[b]INFORMAZIONI TEORICHE[/b][br]I punti e le rette sono oggetti indefiniti. Semplicemente postuliamo un insieme, i cui elementi vengono chiamati [i]punti[/i], con certi suoi sottoinsiemi, che chiamiamo [i]rette[/i]. [br]Aggiungiamo anche la seguente:[br][br][b]Definizione:[/b] due rette distinte sono [i]parallele [/i]se non hanno punti in comune. Diciamo anche che ogni retta è parallela a sè stessa. [br][br]Quindi: non sappiamo cosa sono i punti né sappiamo quali sottoinsiemi formano le rette ma richiediamo che questi oggetti indefiniti obbediscano a certi assiomi (abbiamo quindi un [i]sistema assiomatico). [/i][br][br]Nel nostro sistema assiomatico, gli assiomi che ci interessano sono i quattro seguenti che riguardano i punti, le rette e le loro intersezioni:[br][list][*](I1) Per ogni coppia di punti distinti A, B, esiste un'unica retta [i][i]r[/i][/i] che contiene A, B. [/*][*](I2) Ogni retta contiene almeno due punti.[/*][*](I3) Esistono tre punti non allineati (cioè, esistono tre punti non tutti contenuti in una retta.[/*][*](P) Per ogni punto A e per ogni retta [i][i]r[/i][/i], c'è al massimo una retta che contiene A ed è parallela ad [i]r[/i].[/*][/list][br]Un [i]modello [/i]di un sistema assiomatico è la realizzazione dei termini non definiti in qualche particolare contesto, in modo che tutti gli assiomi siano soddisfatti.
[b][color=#1e84cc]Daremo di seguito tre diversi contesti: possono essere modelli del nostro sistema assiomatico?[/color][/b][br][br](Attenzione! Per affermare che un certo contesto è un modello di un sistema assiomatico, bisogna verificare la validità di tutti gli assiomi scelti...)
In questo primo contesto, prendiamo:[br][list][*]come PUNTI, l'insieme con questi tre elementi P={A, B, C}[/*][*]come RETTE i seguenti tre sottoinsiemi di punti: {A, B}, {B, C}, {A, C}[br][/*][/list][br]Affermiamo che questo contesto è un modello per il nostro sistema assiomatico. [br]Perché?[br]Verificate la validità dei quattro assiomi.
In questo secondo contesto, prendiamo:[br][list][*]come PUNTI, l'insieme con questi cinque elementi P={A, B, C, D, E}[/*][*]come RETTE tutti i sottoinsiemi da due punti.[br][/*][/list][br]Questo secondo contesto NON è un modello per il nostro sistema assiomatico.[br]Perché? Quale assioma non è soddisfatto?
In questo terzo contesto, prendiamo:[br][list][*]come PUNTI l'insieme delle coppie ordinate [math]$(x,y)$[/math] con [math]$x$[/math] e [math]$y$[/math] numeri reali;[/*][*]come RETTE i sottoinsiemi di punti [math]$P=(x,y)$[/math] che soddisfano l'equazione lineare [math]$ax+by+c=0$ [/math] nelle incognite [math]$x$[/math] e [math]$y$.[/math][br][/*][/list][br]Il piano cartesiano reale è un modello per il nostro sistema assiomatico?[br]Se vi è utile, potete usare la seguente schermata GeoGebra.
[size=85]Attività ispirata a Hartshorne, R. (2000). Geometry: [i]Euclid and beyond[/i]. Springer. p. da 66 - 67.[/size]