Seja [br] [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}[/math][br] [math]X=\left(x_{_1},x_2,...,x_n\right)\mapsto f\left(X\right)=f\left(x_1,x_2,...,x_n\right)[/math][br][br]e seja [math]X_0=\left(x_{10},x_{20},...,x_{n0}\right)\in A\left(aberto\right)\subseteq Dom\left(f\right)[/math] ( ou seja, [math]X_0[/math] é um ponto interior de [math]Dom\left(f\right)[/math]). Observe que, como [math]X_0[/math] é um ponto interior de [math]Dom\left(f\right)[/math] então existe [math]r>0[/math], tal que [math]B_r\left(X_0\right)\subset Dom\left(f\right)[/math]. Desta forma, para [math]x_i\in\left(x_{i0}-r,x_{i0}+r\right)[/math], [math]i=1,2,...,n[/math], temos que [math]\left(x_{10},x_{20},...,x_{\left(i-1\right)0},x_{i0},x_{\left(i+1\right)0},...,x_{n0}\right)\in Dom\left(f\right)[/math]. Vamos chamar [math]\left(x_{i0}-r,x_{i0}+r\right)[/math] de [math]I_i[/math].[br][br]Vamos criar uma nova função [math]g_{iX_0}[/math], [math]i=1,2,...,n[/math], definida da seguinte forma:[br][br] [math]g_{iX_0}:I_i\subseteq\mathbb{R}\quad\rightarrow\quad\mathbb{R}[/math][br] [math]x_i\quad\quad\mapsto\quad g_{iX_0}\left(x_i\right)=f\left(x_{10},x_{20,}...,x_{\left(i-1\right)0},x_{i0},x_{\left(i+1\right)0},...,x_{n0}\right)[/math] [br]Isto é, todas as variáveis, com exceção de [math]x_i[/math], foram fixadas:[br][br] [math]x_1=x_{10}[/math] [br] [math]x_2=x_{20}[/math][br] [math]\vdots[/math][br] [math]x_{i-1}=x_{\left(i-1\right)0}[/math][br] [math]x_{i+1}=x_{\left(i+1\right)0}[/math][br] [math]\vdots[/math] [br] [math]x_n=x_n0[/math][br][br][math]g_{iX_0}[/math], assim definida, é portanto uma função da reta na reta e, se [math]g_{iX_0}[/math] é derivável em [math]x_{i0}[/math], definimos a derivada parcial de [math]f[/math] com relação a variável [math]x_i[/math] no ponto [math]X_0=\left(x_{10},x_{20},...,x_{n0}\right)[/math] como [math]g'_{iX_0}\left(x_{i0}\right)[/math] e a notação [math]\frac{\partial f}{\partial x_i}\left(X_0\right)[/math]. Sendo assim,[br][br] [math]\frac{\partial f}{\partial x_i}\left(X_0\right)\quad=g'_{iX_0}\left(x_{i0}\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{g_{iX_0}\left(x_{i0}+h\right)-g_{iX_0}\left(x_{i0}\right)}{h}[/math][br] [math]=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x_{10},x_{20},...,,x_i+h,,...,x_{n0}\right)-f\left(x_{10},x_{20},...,x_{i0},...,x_{n0}\right)}{h}[/math][br][br]Nesse caso, as outras notações utilizadas são:[br][br] [math]\frac{\partial f}{\partial x_i}=\partial_{x_if}=f_{x_i}=D_{x_i}f=D_if[/math] [br][br]Todas as regras da derivação de derivada de funções uma única variável real podem ser naturalmente aplicada, considerando que cada vez existe apenas uma variável e as outras variáveis que "sobram" são vistas como constantes.[br][br][br][br]

Determine as derivadas parciais da função[br][br] [math]f\left(x,y\right)=\text{\begin{cases} \frac{y^3 -x^2}{x^2 +y^2}, (x,y) \neq(0,0) \\ 0, \quad\quad(x,y) = (0,0) \end{cases}}[/math][br][br][br][color=#ff0000]Solução:[br][br][/color]Para [math]\left(x,y\right)\ne\left(0,0\right)[/math], tudo pode ser observado anteriormente, i.e podemos utilizar as regras de derivação com tranquilidade, considerando apenas uma variável por vez, de modo que [br] [math]\frac{\partial f}{\partial x}\left(x,y\right)\quad=\quad\frac{-2x\left(x^2+y^2\right)-\left(y^3-x^2\right)2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}\quad=\quad\frac{-2xy^2\left(1+y\right)}{\left(x^2+y^2\right)}[/math][br][br]e[br] [br] [math]\frac{\partial f}{\partial y}\left(x,y\right)\quad=\quad\frac{3y^2\left(x^2+y^2\right)-\left(y^3-x^2\right)2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}\quad=\quad\frac{y\left(y^3+3x^2y+2x^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}[/math].[br][br]Para [math]\left(x,y\right)=\left(0,0\right)[/math], conforme observado, temos que utilizar a definição. Portanto,[br][br] [math]\frac{\partial f}{\partial y}\left(0,0\right)\quad=\quad\lim_{k\rightarrow0}\frac{f\left(0,0+k\right)-f\left(0,0\right)}{k}\quad=\quad\lim_{k\rightarrow0}\frac{k}{k}\quad=1[/math][br][br]e[br][br] [math]\frac{\partial f}{\partial x}\left(0,0\right)\quad=\quad\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(0+h,0\right)-f\left(0,0\right)}{h}\quad=\quad\lim_{h\rightarrow0}\frac{-1}{h}[/math][br][br]Porém esse limite com [math]h[/math] tendendo a zero, não existe. [br][br]Desta forma,[br][br] [math]\frac{\partial f}{\partial x}\left(x,y\right)=\text{\begin{cases}\frac{-2xy^2(1+y)}{(x^2+y^2)}\text{;} (x,y) \neq(0,0) \\ \not\exists\quad\quad\text{;} (x,y) = (0,0) \end{cases}}[/math][br][br]e [br][br] [math]\frac{\partial f}{\partial y}\left(x,y\right)=\text{\begin{cases} \frac{y(y^3 +3x^2y + 2x^2)}{(x^2 + y^2)^2} \text{;} (x,y) \neq(0,0) \\ 1 \qquad\quad\text{;} (x,y) = (0,0) \end{cases}}[/math]

[math]\quad\quad[/math]

Considere a função [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}[/math]. Se [math]f[/math] possui a derivada parcial em relação a variável [math]x[/math] no ponto [math]\left(x_0,y_0\right)\in A\left\{\text{aberto}\right\}\subseteq Dom\left(f\right)[/math], então a função [math]g_{y_0}[/math], definida como [math]g_{y_0}\text{\overset{\Delta}{=}}f\left(x,y_0\right),x\in I[/math], é diferenciável em [math]x_0[/math] e[br][br] [math]g'_{y_0}\left(x_0\right)=\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0,y_0\right)[/math].[br][br]Isto permite concluir que o gráfico da função [math]g_{y_0}[/math] possui reta tangente no ponto [math]\left(x_0,g_{y_0}\left(x_0\right)\right)[/math] e o coeficiente angular [math]m_{10}[/math] dessa reta é igual a [br][br] [math]m_{10}=g'_{yo}\left(x_0\right)=\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0,y_0\right)[/math].[br][br]Mas, observe que o gráfico de [math]g_{y_0}[/math] pode ser "colocado" no plano [math]y=y_0[/math] e que, neste caso, ele pode ser visto como a curva resultante da intersecção do gráfico de [math]f[/math] com o plano [math]y=y_0[/math]. Desta forma, temos que [math]\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0,y_0\right)[/math] fornece o coeficiente angular da reta tangente [math]C_{10}[/math], dada pela interseção do plano [math]y=y_0[/math] com o gráfico de [math]f[/math], no ponto [math]\left(x_0,y_0,f\left(x_0,y_0\right)\right)[/math]. Neste caso, observe que a reta tangente a curva [math]C_{10}[/math] no ponto [math]\left(x_0,y_0,f\left(x_0,y_0\right)\right)[/math], na forma cartesiana, é dada pela equação:[br][br] [math]\text{\begin{cases} z-f(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0) \\ y = y_0 \end{cases}}[/math][br][br]Por outro lado, como [math]C_{10}[/math] é a curva resultante da interseção do gráfico de [math]f[/math] com o plano [math]y=y_0[/math], temos que [math]\gamma_{10}\left(x\right)=\left(x,y_0,f\left(x,y_0\right)\right)[/math] fornece uma parametrização para [math]C_{10}[/math]. Desta forma, utilizando a parametrização [math]\gamma_{10}[/math], temos que a reta tangente à curva [math]C_{10}[/math] no ponto [math]\left(x_0,y_0,f\left(x_0,y_0\right)\right)[/math], na forma paramétrica, é dada por:[br][br] [math]\left(x,y,z\right)=\left(x_0,y_0,f\left(x_0,y_0\right)\right)+\lambda\gamma'_0\left(x_0\right),\lambda\in\mathbb{R}[/math] [br] [math]=\left(x_0,y_0,f\left(x_0,y_0\right)\right)+\lambda\left(1,0,f\left(x_0,y_0\right)\right),\lambda\in\mathbb{R}[/math] [br][br][br]De forma análoga, se [math]f[/math] possui derivada parcial em relação a variável [math]y[/math] no ponto [math]\left(x_0,y_0\right)[/math], é porque a função [math]h_{x_0}[/math], definida como [math]h_{x_0}\left(y_0\right)\text{\overset{\Delta}{=]}\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0,y\right)[/math], [math]y\in I[/math], é diferenciável em [math]y_0[/math] e [br][br] [math]h'_{x_0}\left(y_0\right)=\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0,y_0\right)[/math].[br][br]Isto permite concluir que o gráfico da função [math]h_{x_0}[/math] possui reta tangente no ponto [math]\left(y_0,h_{x_0}\left(y_0\right)\right)[/math] e o coeficiente angular [math]m_{20}[/math] desta reta é igual a [br][br] [math]m_{20}=g'_{x_0}\left(y_0\right)=\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0,y_0\right).[/math][br][br]Mas observe que o gráfico de [math]h_{x0}[/math] pode ser "colocado" no plano [math]x=x_0[/math] e que, neste caso, ele pode ser visto como a curva resultante da interseção do gráfico de [math]f[/math] com o plano [math]x=x_0[/math]. Desta forma, temos que [math]\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0,y_0\right)[/math] fornece o coeficiente angular da reta tangente á curva [math]C_{20}[/math], dada pela interseção do plano [math]x=x_0[/math] com o gráfico de [math]f[/math], no ponto [math]\left(x_0,y_0,f\left(x_0,y_0\right)\right)[/math]. Neste caso, observe que a reta tangente à curva [math]C_{20}[/math] no ponto [math]\left(x_0,y_0,f\left(x_0,y_0\right)\right)[/math], na forma cartesiana, é dada pela equação[br][br] [math]\text{\begin{cases}z-f(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0)\\ x=x_0 \end{cases}}[/math][br][br]Por outro lado, como [math]C_{20}[/math] é a curva resultante da interseção do gráfico de [math]f[/math] com o plano [math]x=x_0[/math], temos que [math]\gamma_{20}\left(y\right)=\left(x_0,y.f\left(x_0,y\right)\right)[/math] fornece uma parametrização da curva [math]C_{20}[/math]. Desta forma, utilizando a parametrização [math]\gamma_{20}[/math], temos que a reta tangente à curva [math]C_{20}[/math] no ponto [math]\left(x_0,y_0,f\left(x_0,y_0\right)\right)[/math], na forma paramétrica é dada[br][br] [math]\left(x,y,z\right)=\left(x_0,y_0,f\left(x_0,y_0\right)\right)+\lambda\gamma'_0\left(y_0\right),\lambda\in\mathbb{R}[/math][br] [math]=\left(x_0,y_0,f\left(x_0,y_0\right)\right)+\lambda\left(0,1,\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0,y_0\right)\right),\lambda\in\mathbb{R}[/math]

[math]\quad[/math][br][br][br][br][math]\quad[/math]

Dado [math]f\left(x,y\right)=1-4x^2-y^2[/math], encontre os coeficientes angulares das retas tangentes, respectivamente, às curvas dadas pela interseção do gráfico de [math]f[/math] com o plano [math]y=\frac{1}{2}[/math], no ponto [math]\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)[/math] e com o plano [math]x=\frac{1}{4}[/math], neste mesmo ponto.[br][br][br][color=#ff0000]Solução:[br][br][/color]Conforme observado acima, o coeficiente angular da reta tangente à curva [math]C_1[/math] dada pela interseção do plano [math]y=\frac{1}{2}[/math]com o gráfico de [math]f[/math], no ponto [math]\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)[/math], é dada por [br] [br] [math]\frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)=-2[/math][br][br]Neste caso, temos que a reta tangente à curva [math]C_1[/math] no ponto [math]\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)[/math], na forma cartesiana, é dada pelas equações [br][br] [math]\text{\begin{cases} z - \frac{1}{2} = -2 \left(x - \frac{1}{4} \right) \\ y = - \frac{1}{2} \end{cases}}[/math][br][br]Além disso, temos que [math]C_1[/math] é a curva contida no plano [math]y=\frac{1}{2}[/math], parametrizada por [math]\gamma_0\left(x\right)=\left(x,\frac{1}{2},f\left(x,\frac{1}{2}\right)\right),x\in\mathbb{R}[/math] e a reta tangente a curva [math]C_1[/math] no ponto [math]\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)[/math], na forma paramétrica, é dada [br][br] [math]\left(x,y,z\right)=\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)+\lambda\left(1,0,\frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)\right),\lambda\in\mathbb{R}[/math][br] [math]=\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)+\lambda\left(1,0,-2\right),\lambda\in\mathbb{R}[/math][br][br][br]Da mesma forma, o coeficiente angular da reta tangente a curva [math]C_2[/math] dada pela interseção do plano [math]x=\frac{1}{4}[/math] com o gráfico [math]f[/math], no ponto [math]\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)[/math], é dado por[br][br] [math]\frac{\partial f}{\partial y}\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)=-1[/math][br][br]Neste caso, temos que a reta tangente à curva [math]C_2[/math] no ponto [math]\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)[/math], na forma cartesiana, é dada por pelas equações [br][br] [math]\text{\begin{cases} z-\frac{1}{2} = -1\left(y-\frac{1}{2}\right) \\ x= \frac{1}{4} \end{cases}}[/math][br][br]Além disso, temos que [math]C_2[/math] é a curva obtida no plano [math]x=\frac{1}{4}[/math] com o gráfico de [math]f[/math], parametrizada por [math]\gamma_0\left(y\right)=\left(\frac{1}{4},y,f\left(\frac{1}{4},y\right)\right),y\in\mathbb{R}[/math], e a reta tangente à curva [math]C_2[/math] no ponto [math]\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)[/math], na forma paramétrica, é dada [br][br][br] [math]\left(x,y,z\right)=\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)+\lambda\left(0,1,\frac{\partial f}{\partial y}\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)\right),\lambda\in\mathbb{R}[/math][br] [math]=\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)+\lambda\left(0,1,-1\right),\lambda\in\mathbb{R}[/math].[br][br]Observe abaixo o esboço da função, a interseção com os planos e as retas tangentes as curvas.

Dado [math]f\left(x,y\right)=\sqrt{36-x^2-y^2}[/math], encontre os coeficientes angulares das retas tangentes, respectivamente, às curvas dadas pela interseção do gráfico de[math]f[/math] com o plano [math]y=4[/math] no ponto [math]\left(4,4,2\right)[/math], e com o plano [math]x=4[/math], no mesmo ponto.[br][br][br][color=#ff0000]Solução:[br][br][/color] Conforme observado acima, o coeficiente angular da reta tangente à curva [math]C_1[/math] dada pela interseção do plano [math]y=4[/math] com o gráfico de [math]f[/math], no ponto [math]\left(4,4,2\right)[/math], é dada por [br][br] [math]\frac{\partial f}{\partial x}\left(4,4\right)=-2[/math][br][br]Neste caso, temos que a reta tangente à curva [math]C_1[/math] no ponto [math]\left(4,4,2\right)[/math], na forma cartesiana, é dada pelas equações [br][br] [math]\text{\begin{cases} z - 2 = -2(x-4) \\ y =4 \end{cases}}[/math][br][br]Além disso, temos que [math]C_1[/math] é a curva contida no plano [math]y=4[/math], parametrizada por [math]\gamma_{_0}\left(x\right)=\left(x,4,f\left(x,4\right)\right),x\in\mathbb{R}[/math] e a reta tangente a curva [math]C_1[/math] no ponto [math]\left(4,4,2\right)[/math], na forma paramétrica, é dada [br][br] [math]\left(x,y.z\right)=\left(4,4,2\right)+\lambda\text{\left(1,0,\frac{\partial f}{\partial x}(4,4) \right)},\lambda\in\mathbb{R}[/math][br] [math]=\left(4,4,2\right)+\lambda\left(1,0,-2\right),\lambda\in\mathbb{R}[/math] [br][br]Da mesma forma, o coeficiente angular da reta tangente a curva [math]C_2[/math] dada pela interseção do plano [math]x=4[/math] com o gráfico [math]f[/math], no ponto [math]\left(4,4,2\right)[/math], é dado por[br][br] [math]\frac{\partial f}{\partial y}\left(4,4\right)=-2[/math][br][br]Neste caso, temos que a reta tangente à curva [math]C_2[/math] no ponto [math]\left(4,4,2\right)[/math], na forma cartesiana, é dada por pelas equações [br] [br] [math]\text{\begin{cases} z - 2 = -2(y - 4) \\ x =4 \end{cases}}[/math][br][br]Além disso, temos que [math]C_2[/math] é a curva obtida no plano [math]x=4[/math] com o gráfico de [math]f[/math], parametrizada por [math]\gamma_0\left(y\right)=\left(4,y,f\left(4,y\right)\right),y\in\mathbb{R}[/math], e a reta tangente à curva [math]C_2[/math] no ponto [math]\left(4,4,2\right)[/math], na forma paramétrica, é dada [br][br] [math]\left(x,y,z\right)=\left(4,4,2\right)+\lambda\text{\left(0,1,\frac{\partial f}{\partial y}(4,4)\right)},\lambda\in\mathbb{R}[/math][br] [math]=\left(4,4,2\right)+\lambda\left(0,1,-2\right),\lambda\in\mathbb{R}[/math][br][br]Observe abaixo o esboço da função, a interseção com os planos e as retas tangentes as curvas.

O recurso abaixo tem o intuito de permitir que o leitor possa introduzir funções escalares de duas variáveis, observar seu esboço, sua derivada parcial sobre cada uma das variáveis, aplicadas em um ponto contido na função. Divirta-se!

As derivadas parciais podem ser interpretadas como taxas de variação. Utilizando como exemplo uma função definida em [math]\mathbb{R}^2[/math], dada a função:[br][br] [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^2\quad\rightarrow\quad\mathbb{R}[/math][br] [math]\left(x,y\right)\quad\qquad\quad\mapsto\quad z=f\left(x,y\right)[/math][br][br]temos que [math]\frac{\partial z}{\partial x}[/math] representa a taxa de variação de [math]z[/math] com relação a variável da variável [math]x[/math] quando [math]y[/math] é mantido fixo. Da mesma forma, [math]\frac{\partial z}{\partial y}[/math] representa a taxa de variação de [math]z[/math] quando [math]x[/math] é mantido fixo. Em termos mais práticos, podemos citar a função [math]I=f\left(T,H\right)[/math], onde [math]I[/math] é o índice de calor (temperatura que corresponde à sensação de calor), [math]T[/math] é a temperatura real e [math]H[/math] é a umidade relativa do ar. Neste caso, estamos dizendo que o índice de calor é função da temperatura real e da umidade relativa do ar. Deste forma, temos que [math]\frac{\partial I}{\partial T}[/math] quando [math]T=T_0[/math] e [math]H=H_0[/math], i.e. [math]\frac{\partial f}{\partial T}\left(T_0,H_0\right)[/math] , fornece a taxa do índice de calor com relação à variação da temperatura, na temperatura [math]T_0[/math], quando a umidade relativa do ar é mantida fixa em [math]H_0[/math]. Da mesma forma, temos que [math]\frac{\partial f}{\partial H}[/math] quando [math]T=T_0[/math] e [math]H=H_0[/math], i.e. [math]\frac{\partial f}{\partial H}\left(T_0,H_0\right)[/math], fornece a taxa de variação do ́índice de calor com relação à variação da umidade relativa do ar, para a umidade relativa do ar igual a [math]H_0[/math], quando a temperatura é mantida fixa em [math]T_0[/math] .[br][br]A seguir, raciocinando como feito com derivadas de funções da reta na reta, vamos[br]fornecer aproximações para variações no índice de calor quando mantemos uma das[br]grandezas fixas e variamos apenas a outra.[br][br]Uma vez que,[br][br] [math]\frac{\partial f}{\partial T}\left(T_0,H_0\right)=\lim_{\Delta T\rightarrow0}\frac{f\left(T_0+\Delta T,H_0\right)-f\left(T_0,H_0\right)}{\Delta T},[/math][br][br]para [math]\Delta T[/math] suficientemente pequeno, podemos fornecer a seguinte aproximação [br][br] [math]\frac{\partial f}{\partial T}\left(T_0,H_0\right)\approx\frac{f\left(T_0+\Delta T,H_0\right)-f\left(T_0,H_0\right)}{\Delta T}[/math][br][br]de modo que[br][br] [math]f\left(T_0+\Delta T,H_0\right)\approx f\left(T_0,H_0\right)+\frac{\partial f}{\partial T}\left(T_0,H_0\right)\Delta T[/math].[br][br]O significado dessa aproximação acima é:[br][br]"A variação do índice de calor, quando a umidade é mantida fixa em [math]H_0[/math], e a temperatura varia de [math]T_0[/math] a[math]T_0+\Delta T[/math] é de aproximadamente [math]\frac{\partial f}{\partial T}\left(T_0,H_0\right)\Delta T[/math]".[br][br]Analogamente, como [br][br] [math]\frac{\partial f}{\partial H}\left(T_0,H_0\right)=\lim_{\Delta H\rightarrow0}\frac{f\left(T_0,H_0+\Delta H\right)-f\left(T_0,H_0\right)}{\Delta H}[/math][br][br]para [math]\Delta H[/math] suficientemente pequeno, podemos fornecer a seguinte aproximação[br][br] [math]\frac{\partial f}{\partial H}\left(T_0,H_0\right)\approx\frac{f\left(T_0,H_0+\Delta H\right)-f\left(T_0,H_0\right)}{\Delta H}[/math][br]de modo que[br][br] [math]f\left(T_0,H_0+\Delta H\right)\approx f\left(T_0,H_0\right)+\frac{\partial f}{\partial H}\left(T_0,H_0\right)\Delta H[/math] [br][br] [br]O significado dessa aproximação acima é:[br][br]"A variação do índice de calor, quando temperatura é mantida fixa em [math]T_0[/math], e a umidade relativa do ar varia de [math]H_0[/math] a [math]H_0+\Delta H[/math] é de aproximadamente [math]\frac{\partial f}{\partial H}\left(T_0,H_0\right)\Delta H[/math]".[br][br]De fato, considerando agora uma função arbitrária definida em [math]\mathbb{R}^2[/math],[br][br] [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^2\quad\rightarrow\quad\mathbb{R}[/math][br] [math]\left(x,y\right)\qquad\mapsto\quad f\left(x,y\right)[/math],[br][br]onde [math]f[/math] possui derivadas parciais no ponto[math]\left(x_0,y_0\right)\in A\left(aberto\right)\subseteq Dom\left(f\right)[/math], como[br][br] [math]\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0,y_0\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x_0+h,y_0\right)-f\left(x_0,y_0\right)}{h}[/math],[br][br]para [math]h[/math] pequeno, temos que[br][br] [br] [math]\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0,y_0\right)\approx\frac{f\left(x_0+h,y_0\right)-f\left(x_0,y_0\right)}{h}[/math],[br][br]de modo que[br][br] [math]f\left(x_0+h,y_0\right)\approx f\left(x_0,y_0\right)+\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0,y_0\right)h[/math].[br]Neste caso, temos que [math]\frac{\partial f}{\partial x}[/math] fornece a taxa de variação de [math]f[/math] e relação a variação da variável [math]x[/math] quando a variável [math]y[/math] permanece fixa.[br][br]Da mesma forma, como[br][br] [math]\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0,y_0\right)=\lim_{k\rightarrow0}\frac{f\left(x_0,y_0+k\right)-f\left(x_0,y_0\right)}{k}[/math][br]para [math]k[/math] pequeno, temos que [br][br] [math]\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0,y_0\right)\approx\frac{f\left(x_0,y_0+k\right)-f\left(x_0,y_0\right)}{k}[/math][br]de modo que[br][br] [math]f\left(x_0,y_0+k\right)\approx f\left(x_0,y_0\right)+\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0,y_0\right)k[/math][br][br]Neste caso, temos que [math]\frac{\partial f}{\partial y}[/math] fornece a taxa de variação de [math]f[/math] e relação a variação da variável [math]y[/math] quando a variável [math]x[/math] permanece fixa.

Seja [br] [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^n\quad\rightarrow\quad\mathbb{R}[/math][br] [math]X=\left(x_1,x_2,...,x_n\right)\quad\mapsto f\left(x_1,x_2,...,x_n\right)[/math][br][br]e seja [math]X_0=\left(x_{10},x_{20},...,x_{n0}\right)\in A\left(aberto\right)\subseteq Dom\left(f\right)[/math](ou seja, [math]X_0[/math] é um ponto interior de [math]Dom\left(f\right)[/math]). Se [math]f[/math] possui todas as derivadas parciais de primeira ordem em [math]X_0[/math], o vetor gradiente de [math]f[/math] em [math]X_0[/math], denotado por [math]\nabla f\left(X_0\right)[/math], é definido como [br][br] [math]\nabla f\left(X_0\right)=\text{\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(X_0), \frac{ \partial f}{\partial x_2}(X_0),..., \frac{\partial f}{\partial x_n}(X_0)\right)}[/math]

Determine [math]\nabla f\left(x,y\right)[/math], onde [math]f\left(x,y\right)=x^2y+2x[/math].[br][br][br][color=#ff0000]Solução:[br][br][/color]Calculemos primeiramente [math]\frac{\partial f}{\partial x}\left(x,y\right)[/math][color=#ff0000].[br][/color]Temos que [math]\frac{\partial f}{\partial x}\left(x,y\right)=2xy+2[/math].[br][br]Agora façamos [math]\frac{\partial f}{\partial y}\left(x,y\right)[/math].[br]Temos que[br][br] [math]\frac{\partial f}{\partial y}\left(x,y\right)=x^2[/math].[br][br]Podemos concluir então que[br][br] [math]\nabla f\left(x,y\right)=\left(2xy+2,x^2\right)[/math]