[br]Sukeltaja tekee työtään veden alla, ja tarvitsee tietyn määrän valoa nähdäkseen kunnolla. Mitä syvemmälle veden alle mennään, sitä vähemmän valoa on tarjolla. Valon määrän tiedetään tippuvan eksponentiaalisen vähenemisen mallin mukaisesti. Mitä tämä tarkoittaa?

Katso yllä olevaa kuvaa. Siinä nähdään tämän tehtävän tutkittava funktio, joka on siis tällä kertaa laskeva eksponenttifunktio. Kuvassa x-akselina on sukeltajan etäisyys meren/järven pinnasta metreinä, ja y-akselina on valon määrä. Valon määrä on ilmoitettu "suhteellisena", eli kuvasta nähdään kätevästi juurikin se, miten vesi vaimentaa valon määrää syvemmälle mentäessä. Kuvasta voidaan lukea, että kun syvyys on 0, silloin valon määrä suhteelisella asteikolla on "1", eli 100%. Toisin sanoen, kun sukeltaja on pinnan pinnalla, vesi ei ole vaimentanut valoa vielä yhtään. Syvemmälle mentäessä valon määrä sitten alkaa vähentyä, ja huomataan, että valon määrä käy koko ajan vähemmäksi ja vähemmäksi, mutta se ei koskaan tipu nollaan. Tämä on tippuvien eksponenttifunktioiden luonne.[br][br]Nyt voimme kirjoittaa valon määrän matemaattiseen muotoon. Merkitään sukeltajan etäisyyttä pinnasta x:llä, ja valon määrää L:llä (niinkuin Light). [br][br][math] \Large[br]L(x) = L_0 e^{-kx}[br][/math][br][br]Selitetään yllä näkyvän yhtälön tekijöitä hieman. [math] \Large L_0 [/math] on valon määrä pinnalla. Kyseessä on siis jokin tietty, tunnettu valovoima. Tämä valovoima voisi olla meillä tiedossa, se on niin-ja-niin-monta kandelaa, mutta se ei ole tämän tehtävän kannalta oleellista. Voimme yksinkertaisesti kohdella sitä tunnettuna vakiona, koska laskun etenemisen kannalta sen tarkalla lukuarvolla ei ole väliä. Vastaavasti [math] \Large k [/math] on eräs vakio, jota emme tunne vielä, ja tämän vakion selvittäminen on osa tehtävän ratkaisua. Vakio [math] \Large k [/math] liittyy siihen, kuinka nopeasti/hitaasti eksponenttifunktio laskee. Jos [math] \Large k [/math] olisi suuri, käyrä laskisi äkkiä, ja vastaavasti pienillä [math] \Large k [/math] :n arvoilla käyrä laskisi hitaammin.[br][br]Ratkaistava pulma on tässä: Sukeltaja tietää kokemuksesta, että kolmen metrin syvyydessä valon määrä on tippunut puoleen. Hän tietää myös, että se valon määrä, jossa tarkka työskentely on vielä mahdollista ilman lisävaloja, on kymmenesosa maankamaralla tarjolla olevasta valosta. Mikä on se syvyys, jolla valon määrä on tippunut kymmenesosaan?[br][br]Ratkaisu:[br]Lähdetään liikkeelle siitä tiedosta, että kolmen metrin syvyydessä valon määrä on tippunut puoleen. Kirjoitamme tämän havainnon matemaattiseen muotoon:[br][br][math] \Large[br]L(3) = \frac{1}{2} L_0 = L_o e^{-3k}[br][/math][br][math] \Large[br]e^{-3k} = \frac{1}{2}[br][/math][br][math] \Large[br]-3k = \ln \left( \frac{1}{2} \right)[br][/math][br][math] \Large[br]k = - \frac{\ln \left( \frac{1}{2} \right)}{3} \approx 0.231[br][/math][br][br]Olkoon nyt [math] \Large \xi [/math] se syvyys, jolla valon määrä on tippunut kymmenesosaan. [br][br][math] \Large[br]L(\xi) = \frac{1}{10} L_0 = L_o e^{-k \xi}[br][/math][br][math] \Large[br]e^{-k \xi} = \frac{1}{10}[br][/math][br][math] \Large[br]-k \xi = \ln \left(\frac{1}{10} \right)[br][/math][br][math] \Large[br]\xi = -\frac{\ln \left(\frac{1}{10} \right)}{k} \approx 9.966[br][/math][br][br][br][br][br][br][br]