Die Formeln

 Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Elliptische Funktionen & Bizirkulare Quartiken & ... (21.06.2023)

Bizirkulare Quartiken in Normalform
Vorgabe: Koeffizienten : bizQuAB als implizite Kurve: mit
  • : 2-teilige bizirkulare Quartik, symmetrisch zu den Achsen und zum Einheitskreis
  • : 1-teilige bizirkulare Quartik, symmetrisch zu den Achsen
  • : Mittelpunktskegelschnitt, gespiegelt am Einheitskreis, achsensymmetrisch
Scheitel: , Scheitel auf der -Achse, können imaginär sein: Wurzel wird reell gerechnet
, Scheitel auf der -Achse, Wurzel wird reell gerechnet
, Scheitel auf dem Einheitskreis, Wurzel wird reell gerechnet
Brennpunkte: mit berechnet man , die Wurzel wird komplex berechnet: geogebra-Trick : . Konfokale bizirkulare Quartiken durch einen Punkt : Für die Koeffizienten , einer Schar konfokaler Quartiken ist konstant, woraus folgt. Zu vorgegebenem besitzt die in quadratische Gleichung
2 Lösungen, welche die beiden konfokalen Quartiken durch den Punkt liefern. Der Leitkreis zu f, bezüglich der -Achsensymmetrie, wird im Applet nur angezeigt, wenn f und f' auf der -Achse liegen. In diesem Falle ist der Leitkreis -achsensymmetrisch und schneidet die -Achse in und . Gleichung dieses Leitkreises: . Leider können wir die Bedeutung des Leitkreises hier nur ohne Formeln anführen: es fehlt noch der passende Kalkül! Zu jedem Punkt q auf dem Leitkreis gibt es genau einen -achsensymmetrischen Kreis cdb, an welchem invertiert q und f vertauscht werden. Dieser Kreis berührt die bizirkulare Quartik doppelt. Die Berührpunkte erhält man als Schnitt von cdb mit dem -achsensymmetrischen Kreises cw durch q, dessen Mittelpunkt der Schnittpunkt der Tangente an den Leitkreis in q mit der -Achse ist. cw ist ein Kreis des elliptischen Kreisbüschels durch f'', f''' (für =1), - des parabolischen Kreisbüschels, wenn f'', f''' zusammenfallen (), bzw. des hyperbolischen Kreisbüschels zu f'', f''' (für ). Der an cdb gespiegelte Kreis cw' ist ein Kreis der elliptischen Kreisbüschels durch f und f'. cdb ist also winkelhalbierender Kreis der beiden Büschelkreise! Vorgabe: f und s auf der -Achse und wie oben. Aus diesen beiden Vorgaben berechnet man die Koeffizienten und . Bemerkung: Den Fall, dass die Brennpunkte nicht wie oben vorausgesetzt auf der -Achse liegen, kann man durch eine einfache Möbiustransformation auf den oben angezeigten zurückführen.
– Walter Füchte

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