Da es die algebraische Berechnung der Ableitung vereinfachen kann, wird häufig eine alternative Schreibweise des Differentialquotienten verwendet. Dabei wird [math]x[/math] als [math]x_0+h[/math] definiert.[br]Eingesetzt in die Definition des Differentialquotienten erhalten wir[br][math]f'\left(x_0\right)=\lim_{x_0+h\to x_0}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{x_0+h-x_0}[/math]
[b]Aufgabe 8.1.1:[/b][br]Die obige Schreibweise lässt sich noch vereinfachen.[br]a) Gegen welchen Wert muss h streben, damit [math]x_0+h[/math] gegen [math]x_0[/math] strebt?[br]b) Fasse den Nenner zusammen.[br]c) Passe die obige Schreibweise entsprechend a) und b) an und formuliere eine alternative Definition.[br]d) Vergleiche deine Definition mit der Musterlösung und übertrage sie anschließend in dein Heft.
[b][br]Alternative Definition:[/b][br]Der Grenzwert [math]f'\left(x_0\right)=\lim_{h\to0}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}[/math] heißt Differentialquotient.
[b]Aufgabe 8.1.2:[/b][br]Erstelle eine Skizze mit[br][list][*]dem Graphen von [math]f\left(x\right)=x^2[/math],[/*][*]dem Punkt [math]P_0=\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)[/math], wobei [math]x_0=1[/math] ist,[/*][*]dem Punkt [math]P_1=\left(x_0+h,f\left(x_0+h\right)\right)[/math], wobei [math]h=1[/math] ist,[/*][*]der Sekante durch [math]P_0[/math] und [math]P_1[/math],[/*][*]einem Steigungsdreieck über [math]P_0[/math] und [math]P_1[/math], welches mit h und [math]\Delta y[/math] beschriftet ist.[/*][/list]
[b]Aufgabe 8.1.3:[br][/b]Begründe in deinem Heft, wieso es für die Bestimmung der mittleren Änderungsrate, der momentanen Änderungsrate, der Sekantensteigung und der Tangentensteigung keinen großen Unterschied macht, wenn Differenzenquotient und Differentialquotient über die h-Schreibweise definiert werden.