de puntos en un misma dirección.
2. La recta es el lugar geométrico de los puntos que equidistan a dos puntos fijos.[br][br] [i]Lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades matemáticas.[/i]
3. La recta es el lugar geométrico de los puntos tales que, tomados dos cualesquiera del lugar geométrico, el valor de la pendiente es una constante.
[b]Resumen[br][/b][br]Algunos conceptos de línea recta:[br][br]- Línea recta es una sucesión de puntos en un misma dirección[br]- La recta es el lugar geométrico de los puntos que equidistan a dos puntos fijos[br]- La recta es el lugar geométrico de los puntos tales que, tomados dos cualesquiera del lugar geométrico, el valor de la pendiente es una constante[br][br][i]Lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades matemáticas.[/i][br]
Pendiente de una Recta y ángulo de inclinación
[b]Pendiente de una recta[/b][br][br]Pendiente de una recta [b](m)[/b], es la inclinación de la recta con relación al semieje positvo X. Se define como el cociente entre la [b]inclinación[/b] y el [b]avance[/b] entre dos puntos cualesquiera de la recta.[br][br] [math]m=\frac{\Delta Y}{\Delta X}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}[/math] [br][br] [math]\Delta[/math][b]X [/b]es el desplazamiento horizontal (en el eje X) y [math]\Delta[/math][b]Y[/b] es el desplazamiento vertical (en el eje Y). [br][br]Como [b]m[/b] es un cociente, se tienen varios casos:[br][br]- Los dos desplazamientos pueden ser positivos: horizontal hacia la derecha (+) y vertical hacia arriba (+).[br] [math]m=\frac{\Delta Y}{\Delta X}\Longrightarrow m=\frac{\left[+\right]}{\left[+\right]}=\left[+\right][/math] [b]m > 0[/b][br][br]- Los dos desplazamientos pueden ser negativos: horizontal hacia la izquierda (-) y vertical hacia abajo (-).[br] [math]m=\frac{\Delta Y}{\Delta X}\Longrightarrow m=\frac{\left[-\right]}{\left[-\right]}=\left[+\right][/math] [b]m > 0[/b][br][br]- Los dos desplazamientos pueden tener signos contrarios:[br] Horizontal hacia la derecha (+) y vertical hacia abajo (-),[br] [math]m=\frac{\Delta Y}{\Delta X}\Longrightarrow m=\frac{\left[-\right]}{\left[+\right]}=\left[-\right][/math] [b]m < 0[/b][br] Horizontal hacia la izquierda (-) y vertical hacia arriba (+),[br] [math]m=\frac{\Delta Y}{\Delta X}\Longrightarrow m=\frac{\left[+\right]}{\left[-\right]}=\left[-\right][/math] [b]m < 0[/b][br][br]- Uno de los desplazamientos es nulo:[br] Cuando [b]y[sub]2[/sub] = y[sub]1[/sub][/b] se tiene que, [math]\Delta Y=0\Longrightarrow m=\frac{0}{\Delta X}=0[/math] [b]m = 0[/b][br] Cuando [b]x[/b][sub]2[/sub][b] = x[/b][sub]1 [/sub]se tiene que, [math]\Delta X=0\Longrightarrow m=\frac{\Delta Y}{0}=?[/math] [b]m no está definida[/b][br][br]En el [b]applet[/b] que se muestra a continuación, mueva los puntos [b]P[sub]1[/sub][/b] y/o [b]P[sub]2[/sub][/b] y observe los desplazamientos. Active las casillas de verificación de los vectores y la casilla de [b]cálculos[/b].
[b]Ángulo de inclinación de una recta[br][br][/b]El ángulo de inclinación de una recta es el ángulo que forma la recta con el [b]eje X[/b]. Se mide desde el eje X hasta la recta en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj y siempre será positivo.[br][br]La figura [b]1[/b] muestra una recta en el plano cartesiano que pasa por los puntos [b]P[sub]1[/sub][/b] y [b]P[sub]2[/sub][/b]. [br][br] [math]\Theta[/math] es el ángulo de inclinación de la recta.[br][br]El triángulo [b]P[sub]1[/sub]AP[sub]2[/sub][/b] es triángulo rectángulo, por lo tanto se pueden aplicar en él las razones trigonométricas. [br][br]En este caso nos interesa [b]tangente[/b] que se define como [b]cateto opuesto/cateto adyacente[/b].[br] [math]tan\Theta=\frac{\Delta Y}{\Delta X}\Longrightarrow\Theta=tan^{-1}\left(\frac{\Delta Y}{\Delta X}\right)[/math][br][br]En la figura [b]1[/b], [math]\Delta Y=3[/math] y [math]\Delta X=4[/math], entonces [math]m=tan\Theta=\frac{3}{4}\Longrightarrow tan\Theta=0,75[/math][br] [math]\Theta=tan^{-1}\left(0,75\right)\Longrightarrow\Theta=36,87°[/math]. Es un ángulo agudo (medida menor de 90°).
De la recta que se muestra en la figura[b] 2 [/b]se puede obtener:[br] [math]m=tan\Theta=\frac{-2}{2}[/math] [math]tan\Theta=-1\Longrightarrow\Theta=tan^{-1}\left(-1\right)[/math] [math]\Theta=-45°[/math] pero también [math]\Theta=135°[/math][br][br]De las dos respuestas obtenidas se toma la segunda porque [b]el ángulo de inclinación de una recta debe ser siempre positivo[/b]. Obsérvese que la segunda respuesta corresponde al [b]suplemento[/b] del valor absoluto de la primera ([math]135°=180°-\left|-45°\right|[/math]).[br][br]En conclusión se tiene que el ángulo de inclinación de la recta de la figura [b]2[/b] es [math]\Theta=135°[/math]. Es un ángulo obtuso (medida mayor de 90° y menor de 180°). [br][br]En el [b]applet[/b] active la casilla de verificación [b]ángulo de inclinación[/b].
[b]Posición de una recta en un plano cartesiano en dos dimensiones[br][/b][br]La posición de una recta en el plano cartesiano [b]X[/b] - [b]Y[/b] puede darse en 4 formas diferentes:[justify][br]1. Si la pendiente es positiva ([b]m>0[/b]), la recta es [b]inclinada ascendente[/b] y el ángulo de inclinación [b]θ [/b]con relación al semieje [b]X[/b] positivo es [b]agudo,[/b]es decir, menor que 90°. [br] [br]2. Si la pendiente es negativa ([b]m<0[/b]), la recta es [b]inclinada [/b][b]descendente[/b] y el ángulo de inclinación [b]θ [/b]con relación al semieje [b]X[/b] positivo es [b]obtuso,[/b] es decir, mayor que 90° y menor que 180°.[br][br]3. Si la pendiente es nula ([b]m = 0[/b]), la recta es [b]horizontal[/b] y el ángulo de inclinación [b]θ [/b]con relación al semieje [b]X[/b] positivo es [b]0°[/b]. Este caso se presenta cuando [b]y[sub]2[/sub] = y[sub]1[/sub][/b].[br] [br]4. Si la pendiente de la recta no está definida, la recta es [b]vertical[/b] y el ángulo de inclinación [b]θ[/b] es de 90°. Este caso se presenta cuando [b]x[sub]2[/sub] = x[sub]1[/sub][/b].[br][br]En el [b]applet[/b] active la casilla de verificación [b]características de la recta[/b].[/justify]
[b]Para saber más...[br][br][/b]La pendiente de una recta también se puede calcular si se tiene o conoce la ecuación de la recta. Esto se detallará en la sección siguiente.[br][br]Ecuación Normal: [math]y=mx+b[/math][br][br]Ecuación General: [math]Ax+By+C=0[/math][br][br]Ecuación Canónica o Simétrica: [math]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1[/math]
Ecuación normal u ordinaria de la recta: y = mx + b
Le ecuación normal u ordinaria de la recta es una expresión de la forma [b]y = mx + b[/b].[br][br]En esta expresión se tiene:[br][br] [b]m[/b] es la pendiente de la recta.[br][br] [b]b[/b] es el intercepto con el eje [b]Y. [/b]Corresponde a la ordenada del origen. [br] Es el valor de [b]y[/b] donde la recta interseca al eje [b]Y[/b]. [br] El valor de [b]b [/b]determina el punto [b]I[sub]y[/sub][/b] (punto de corte de la recta con el eje [b]Y[/b]). Sus coordenadas son [b](0,b)[/b]. [br][br][b] x[/b] y [b]y[/b] son las coordenadas de cada uno de los puntos que pertenecen a la recta.[br] [br][justify]Un punto pertenece a la recta cuando al reemplazar los valores de [b]x[/b] y [b]y [/b]en la ecuación, se obtiene una identidad.[/justify]Así por ejemplo, en la recta cuya ecuación es [b]y = 2x + 1[/b], el punto [b]M=(1,3)[/b] pertenece a la recta mientras que el punto [b]N=(2,3)[/b] NO pertenece a la recta.[br][br]Para [b]M=(1,3)[/b], [b] [color=#ff0000] x = 1[/color] [color=#0000ff]y = 3[/color][/b] [b][color=#0000ff]3[/color][/b] = 2([b][color=#ff0000]1[/color][/b]) + 1 3 = 3 es una identidad: [b]M[/b] sí pertenece[br][br]Para [b]N=(2,3)[/b], [b] [color=#ff0000] x = 2 [/color][color=#0000ff]y = 3 [/color][/b] [b][color=#0000ff]3[/color][/b] = 2([b][color=#ff0000]2[/color][/b]) + 1 3 = 4 es una falsedad: [b]N[/b] no pertenece
Preguntas.
1. Determine la ecuación normal de la recta cuya pendiente es -2 y el intercepto con el eje Y es -1.
2. Determine la ecuación de la recta que corta al eje Y en -3 y la pendiente es 0.
Graficar la recta dando la ecuación normal y = mx + b
Se van a explicar dos procedimientos para graficar una recta cuando se da la ecuación normal u ordinaria de la recta.[br][br][b]1. Determinar un punto P[/b][sub]2[/sub][b] =(x[/b][sub]2[/sub][b],y[/b][sub]2[/sub][b])[br][br][/b]El valor de [b]b[/b] automáticamente determina el punto de intersección de la recta con el eje Y, [b]I[sub]y[/sub] = (0,b)[/b]. Por lo tanto, para graficarla sólo se requiere obtener un segundo punto de la recta.[br] [b][br][/b]Se da un valor arbitrario para [b]x[sub]2[/sub][/b] y con la ecuación normal se obtiene el valor de [b]y[/b][sub]2[/sub].[br] [math]y_2=mx_{_2}+b[/math]
[b]2. Dibujar la pendiente a partir del punto I[sub]y[/sub] = (0,b)[/b].[br][br]Para dibujar la pendiente se dibuja un triángulo rectángulo que cumpla las siguientes condiciones:[br][br]- Un vértice agudo es el punto [b]I[sub]y[/sub] = (0,b)[/b][br]- El cateto horizontal mide [b]1[/b]. Esto es el [b]avance[/b] de la recta y siempre se toma positivo (hacia la derecha)[br]- El cateto vertical mide [b]m. [/b]Este valor es la inclinación de la recta. Si [b]m[/b] es positiva, se toma hacia arriba, y si es negativa se toma hacia abajo.[br]El otro vértice agudo corresponde al punto [b]P[sub]2[/sub] = (x[sub]2[/sub],y[sub]2[/sub])[/b]
Para analizar ...
1. Grafique la recta que tiene por ecuación [math]y=\left(-\frac{2}{3}\right)x-\frac{1}{2}[/math] . Utilice el procedimiento de obtener el segundo punto de la recta dando un valor de [b]x[/b].
2. Grafique la recta cuya ecuación es [math]y=-x+\frac{3}{4}[/math] . Utilice el procedimiento de dibujar la pendiente para hallar el segundo punto de la recta.
Posiciones relativas entre dos rectas en el plano
Dos rectas en un plano pueden tener dos posiciones relativas: Son rectas paralelas o son rectas secantes. [br][br]Un caso particular de rectas paralelas son las rectas coincidentes mientras que un caso particular de rectas secantes son las rectas perpendiculares.[br][br][b]Ángulos formados entre dos rectas secantes[br][br][/b]Dos rectas son secantes cuando se intersecan o se cruzan en un solo punto.[br][br]Cuando dos rectas o segmentos de rectas se intersecan en un punto, se forman 4 ángulos: [math]\alpha[/math], [math]\beta[/math], [math]\epsilon[/math] y [math]\delta[/math] como se muestra en el applet que sigue..[br][br]Cada uno de los cuatro ángulos es suplementario con cualquiera de los dos consecutivos a él: [br] [math]\alpha[/math] es suplementario con [math]\beta[/math] y con [math]\delta[/math]: [math]\alpha+\beta=180°[/math] y [math]\alpha+\delta=180°[/math][br] [math]\beta[/math] es suplementario con [math]\alpha[/math] y con [math]\epsilon[/math]: [math]\beta+\alpha=180°[/math] y [math]\beta+\epsilon=180°[/math][br] [math]\epsilon[/math] es suplementario con [math]\beta[/math] y con [math]\delta[/math]: [math]\epsilon+\beta=180°[/math] y [math]\epsilon+\delta=180°[/math][br] [math]\delta[/math] es suplementario con [math]\epsilon[/math] y con [math]\alpha[/math]: [math]\delta+\epsilon=180°[/math] y [math]\delta+\alpha=180°[/math][br][br]Si se conoce la medida de uno de los 4 ángulos, fácilmente se puede obtener la medida de los otros tres. Téngase en cuenta que los ángulos [math]\alpha[/math] y [math]\epsilon[/math] son ángulos opuestos por el vértice, así como los ángulos [math]\beta[/math] y [math]\delta[/math]. Los ángulos opuestos por el vértice tienen igual medida, es decir, son congruentes.[br][br]Ejemplo: Si [math]\beta=30°[/math] se puede encontrar que:[br] [math]\delta=30°[/math] por ser opuesto por el vértice con [math]\delta[/math].[br] [math]\alpha=180°-30°=150°[/math] por ser suplementario con [math]\beta[/math] y con [math]\delta[/math][br]
[b][math][/math]Ángulo entre dos rectas[br][br]Ángulo entre dos rectas[/b] es el ángulo menor de los 4 que se forman cuando dos rectas o semirectas se cruzan en un punto.[br][br]Para calcular la medida del ángulo entre dos rectas se utiliza la fórmula [math]\theta=tan^{-1}\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_2\cdot m_1}\right|[/math] donde [b]m[/b][sub]1 [/sub]y [b]m[sub]2[/sub][/b] son las pendientes de las dos rectas.[br][br]Analicemos el siguiente ejemplo: Las ecuaciones de dos rectas son,[br][br][b]R[sub]1[/sub][/b]: y = -4x + 3 [math]\Longrightarrow[/math] [b]m[sub]1[/sub][/b] = -4[br][b]R[sub]2[/sub][/b]: y = 2x - 1 [math]\Longrightarrow[/math] [b]m[sub]2[/sub][/b] = 2[br][br] [math]\theta=tan^{-1}\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_2\cdot m_1}\right|[/math] [math]\theta=tan^{-1}\left|\frac{\left(2\right)-\left(-4\right)}{1+\left(2\right)\left(-4\right)}\right|[/math] [math]\theta=tan^{-1}\left|\frac{6}{-7}\right|[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\theta=40.60°[/math][br][br]Una segunda forma de hallar el ángulo entre las dos rectas consiste en calcular el ángulo de inclinación de cada recta y hallar su diferencia, [math]\theta=\left|\theta_2-\theta_1\right|[/math][br][br] [math]\theta_2=tan^{-1}\left(-4\right)[/math] [math]\theta_2=-75.44°[/math] pero el ángulo de inclinación debe ser positivo:[br] [math]\theta_2=180°-75.44°[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\theta_2=104.04°[/math][br][br] [math]\theta_2=tan^{-1}\left(2\right)[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\theta_2=63.44°[/math] [br][br]Por lo tanto, [math]\theta=\left|63.44°-104.04°\right|=40.60°[/math] [br]
[b] Rectas paralelas y rectas secantes[br][br][/b]En los dos applets siguientes se puede comprobar que:[br][br]1. [b]Dos rectas son paralelas[/b] cuando tienen igual pendiente, [math]m_2=m_1[/math] . Esto significa que las dos rectas tienen igual ángulo de inclinación, [math]\theta_2=\theta_1[/math]. También se tiene que si dos rectas tienen igual ángulo de inclinación, entonces, las dos rectas son paralelas. Dos rectas son[b] paralelas[/b] cuando no tienen ningún punto en común[br][br]Ejemplo:[br] [math]R_1:y=\left(\frac{4}{5}\right)+3[/math] [math]m_1=\frac{4}{5}[/math] [math]\theta_1=38.63°[/math][br] [math]R_2:y=\left(\frac{4}{5}\right)-1[/math] [math]m_2=\frac{4}{5}[/math] [math]\theta_2=38.63°[/math][br][br]2. [b]Dos rectas son secantes[/b] cuando sus pendientes son diferentes, [math]m_2\ne m_1[/math] , es decir, que tienen diferente ángulo de inclinación. [br][br]Dos rectas secantes tienen un sólo punto en común y corresponde a la solución del sistema lineal 2 x 2 (dos ecuaciones lineales con dos variables). [br][br]3. [b]Dos rectas son coincidentes [/b]cuando todos los puntos son comunes a las dos. Esto sucede cuando las dos rectas tienen igual ecuación normal o igual ecuación simétrica o también, cuando los coeficientes de las ecuaciones generales son proporcionales, [math]\frac{A_2}{A_1}=\frac{B_2}{B_1}=\frac{C_2}{C_1}=k[/math][br][br]Ejemplo de rectas coincidentes definidas por la ecuación general:[br] [math]R_1:3x-2y+4=0[/math] [math]R_2:6x-4y+8=0[/math] [math]\frac{6}{3}=\frac{-4}{-2}=\frac{8}{4}=2[/math][br]La ecuación normal de las dos rectas es una sola: [math]y=\frac{3}{2}x+2[/math][br][br]4. [b]Dos rectas son perpendiculares[/b] cuando el producto de sus pendientes es igual a [b]-1[/b], [math]m_1\cdot m_2=-1[/math]. Rectas perpendiculares son rectas secantes que se intersecan formando 4 ángulos rectos. [br][br]De la fórmula [math]m_1\cdot m_2=-1[/math] se deduce que, [math]m_2=-\frac{1}{m_1}[/math] y [math]m_1=-\frac{1}{m_2}[/math]: la pendiente de la primera equivale al opuesto (inverso aditivo) del recíproco (inverso multiplicativo) de la pendiente de la segunda.[br][br]Ejemplo: La recta [b]R[sub]1[/sub][/b] tiene por ecuación [math]y=-5x-3[/math]. Por lo tanto, la pendiente de una recta perpendicular a [b]R[sub]1[/sub][/b] es [math]m_2=-\frac{1}{-5}=\frac{1}{5}[/math] . Para obtener la ecuación de esa perpendicular se debe dar otro punto pero todas las perpendiculares a esta [b]R[sub]1[/sub][/b] tendrán una ecuación de la forma [math]y=\frac{1}{5}x+b[/math] .
Para analizar ...
Se tiene la ecuación general de 6 rectas:[br] [br] [math]R_1:2x-3y-3=0[/math] [math]R_2:2x+3y+1=0[/math] [math]R_3:3x+2y-2=0[/math] [br] [math]R_4:2x-3y+12=0[/math] [math]R_5:9x+6y-6=0[/math] [math]R_6:4x-5y+10=0[/math][br][br]Calcular:[br][br]1. Pendiente y ángulo de inclinación de cada recta.[br][br]2. Ángulo entre cada dos rectas y determinar la posición relativa para cada pareja de rectas. [br][br]
[b]Otro applet de rectas paralelas y perpendiculares[/b]
Sinopsis de función afín - lineal - constante y la recta
[b]Función afín[br][br]Función afín[/b] es una función polinómica de grado [b]1[/b] que se puede escribir como [math]f\left(x\right)=mx+b[/math] en la que [b]m ≠ 0,[/b] [b]b ≠ 0[/b] y la representación gráfica es una [b]recta[/b].[br][br]El coeficiente [b]m[/b] es la [b]pendiente de la recta[/b] y el término independiente [b]b[/b] es la [b]ordenada del origen[/b], también conocido como [b]intercepto con el eje Y[/b]. [br][br]El punto de intersección de la recta con el eje [b]Y[/b] es [b]I[/b][sub][b]y[/b], [/sub]cuyas coordenadas son [b](0,b)[/b]: [b]0[/b] es la [b]abcisa[/b] o primera componente del par ordenado (0,b), mientras que b es la [b]ordenada[/b] o segunda componente del par ordenado (0,b).[br][br]Ejemplo: La expresión [math]f\left(x\right)=3x-2[/math] corresponde a una [b]función afín, [/b] [math]m=3[/math] y [math]b=-2[/math]. El punto de intersección de la recta con el eje [b]Y[/b] es [b]Iy [/b]= (0, -2).
[b]Función lineal[br][br]Función Lineal [/b]es una función polinómica de grado[b] 1 [/b]cuya expresión es [math]f\left(x\right)=mx[/math]. También se llama función de proporcionalidad directa. Su gráfica es una [b]recta[/b] que pasa por el origen, punto (0,0). La pendiente de la función lineal es [b]m[/b].[br][br]La función lineal es un caso particular de la función afín cuando [b]b = 0[/b].[br][br]Ejemplo: Las expresiones [math]f\left(x\right)=2x[/math] y [math]g\left(x\right)=\frac{1}{2}x[/math] corresponden a funciones lineales. La recta que representa a cada función pasa por el origen. Las pendientes son, [math]m_f=2[/math] y [math]m_g=\frac{1}{2}[/math] .[br][br][b]Función constante[br][br]Función constante [/b]es una función cuya expresión matemática es [math]f\left(x\right)=b[/math], es decir, una constante. La representación gráfica es una recta horizontal que pasa por [b]y = b[/b]. Se puede afirmar que la función constante es una función afín cuando [b]m = 0[/b].[br][br]En resumen,[br] función afín, [math]f\left(x\right)=mx+b[/math] donde [math]m\ne0[/math] y [math]b\ne0[/math] . Recta inclinada que [b]no[/b] pasa por el origen.[br] función lineal, [math]f\left(x\right)=mx[/math]: Si [b]b = 0[/b], [math]f\left(x\right)=mx+0[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]f\left(x\right)=mx[/math]. Recta inclinada que pasa por el origen.[br] función constante, [math]f\left(x\right)=b[/math]: Si [b]m = 0[/b], [math]f\left(x\right)=\left(0\right)x+b[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]f\left(x\right)=b[/math]. Recta horizontal que puede pasar por el origen. [br][br][b]Nota:[br][/b]Dado que la gráfica de la función afín, de la función lineal y de la función constante es una recta, los temas analizados en la [b]Recta[/b] son válidos también para estas funciones con excepción de que una [b]recta vertical no corresponde a ninguna función[/b] porque [b]x [/b]tendría más de una imagen. Esta situación se da cuando el ángulo de inclinación de la recta es 90° y la pendiente [b]m[/b] no está definida: [math]m=tan90°=?[/math]
[b]Otros applets sobre la recta y función afín - función lineal - función constante:[br][br]1. Dados dos puntos, P[sub]1[/sub] = (x[sub]1[/sub],y[sub]1[/sub]) y P[sub]2[/sub] = (x[sub]2[/sub],y[sub]2[/sub])[/b]
[b]2. Dada la pendiente, (m), y el intercepto con Y, (b) [/b]
[b]3. Dada la ecuación general, Ax + By + C = 0[/b]
[b]4. Dada la pendiente (m) y un punto, P[sub]1[/sub] = (x[sub]1[/sub],y[sub]1[/sub])[/b]
Solución gráfica de sistemas lineales 2x2
La expresión [b]ax + by + c = 0[/b] se conoce como [b]ecuación lineal con dos variables[/b] y su representación gráfica es una recta.[br]Un [b]sistema de ecuaciones lineales 2x2[/b] es un sistema con dos ecuaciones lineales con dos variables: [br] [b]a[sub]1[/sub] x + b[sub]1[/sub] y + c[sub]1[/sub] = 0[/b][br] [b]a[sub]2[/sub] x + b[sub]2[/sub] y + c[sub]2[/sub] = 0[br][/b]Cuando se resuelve un sistema 2x2 se obtiene el valor de [b]x[/b] y de [b]y[/b] que satisface las dos ecuaciones. Desde el punto de vista gráfico, la solución del sistema es el punto (x, y) que corresponde a la intersección de la dos rectas.[br][br]El applet permite analizar la solución gráfica de un sistema 2x2 utilizando dos formas de la ecuación lineal:[br]A: [b]ax + by + c = 0[br][/b]B: [b]ax + by = c[/b]
Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones 2x2 los cuales se analizan en el libro geogebra [b]La recta[/b] de profedomingohely: https://www.geogebra.org/m/dzjughdg
Libros geogebra profedomingohely
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