[b]La retta di Eulero[/b] è una retta che passa per [b][color=#00ff00]baricentro[sup]1[/sup][/color][/b], [color=#0000ff][b]ortocentro[sup]2[/sup][/b][/color] e [color=#f1c232][b]circocentro[sup]3[/sup][/b] [/color][b]di ogni triangolo[/b] ed esiste un [b]teorema[/b] che può verificarlo. [br]Solamente nei [b]triangoli equilateri[/b] questi punti notevoli [b]coincidono[/b] e quindi esistono infinite rette che passano per essi.[br][br][color=#00ff00][b][i][sup]1 [/sup]Il baricentro:[/i][/b][/color] è il punto d'intersezione delle [color=#00ff00][b]mediane[/b][/color], i segmenti che congiungono i vertici ai punti medi degli angoli opposti.[br][b][i][color=#0000ff][sup]2 [/sup]L'ortocentro:[/color][/i][/b] è il punto d'intersezione delle tre [color=#0000ff][b]altezze[/b][/color] del triangolo.[br][b][i][color=#f1c232][sup]3 [/sup]Il circocentro: [/color][/i][/b]è il punto d'intersezione degli [color=#f1c232][b]assi[/b][/color] di ogni lato, cioè le rette perpendicolari ai lati che passano per il loro punto medio.[br][br][i][color=#666666]altro sui punti notevoli: [url=https://www.geogebra.org/m/q9gnrkd3]https://www.geogebra.org/m/q9gnrkd3[/url] di Giuseppe Romano[/color][/i]

[b][size=200]IL TEOREMA[/size][/b]

Il teorema della retta di Eulero dimostra che i tre punti notevoli che abbiamo visto prima sono allineati e mostra la proporzione tra il segmento dal baricentro all'ortocentro e quello dal circocentro al baricentro.[br][br][table][tr][td][b]IPOTESI:[/b][list][*][b][color=#cc0000]ABC[/color][/b][color=#980000] [/color]è un triangolo[/*][*][color=#00ff00][b]G[/b][/color] è il baricentro di ABC[/*][*][color=#0000ff][b]O[/b][/color] è l'ortocentro di ABC[/*][*][color=#f1c232][b]P[/b][/color] è il circocentro di ABC[/*][/list][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][b]TESI:[/b][list][*][color=#00ff00][b]G[/b][/color], [b][color=#0000ff]O[/color][/b] e [b][color=#f1c232]P[/color][/b] [b]sono allineati[/b][/*][*][color=#00ff00][b]G[/b][/color][b][color=#0000ff]O[/color][/b] = [b]2[/b][color=#f1c232][b]P[/b][/color][color=#00ff00][b]G[/b][/color][/*][/list][b][color=#00ff00][br][br][/color][color=#ffffff].[/color][/b][/td][/tr][/table]

Consideriamo lo stesso triangolo scaleno[color=#a61c00] [b]ABC[/b][/color] che abbiamo visto prima. Costruiamo il triangolo mediano [color=#9900ff][b]DEF[/b][/color] (i cui vertici sono i punti medi dei lati del triangolo ABC) che, come conseguenza del [url=https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Talete]teorema di Talete[/url], è simile ad ABC ma in rapporto 1 a 2. Poi consideriamo i triangoli [b]GOC[/b] e [color=#073763][b]DGP[/b][/color]. [br][br][list][*]Per dimostrare che [color=#00ff00][b]G[/b][/color], [color=#0000ff][b]O[/b][/color] e [color=#bf9000][b]P[/b][/color] sono allineati dobbiamo considerare gli angoli [color=#cc0000][b]PGD[/b][/color] e [b][color=#cc0000]CGO[/color][/b] che sono congruenti perché opposti al vertice e di conseguenza sono congruenti anche gli [color=#ff7700][b]PGC[/b][/color] e[color=#ff7700][b] DGO[/b][/color]: possiamo quindi dire che [color=#ff7700][b]PGC[/b][/color]+[color=#cc0000][b]CGO[/b][/color] = [color=#ff7700][b]PGD[/b][/color]+[color=#cc0000][b]DGO[/b][/color] = 180° e che l'angolo [b]PGO[/b] è piatto. Come volevasi dimostrare[color=#e69138][b] P[/b][/color], [color=#00ff00][b]G[/b][/color] e [color=#0000ff][b]O[/b][/color] sono allineati.[/*][/list][list][*]Adesso ci rimane da dimostrare che il lato [b]GO[/b] del triangolo [b]GOC[/b] è il doppio del lato [b]PG[/b] del triangolo [color=#073763][b]DPG[/b][/color]. Dobbiamo dimostrare che i due triangoli che hanno il vertice [color=#00ff00][b]G[/b][/color] sono simili e possiamo farlo attraverso il primo criterio di similitudine dei triangoli (angoli ordinatamente congruenti) dimostrando che gli angoli in [color=#00ff00][b]G[/b][/color] sono congruenti perché opposti al vertice e gli angoli [b]PDC[/b] e [b]GCO[/b] sono congruenti perché angoli alterni interni delle rette parelle, costituite dall'[color=#0000ff][b]altezza di C[/b][/color] e dall'[color=#f1c232][b]asse passante per D[/b][/color], tagliate dalla trasversale e [color=#00ff00][b]mediana[/b][/color] [b][color=#00ff00]CD[/color][/b]. I due angoli restanti sono congruenti. Poi come indiretta conseguenza del [url=https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Talete]teorema di Talete[/url] conosciamo il [i][b][url=https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Talete]teorema del baricentro del triangolo[/url][/b] [/i]che dimostra che [b]il baricentro nei triangoli divide ogni mediana in due parti e quella che contiene il vertice è il doppio dell'altra[/b], perciò [b]CG[/b] è uguale al doppio di [b]GD[/b] e quindi il rapporto tra i due triangoli simili è di [b]2 a 1[/b]: per questo anche i lati[b] [color=#f1c232]P[/color][color=#00ff00]G[/color][/b] e [color=#00ff00][b]G[/b][/color][b][color=#0000ff]O[/color][/b] sono in proporzione. É quindi dimostrato che [color=#00ff00][b]G[/b][/color][b][color=#0000ff]O[/color][/b] = [b]2[/b][color=#f1c232][b]P[/b][/color][color=#00ff00][b]G[/b][/color][/*][/list]

[b][size=150]Francesco Giannandrea - 09/03/2021[br][/size][/b][size=50][b]Prof.ssa Marisa Montanarelli[/b][/size]