[table][tr][td][url=https://www.geogebra.org/m/y9cj4aqt#material/yqck5tk4][img]data:image/png;base64,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[/img][/url][/td][td] [size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][b]geogebra-books[/b][/color] [br] [color=#0000ff][u][b][/b][/u][/color][url=https://www.geogebra.org/m/nzfg796n][color=#0000ff][u][b]Elliptische Funktionen & Bizirkulare Quartiken & ...[/b][/u][/color] [/url]([color=#ff7700][i][b]21.06.2023[/b][/i][/color])[/size][/td][/tr][/table][right][size=50][br][/size][/right]

[size=85][b][i][u][color=#cc0000]Vorgabe: Koeffizienten [math]A_x,B_y[/math] :[/color][/u][/i][/b][br][b][i][color=#ff7700]bizQuAB[/color][/i][/b] als [b][i]implizite Kurve[/i][/b]: [math]\left(x^2+y^2\right)^2-2\cdot A_x\cdot x^2-2\cdot B_y\cdot y^2+\delta=0[/math] mit [math]\delta\in\left\{-1,0,1\right\}[/math][br][/size][list][*][math]\delta=1[/math]: [size=85][b][color=#cc0000] 2[/color][/b]-[b][i]teilige[/i][/b] [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartik[/color][/i][/b], [b][i][color=#bf9000]symmetrisch[/color][/i][/b] zu den Achsen und zum [b][i][color=#bf9000]Einheitskreis[/color][/i][/b][/size][br][/*][*][math]\delta=-1[/math]: [b][color=#cc0000][/color][/b][size=85][b][color=#cc0000]1[/color][i]-teilige[/i][/b] [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartik[/color][/i][/b], [b][i][color=#bf9000]symmetrisch[/color][/i][/b] zu den Achsen[/size][br][/*][*][size=85][math]\delta=0[/math]: [b][i][color=#ff7700]Mittelpunktskegelschnitt[/color][/i][/b], [b][i][color=#bf9000]gespiegelt[/color][/i][/b] am [b][i][color=#bf9000]Einheitskreis, [/color][/i][/b]achsensymmetrisch[br][/size][/*][/list][size=85][br][table][tr][td][size=85][b][i][color=#ff7700][u]Scheitel:[/u] [/color][/i][/b][/size][/td][td][math]s=s_x=\pm\sqrt{A_x\pm\sqrt{A_x^2-\delta}}[/math], [b][i][color=#ff7700]Scheitel[/color][/i][/b] auf der [math]x[/math]-Achse, können imaginär sein: Wurzel wird reell gerechnet[/td][/tr][tr][td][/td][td][math]s_y=\pm i\cdot \sqrt{B_y\pm\sqrt{B_y^2-\delta}}[/math], [b][i][color=#ff7700]Scheitel[/color][/i][/b] auf der [math]y[/math]-Achse, [size=85]Wurzel wird reell gerechnet[/size][/td][/tr][tr][td][br][/td][td][math]s_E=\pm\sqrt{\frac{B_y-\frac{1+\delta}{2}}{B_y-A_x}}\pm i\cdot\sqrt{\frac{A_x-\frac{1+\delta}{2}}{A_x-B_y}}[/math], [b][i][color=#ff7700]Scheitel[/color][/i][/b] auf dem [b][i][color=#bf9000]Einheitskreis[/color][/i][/b], [size=85]Wurzel wird reell gerechnet[/size][/td][/tr][/table][color=#00ff00][u][i][b]Brennpunkte: [/b][/i][/u][/color][br] mit [math]Q=\frac{A_x\cdot B_y-\delta}{B_y-A_x}[/math] berechnet man [math]f=\pm\sqrt{Q\pm\sqrt{Q^2-\delta}}[/math], die Wurzel wird [b][i]komplex[/i][/b] berechnet: [br] [math]\searrow[/math] [b][i][color=#980000]geogebra[/color][/i][/b]-Trick : [math]\sqrt{0\cdot i+Q+\sqrt{Q^2-\delta+0\cdot i}}[/math].[br][b][i][u][color=#38761d]Konfokale[/color] [color=#ff7700]bizirkulare Quartiken[/color] [/u][/i][/b][u][i]durch einen[/i][/u][b][i][u] [color=#ff0000]Punkt[/color][/u][/i][/b] [math]p_0=x_0+i\cdot y_0[/math]:[br]Für die [b][i]Koeffizienten[/i][/b] [math]A'_x[/math], [math]B'_y[/math] einer Schar [b][i][color=#38761d]konfokaler[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] ist [math]Q=\frac{A'_x\cdot B'_y-\delta}{B'_y-A'_x}[/math] konstant, [br]woraus [math]B'_y=\frac{Q\cdot A'_x-\delta}{Q-A'_x}[/math] folgt. [br]Zu vorgegebenem [math]p_0[/math] besitzt die in [math]A'_x[/math] [b][i][color=#0000ff]quadratische Gleichung[/color][/i][/b][/size][list][*][math]\left(x_0^2+y_0^2\right)^2-2\cdot A'_x\cdot x_0^2-2\cdot\frac{Q\cdot A'_x-\delta}{Q-A'_x}\cdot y_0^2+\delta=0[/math][br][/*][/list][size=85][b][color=#cc0000]2[/color][/b] Lösungen, welche die beiden [b][i][color=#38761d]konfokalen[/color][/i][/b] [b][i]Quartiken[/i][/b] durch den [b][i][color=#ff0000]Punkt [/color][/i][/b][math]p_0[/math] liefern.[br][br]Der [b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b] zu [b][color=#00ff00]f[/color][/b], bezüglich der [math]y[/math]-[b][i][color=#bf9000]Achsensymmetrie, [/color][/i][/b]wird im Applet nur angezeigt, wenn [b][color=#00ff00]f[/color][/b] und [b][color=#00ff00]f'[/color][/b] auf der [math]x[/math]-Achse liegen.[br]In diesem Falle ist der [b][i][color=#0000ff]Leitkreis [/color][/i][/b] [math]x[/math]-achsensymmetrisch und schneidet die [math]x[/math]-Achse in [math]qL_y=\frac{s^2}{f}[/math] und [math]qL'_y=\frac{\delta}{s^2\cdot f}[/math].[br]Gleichung dieses [b][i][color=#0000ff]Leitkreises[/color][/i][/b]: [math]x^2+\frac{2}{f}\cdot\kappa_{\delta}\left(s\right)\cdot x+y^2+\frac{\delta}{f^2}=0[/math].[br]Leider können wir die Bedeutung des [b][i][color=#0000ff]Leitkreises [/color][/i][/b]hier nur ohne [b][i]Formeln[/i][/b] anführen: es fehlt noch der passende Kalkül![br]Zu jedem [b][i][color=#ff0000]Punkt[/color][/i][/b] [b][color=#00ffff]q[/color][/b] auf dem [b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b] gibt es genau einen [math]y[/math]-achsensymmetrischen [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] [b][color=#666666]cdb[/color][/b], an welchem invertiert [/size][size=85][b][color=#00ffff]q[/color][/b][/size][size=85] und [/size][size=85][b][color=#00ff00]f[/color][/b][/size][size=85] vertauscht[br]werden. Dieser [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b][/size][size=85] [b][i][color=#999999]berührt[/color][/i][/b] die [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartik[/color][/i][/b] [b][i][color=#999999]doppelt[/color][/i][/b]. [br]Die [b][i][color=#ff7700]Berührpunkte[/color][/i][/b] erhält man als Schnitt von [/size][size=85][b][color=#666666]cdb[/color][/b][/size][size=85] mit dem [math]y[/math]-achsensymmetrischen [b][i][color=#ff0000]Kreises[/color][/i][/b] [b][color=#ff0000]cw[/color][/b] durch [/size][size=85][b][color=#00ffff]q[/color][/b][/size][size=85], dessen Mittelpunkt[br]der Schnittpunkt der [b][i][color=#444444]Tangente[/color][/i][/b] an den [/size][size=85][b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b][/size][size=85] in [/size][size=85][b][color=#00ffff]q[/color][/b][/size][size=85] mit der [math]y[/math]-Achse ist.[br][/size][size=85][b][color=#ff0000]cw[/color][/b][/size][size=85] ist ein [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b][/size][size=85] des [b][i][color=#ff0000]elliptischen Kreisbüschels[/color][/i][/b] durch [b][color=#00ff00]f''[/color][/b], [b][color=#00ff00]f'''[/color][/b] (für [math]\delta[/math]=1), - des [b][i][color=#ff0000]parabolischen Kreisbüschels[/color][/i][/b], wenn [size=85][b][color=#00ff00]f''[/color][/b], [b][color=#00ff00]f'''[/color][/b][/size][br]zusammenfallen ([math]\delta=0[/math]), bzw. des [b][i][color=#ff0000]hyperbolischen Kreisbüschels[/color][/i][/b] zu [/size][size=85][b][color=#00ff00]f''[/color][/b], [b][color=#00ff00]f'''[/color][/b][/size][size=85] (für [math]\delta=-1[/math]).[br]Der an [/size][size=85][b][color=#666666]cdb[/color][/b][/size][size=85] gespiegelte [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]Kreis [/color][/i][/b][/size][size=85][b][color=#ff0000]cw'[/color][/b][/size][size=85] ist ein [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b][/size][size=85] der [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]elliptischen Kreisbüschels[/color][/i][/b][/size][size=85] durch [/size][size=85][b][color=#00ff00]f[/color][/b][/size][size=85] und [/size][size=85][b][color=#00ff00]f'[/color][/b][/size][size=85].[br][/size][size=85][b][color=#666666]cdb[/color][/b][/size][size=85] ist also [b][i][color=#0000ff]winkelhalbierender[/color][/i][/b] [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b][/size][size=85] der beiden [b][i][color=#ff0000]Büschelkreise[/color][/i][/b]![br][br][br][i][u][b][color=#cc0000]Vorgabe: [/color][/b][/u][/i][u][b][color=#00ff00]f[/color][/b][/u][i][u][b][color=#cc0000] und [/color][/b][/u][/i][u][color=#ff7700][b]s[/b][/color][/u][i][u][b][color=#cc0000] auf der [math]x[/math]-Achse und [math]\delta[/math] wie oben.[br][/color][/b][/u][/i]Aus diesen beiden Vorgaben berechnet man die [b][i]Koeffizienten[/i][/b] [math]A_x=\kappa_{\delta}\left(s\right)[/math] und [math]B_y=\frac{\kappa_{\delta}\left(f\right)\cdot\kappa_{\delta}\left(s\right)-\delta}{\kappa_{\delta}\left(f\right)-\kappa_{\delta}\left(s\right)}[/math].[br][br][b][i][u][color=#cc0000]Bemerkung:[/color][/u][/i][/b] Den Fall, dass die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] nicht wie oben vorausgesetzt auf der [math]x[/math]-Achse liegen, kann man [br]durch eine einfache [b][i][color=#0000ff]Möbiustransformation[/color][/i][/b] auf den oben angezeigten zurückführen.[/size]