[size=150][justify] Neste caso são fornecidos dois pontos distintos A e B e uma circunferência f e devemos encontrar o círculo tangente a circunferência passando pelos dois pontos.[/justify][/size]

[size=150][b]1. Os pontos A e B não pertencem à circunferência f[/b][br] [b]a) O centro de f não pertence a mediatriz dos pontos A e B: [/b]Há duas soluções.[br][b] b) O centro de f pertence a mediatriz dos pontos A e B: [/b]Há duas soluções.[br][b] c) Um dos pontos A ou B é interno a circunferência f e o outro é externo: [/b]Não há solução.[br][b]2. Um dos pontos A ou B pertence a circunferência f: [/b]A solução é única.[br][b]3. Os pontos A e B pertencem a circunferência f: [/b]Não há solução.[/size]

[size=100][size=150][justify](1-5) São dados uma circunferência f, de centro F e raio r, e dois pontos A e B;[br](6) É traçada a reta AB;[br][url=https://www.geogebra.org/m/bksxjdjv](7-8)[/url] É traçada uma circunferência b, secante a f, passando pelos pontos A e B;[br](9) São determinados os pontos A' e B' de intersecção entre b e f;[br](10) É traçada a reta A'B';[br](11) É determinado o ponto C de intersecção entre AB e A'B';[br](12) É traçado o círculo d de diâmetro FC passando por F e por C;[br](13) São determinados os pontos T[sub]1[/sub] e T[sub]2[/sub] de intersecção entre d e f;[br](14-15) São traçados o círculo c[sub]1[/sub] passando por A, B e T[sub]1[/sub] e o círculo c[sub]2[/sub] passando por A, B e T[sub]2[/sub].[/justify][/size][/size]

[size=150][justify] Queremos encontrar as circunferências c[sub]1[/sub] e c[sub]2[/sub] que passam pelos pontos A e B e são tangentes a circunferência f dada inicialmente.[br] Sabemos que c[sub]1[/sub] e c[sub]2[/sub] pertencem a família de todas as circunferências que passam pelos pontos A e B. Tomamos inicialmente uma das circunferências dessa família que seja secante a f nos pontos A' e B' e encontramos o ponto C de interseção da reta A'B' com a reta AB. Note que, independentemente da circunferência escolhida, o ponto C mantém sempre sua posição (veja a explicação [url=https://www.geogebra.org/m/urppnxmu]aqui[/url]), de modo que teremos que a potência do ponto C em relação a qualquer um dos círculos secantes se mantém constante e igual a AC x BC. Assim, AC x BC = A'C x B'C, já que A' e B' petencem a circunferência secante escolhida. No caso limite, em que a reta A'B' é tangente à circunferência f, temos A' = B' = T, ou seja, A'C = B'C = TC e assim AC x BC = TC². Portanto, o que precisamos é obter os pontos T (na verdade serão dois, T[sub]1[/sub] e T[sub]2[/sub]) que satisfazem esta condição, estes pontos são precisamente aqueles obtidos quando procuramos as retas tangentes a f passando por C (veja aqui como fazer isso). Logo, as circunferências c[sub]1[/sub] e c[sub]2[/sub] que passam pelos pontos A e B e por um dos pontos de tangência T[sub]1[/sub] ou T[sub]2[/sub], representam a solução do problema.[br][/justify][/size]

[size=150][justify] Não é possível obter a solução deste caso, visto que ao traçarmos um círculo, ele deverá intersectar pelo duas vezes a circunferência, o que já foge do que é proposto no problema incialmente. Algo semelhante ocorre nos casos [url=https://www.geogebra.org/m/yudc4bet]PPR4[/url], [url=https://www.geogebra.org/m/xjqnxkgh]PRR3[/url] e [url=https://www.geogebra.org/m/qv7axgs2]RRR3[/url].[/justify][/size]

[size=150][justify](1-4) São dados dois pontos distintos A e B e a circunferência f;[br](5) É traçada a reta OA passado pelo centro da circunferência f e o ponto A;[br](6) É construída a mediatriz m[sub]1[/sub] dos pontos A e B;[br](7) É determinado o ponto O de interseção entre as retas OA e m[sub]1;[br][/sub](8) É traçado o círculo c de centro O passando por A e B.[/justify][/size]

[size=150] O ponto O, centro da circunferência c, de solução do problema deve estar localizada na reta OA e também na reta m[sub]1[/sub], mediatriz dos pontos A e B, assim, o centro do círculo estará equidistante dos pontos A e B.[justify][b]OBS:[/b] Se as retas AF e AB forem perpendiculares, o círculo c degenera em uma reta.[/justify][/size]

[size=150][justify] Não é possível obter um círculo que passa por A e B e seja tangente a circunferência, uma que vez que ambos os pontos pertençam a circunferência, inviabiliza uma tangencia e passe por A e B. [/justify][/size]