[right][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000]geogebra-books[/color] [url=https://www.geogebra.org/m/ggvbukux]"Loxodrome" ? Oder nicht ?[/url] [color=#ff7700](28.01.2020)[/color][/size][/right][size=85]Ein einschaliges [color=#0000ff][i][b]Rotations-Hyperboloid[/b][/i][/color] besitzt als [color=#666666][i][b]orthogonale Parameterlinien[/b][/i][/color] die [color=#ff7700][i][b]Meridian-Kreise[/b][/i][/color] und die [color=#999999][i][b]rotierenden Hyperbeln.[/b][/i][/color][br]Gesucht sind die "[color=#0000ff][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color]" in unserem Sinne: also die Kurven, welche die obigen Parameterlinien unter konstantem Winkel [math]\gamma[/math]schneiden.[br]Ausgehend von der Parameterdarstellung lassen sich sehr schöne [color=#20124D][i][b]Spiral-Kurven[/b][/i][/color] definieren: man setze [math]v=m\cdot u[/math] mit einer reellen "Steigung" [math]m[/math]. [br]Leider schneiden diese [color=#20124D][i][b]Spiralen[/b][/i][/color] die Meridianen [i]n i c h t[/i] unter konstantem Winkel![br]Die Suche im Internet ergab für uns nur einen Treffer:[br][/size][list][*][size=85]Im[size=85][br] [size=100][b]Archiv der Mathematik und Physik[/b][/size] [br] [size=50]mit besonderer Rücksicht[/size] [br][b] auf die Bedürfnisse der Lehrer an [br] höheren Unterrichtsanstalten[/b][br] [b]1846[/b][/size][/size][/*][/list][size=85]fand sich der Artikel "[b]Entwicklung der Gleichungen der Loxodrome auf den Flächen der zweiten Ordnung[/b]" von J[b].R. Boyman[/b][br][br]Die Formel für die "[i][b]Hyperboloidischen Loxodrome erster Art[/b][/i]" (gemeint sind die Loxodrome für [i][b]einschalige[/b][/i] Hyperboloide) war kaum zu entziffern - auch wegen mangelhafter Qualität der Kopie. [br]Wir hoffen, die Formel richtig übersetzt zu haben ([size=50]die Funktion [math]v=G\left(\gamma,u\right)[/math] wird unten nachgeliefert[/size]) : das Ergebnis oben läßt jedoch die [color=#0000ff][i][b]loxodromischen[/b][/i][/color] Eigenschaften vermissen.[br]Möglicherweise besteht eine annähernde Übereinstimmung mit den oben genannten [/size][size=85][size=85][color=#20124D][i][b]Spiral-Kurven[/b][/i][/color][/size], die keine [color=#0000ff][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color] sind.[br][br]Die Frage nach [color=#20124D][i][b]Loxodromen auf einschaligen Rotations-Hyperboloiden[/b][/i][/color] ist für uns daher noch unbeantwortet.[br]Sie läßt sich ausdehnen auf alle rotationsymmetrischen Quadriken![br][br][br][/size]

[size=85][size=100]Eine Bemerkung zur [b]Definition[/b] der[color=#0000ff][i][b] Loxodrome[/b][/i][/color]:[/size][br]Man kann auf [i][b]Flächen[/b][/i] entweder eine flächeninterne Längen- und Winkelmessung oder aber die Metrik des umliegenden Raumes verwenden.[br][u][i]Beispiel[/i][/u]: die Längenmessung auf der [color=#ff0000][i][b]Kugel[/b][/i][/color] kann die [color=#ff0000][i][b]sphärische[/b][/i][/color] Metrik oder aber die Metrik des umliegenden [i][b]euklidischen Raumes[/b][/i] sein.[br]Dies ist bei der Definition von [color=#0000ff][i][b]Loxodromen[/b][/i][/color] zu berücksichtigen.[br][u][i]Beispiel[/i][/u]: Ein rotationssymmetrisches [color=#9900ff][i][b]Ellipsoid[/b][/i][/color] [math]\frac{x^2}{r^2}+\frac{y^2}{r^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0[/math] kann die von der [color=#ff0000][i][b]Kugel[/b][/i][/color] durch Streckung/Stauchung in [br][math]z[/math]-Richtung um [math]c[/math] und in [math]xy[/math]-Richung um [math]r[/math] übertragene Winkel- und Längenmessung besitzen. Dann sind die Bilder der Kugel-Loxodrome unter dieser Skala-Änderung der Achsen auch "Loxodrome" auf dem Ellipsoid.[br]Legt man aber die Winkelmessung des umliegenden [i][b]euklidischen Raumes[/b][/i] zugrunde, dann sind diese Kurven keine "[color=#0000ff][i][b]Winkel-Gleiche[/b][/i][/color]" mehr![br][color=#0000ff][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color] auf einem [color=#9900ff][i][b]Ellipsoid[/b][/i][/color] sind nicht elementar zu berechnen: [math]\hookrightarrow[/math] [url=http://www.mygeodesy.id.au/documents/Loxodrome%20on%20Ellipsoid.pdf]THE LOXODROME ON AN ELLIPSOID R. E. Deakin 2010[/url][/size]

[size=85]Diese schönen [color=#ff7700][i][b]Spiralen[/b][/i][/color] auf einem[color=#073763][i][b] Rotations-Ellipsoid[/b][/i][/color] sind nur dann [color=#0000ff][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color] ("Winkelgleiche"), [br]wenn das [color=#073763][i][b]Ellipsoid[/b][/i][/color] eine [color=#980000][i][b]Kugel[/b][/i][/color] ist: nur dann ist [math]\alpha=\eta=const[/math].[/size]