[size=150]このワークシートは[url=https://www.geogebra.org/m/twxxx3yq]Math by Code[/url]の一部です。[/size][br][br]これまで、楕円曲線は群と強くつながることがわかったね。[br]また、楕円曲線のｎ等分点群のガロア群は行列に表すことができる、ガロア表現があることがわかった。[br][br]今回はガロア表現そのものにフォーカスをあててみたい。

[b][size=150]＜ｎ等分点群E[n]のガロア表現の振り返り＞[br][/size][/b][br]空O∞からきたボールをｎ回けってO∞に返す。[br]かんたんにかくとｎP＝OとなるPがｎ等分点だった。[br][br][b]nP=Oとなる[br]複素トーラス（浮き輪、ドーナツ）上にある曲線E上の点のあつまりをE[n][/b]とかいたね。[br]複素トーラス上の点E[n]の要素は2方向の点AとBの線形結合[br][b]sA+tB（for s,t in range(n))[/b][br]とかくことができた。[br][br]トーラスのもとは複素平面の「格子の2重周期性」によるものだったから、[br]ｎP=Oという周期ｎが2方向で独立に効いてくるので、E[n]の異なる要素が[b]ｎ×ｎ[/b]個あることもわかった。[br]このE[n]はくるくるパス回しをしている仲間で、もともと群になっていた。[br][br]この群をコップE[n]に入れたまま、かきまぜる操作ρのあつまりも群を作り、「ガロア群」といったね。[br]ガロア群は自己同型だから、当然、準同型性（たし算をたもつ）があるので、[br]かきまぜたあとの点ρ（A)とρ（B)もコップE[n]に入っているから、それぞれpA+qBの形とかけるから、[br][b]「ρ自体をA,Bに作用させると、[br]2段の行ベクトルつまり、行列でかくことができて、それがガロア表現」[/b]だった。[br][br]つまり、「ガロア群」から「ガロア表現」への写像、[br][b]ρn: Gal(K/Q)→GL2(Zn)がある[/b]ということだった。[br][br]要約するとこんな感じの情報提供でおしまい。[br][br]という感じだったね。[br]くわしくは、こちら、[url=https://www.geogebra.org/m/twxxx3yq#material/krhywgac]https://www.geogebra.org/m/twxxx3yq#material/krhywgac[/url][br][br]このように「[b]ガロア表現がある[/b]」ことはわかったけど、具体的には書き出してなかったね。[br][br]今回は、「ガロア表現を具体的に」かいてみよう。[br][br][b][size=150]＜ｙ^2=x^3-2のガロア群のガロア表現＞[br][/size][/b][br]E:y^2=x^3-2を考えてみましょう。[br][br]x^3-2=0の解は１の3乗根の１つω＝-1/2+1/√3 i と2の3乗根s=nsqrt(2)を使って表せます。[br]x^3=1の解を｛１、ω、ω^2 ｝とかけるので、x^3-2=0の解は{s, sω,sω^2}とかけますね。[br]群論の用語と使ってかくと、[br]このωとsをQにくっつけてエクステすると、すっごいぼてぼてした拡大体ができます。[br]それが、K=Q(ω, s )={a+b[b]ω[/b]+c [b]s[/b] +d[b]ωs[/b] +e [b]s^2[/b]+f [b]ωs^2[/b]| a,b,c,d,e,f∈Q｝ですね。[br][br]Q(ω)でもQ(s)でも、x^3-2=0の解をすべて表すことができないため、[br]このどでかい拡大体Kがf(x)=x^3-2の[b]最小分解体になってます。これでも最小です。[br][/b][br]そして、[b]最小多項式[/b]f(x)=x^3-2=0の[b]ガロア群Gal(f/Q)[/b]のQ上の共役、[br]かきまぜられるコップはX={1,2,3}={s, sω, sω^2}だということです。[br][br]この3要素の置換群をS3={e, r:(1 2 3), w:(1 3 2), u:(1 2) , v:(1 3) ,t :(2 3)}としよう。[br]具体的には、[br]r(s)=sω 、r(sω)=sω^2、r(sω^2)=s[br]t(s)=s, t(ω)= ω^2、 t(ω^2)=ω [br]w=r*r, v=r*t, v=w*t[br]この６置換で入れ替えがすべて表現できる。 [br][b]ガロア群Gal(f/Q)はAut(Q[[color=#0000ff]ω,s[/color]]/Q)=S3[/b]で、[br]ガロア群のどの置換でもベースの[b]有理数体Qは不変のまま、無風[/b]だ。[br][br]しかし、これだと、ただの「数の世界」の話です。[br][br]「幾何の世界」に対応させましょう。[br][br]楕円曲線EのコップはE[n]です。[br]2等分点の群E[n]には[br][b]O∞、A=(s,0), B=(sω,0), C=(sω^2,0)の4点[/b][br]があります。[br]K=Q(E[n])が拡大体ですね。[br]位数4＝２×２からZ2×Z2。[br]A,Bを生成元とすると、C=A+Bになる。[br]４つの要素をA、Bの線形結合でかくと、[br]O=0A+0B, A=1A+0B, B=0A+1B, C=1A+1Bとなりますね。[br]基本となる置換を２つ決めます。[br][br]A→B→Cの巡回、回転をρとすると、[br]ρ(A)=B =0A+1B ,[br]ρ(B)=C=A+B =1A+1B,[br]A,Bの動きに着目すると、Mr={{0,1},{1,1}}[br][br]ωとω^2の入れ替えをτとします。[br]sは実数なのでA(s,0)だけ動きません。BとCが入れ替わりますね。[br]τ(A)=A =1A+ 0B,[br]τ(B)=C=A+B = 1A+1B[br]A,Bの動きに着目すると、Mt={{1,0},{1,1}}[br]このρとτがガロア表現です。[br]ガロア表現はガロア群の表現ですから、[b]Gal(f/Q)の表現、つまり、[br][/b]置換群S3={e, r:(1 2 3), w:(1 3 2), u:(1 2) , v:(1 3) ,t :(2 3)}に対応するでしょう。[br][br][color=#9900ff][b][size=150][u]課題：geogebraを使って、ρ={{0,1},{1,1}}とτ={{1,0},{1,1}}を生成元としてS3と同型な群ができることをたしかめよう。[br][/u][/size][/b][/color][br]タイトル「ガロア表現：置換群の計算が行列計算でできる。」[br][br]Mr={{0,1},{1,1}} #r;(123)にあたる[br]Mt={{1,0},{1,1}} #t:(23)にあたる[br]Mrt = Mr Mt[br]Mtr = Mt Mr[br]Mtt = Mt Mt [br]Mrr = Mr Mr[br]としましょう。[br][br]結果を見ると行列の成分に２が出てきておや？[br]と思うかもしれません。mA+nB（for m,n in range(2))のはずだから、[br]m,nは０，１しかダメですよね。[br]でも、冷静に考えるとgeogebraにはm,n が2重周期性から0,1だけに制限できているという[br]ことを伝えるか、その結果としてのm=Mod(m,2),n=Mod(n,2)という処理を仕込んであげるかしないと[br]2以上の数で出てきてもなんの不思議ではないのです。[br]そこは冷静に2が出たら2で割った余りに直すという読みかえをしましょう。[br][br]すると、[br]Mrt={{1,1},{2,1}}つまり、⇒{{1,1},{0,1}}と計算されます。[br]だから、rt(A)=1A+1B＝C, rt(B)=0A+1B=B これは、ACの入れ替え、r*t=v:(1 3)にあたる。[br]Mtr={{0,1},{1,2}}つまり、⇒{{0,1},{1,0}}と計算されます。[br]だから、tr(A)=0A+1B=B, tr(B)=1A+0B=Aとなり、ABの入れ替え、t*r=u:(1 2)にあたる。[br]Mtt={{1,0},{2,1}}つまり、⇒{{1,0},{0,1}}と計算されます。[br]だから、tt(A)=1A+0B=A, tr(B)=0A+1B=Bとなり、恒等置換、t*t=eにあたる。[br]Mrr={{1,1},{1,2}}つまり、⇒{{1,1},{1,0}}と計算されます。[br]だから、tt(A)=1A+1B=C, tr(B)=1A+0B=Aとなり、rの逆、r*r=w::(1 3 2)にあたる。[br]２つの生成元から他がみな計算で出せました。[br][br]群の計算が行列計算で済ませられるというのはすごいことですね。[br]群の計算は辞書構造とかを使ったり、特別なパッケージを使わないと難しいのですが、[br]行列なら、たいていのプログラミング言語に入っている数値パッケージで計算できます。[br][br]2次行列だから、なんなら手計算でもできるでしょう。[br][br][b]ガロア表現のおかげで、「群の扱いが格段にカンタン」[/b]になりますね。

行列を変えてみる。[br][b][size=150]＜振り返り＞[br][/size][/b][br]基本的に格子が2方向あることから考えてもS3の生成元が回転と交換の2種類あることから、[br]どっちにしても、[br]ガウス表現の生成元となる行列は２つ必要でした。[br]それがMrとMtでしたね。[br]交換は三角形の3頂点の１つだけ動かさない裏返しだったのだから、BCの交換ではなく、[br][b]ABの交換を基本にしても全体としては同じS3に対応するガロア表現たちができるはず[/b]ですよね。[br][br]ωのないAとωのあるBを交換するのはどうもなあ。。。と思うかもしれません。[br][br]しかし、図形としてみたら、A,B,Cは対等です。[br][b]A＋B＝C、B+C=A、C＋A=Bも成り立ちます。[br]O∞以外の3点A,B,Cは有理点なのだから、この3点で和の関係が成り立つはず[/b]だからです。[br][br]だから、[color=#0000ff][b]成分は気にせずにやってみよう[/b][/color]。[br][br]Mr={{0,1},{1,1}}の[br]x(A)=B,x(B)=Aとすると、[br]Mx={{0,1},{1,0}}として、[br]geogebraでさっきとまった同じことをやってみよう。[br][br][u][b][size=150][color=#9900ff]課題：基本となる独立な生成元を変更したときのガロア表現がgeogebraでどうなるかをたしかめよう。[br][/color][/size][/b][/u][br]Mr={{0,1},{1,1}} #さっきと同じr:(1 2 3)[br]Mx={{0,1},{1,0}} #ここから下でtをxにする必要がある。#u:(1 2)[br]Mrx=>{{1,0},{1,1}} #rx(A)=A, rx(B)=Cから　BC交換 t;(2 3)[br]Mxr=>{{1,1},{0,1}} #xr(A)=C, xr(B)=Bから、AC交換 v:(1 3)[br]Mxx=>{{1,0},{0,1}} #xx(A)=A, xx(B)=Bから、恒等変換　e[br]Mrr=>{{1,1},{1,2}}=>{{1,1},{1,0}} r*r:w(1 3 2)[br][br]成分２が出てくるのが1回なので意味がとりやすいですね。[br]ガロア表現は基本の生成元を決めると、ガロア群とピッタになり、[br][b][size=150][color=#0000ff]S3の元とガロア表現の行列も最終的には同一になる[/color][/size][/b]ことがわかります。[br][br]まあ、どこからボールをけり始めても、[br]3点の関係性が変わるわけではないので、[br][b]3点の関係性を表す行列は不変だ[/b]ということですね。[br][br]ただ、生成元が独立ならば、[br][color=#0000ff][b]どこから始めても全体としても、部分として同じ対応になる[/b][br][/color]ということで、[br]さらに「[b]ガロア表現が気楽に扱える[/b]」ようになりましたね。

ここまではガロア表現を具体的にどうなるかを見てきた。[br][br]すこし、鳥瞰して振り返りをしてみよう。[br][br]最初の基本設定ではMtr≠Mrtだった。次の設定ではMrx≠Mxrだった。[br]ガロア表現はガロア群の鏡だ。[br]ガロア表現が非アーベルになるということは、ガロア群が非アーベルになるということと同値だね。[br]ということは、数でみた拡大Q(ω, s )/Qも、図形でみたQ(E[2])/Qも非アーベル拡大だということになるね。[br]もちろん、「ガロア群」から「ガロア表現」への写像[br][b]ρn: Gal(K/Q)→GL2(Zn)[br]の結果となる行列も非アーベルとなる。[br][/b]まあ、行列がアーベル的になることの方が珍しいので、驚くことはない。[br]逆に、ガロア表現を調べるとアーベル的になるから、もとのガロア群がアーベル的だとわかる例はないでしょうか。[br][br][b][size=150]＜アーベル拡大になるときのガロア表現＞[br][br][/size][/b]さっきの拡大はQ(ω,s)/Qという3次方程式がらみの拡大だった。[br]こんどはｎ次方程式にからむ拡大をみてみよう。[br]それは、１の原始n乗根ζnのエクステによる、ガロア拡大Q(ζn)/Qを調べてみよう。[br]ｘ^n=1の共役となる元の入ったコップXがあり、それをかきまぜるガロア群の要素ρでかきまぜます。[br]どの要素ρでまぜても、ρ(ζn)=ζ^a_ρとなるa_ρが1以上n未満で決まるでしょう。[br]これって置換ρからｎ未満の自然数Zn整数a_ρへの対応を考えることになるね。[br]つまり、写像ρからa_ρへの写像Gal(Q(ζn)/Q)→Ｚnを考えることだ。[br][br]さて、要素ρとして、別の２つr,t,eから[br][b]rt(ζn)=r(t(ζn))で、e(ζn)=ζn[br][/b]この２つから、[br]Ｚnでの整数の等式[br][b]a_rt=a_r a_t, [br]a_e=1[br][/b]が言えるでしょう。[br][br]Ｚnで逆元もてるためにはｎと互いに素であることが必要です。[br]さらに、Ｚnは言うまでもなく、整数のかけ算の商群ですから、交換法則がなりたちます。[br]ただし、このままでは、積は決まっても逆元が1意的に存在する補償はない。[br]そこで、Ｚnを互いに素な数に限定したアーベル群(Ｚn)[sup]×[/sup]に像を限定しよう。[br][br]つまり、ρからa_ρへの写像Gal(Q(ζn)/Q)→(Ｚn)[sup]×[/sup][br]にするのです。[br][br]この結果がアーベル群なので、Gal(Q(ζn)/Q)もアーベル群だと言えますね。[br][br]写像の結果は行列ではありませんでしたが、既知の構造を使って鏡として映し出すという発想としては[br]ガロア表現そのものでした。[br][br]ガロア表現という発想によって、[br]ガロア群には非アーベル的で2次元多様体（楕円曲線のｎ等分）の世界の他に[br]円分体というアーベル的な1次元多様体（円のｎ等分）の世界があること[br]もわかったね。[br][br]まあ、(Zn)[sup]×[/sup]はGL1(Zn)と同型だと言ってしまうと、みな行列だったともいえなくもないですけどね。