0

Analysis I

Andreas Lindner, weng, Sep 4, 2018

Begleitmaterial zur Vorlesung Analysis I

Mengen, Logik, Funktionen
1. Verkettung von Funktionen
2. Gleichmächtigkeit von Einheitsquadrat und -strecke
3. Exponentialfunktion und Umkehrfunktion
Zahlen
1. Pascalsches Dreieck
2. Polarkoordinaten
Folgen
1. Monotonie und Schranken einer Folge
2. Supremum und Infimum einer Folge
3. Grenzwert einer Folge
4. Cauchy-Folgen
5. Konvergenz einer Folge in C
6. Heron'sches (babylonisches) Wurzelziehen (Liste)
7. Folgen in expliziter und rekursiver Darstellung
Reihen
1. Reihe
2. Achill und die Schildkröte
3. Summe der natürlichen Zahlen
Stetige Funktionen
1. Stetigkeit einer Funktion
2. Die trigonometrischen Funktionen
3. Winkelfunktionen und hyperbolische Funktionen
4. Rechenschieber 3
5. Lipschitz-Stetigkeit
6. Folgenkriterium
Differentialrechnung
1. Grenzwert einer Funktion
2. Differenzen- und Differentialquotient
3. Andere Definitionen der Differenzierbarkeit
4. Lupe und Tangente
5. Grafisches Ableiten
6. Satz von Rolle
7. Mittelwertsatz der Differentialrechnung
8. Das Newtonsche Näherungsverfahren
9. Taylorpolynome
10. Richtungsfeld für y' = k·y
11. Konvexe und konkave Funktionen
Integralrechnung
1. Mittelwertsatz der Integralrechnung
2. Numerische Integration
3. Berechnung des Rotationsvolumens
4. Rotationskörper
5. Cavalieri-Prinzip
6. Volumen eines Kegels
7. Gewölbte Staumauer mit Quadern
8. Volumen eines Körpers
9. Integralfunktion
10. Mantelfläche

Information

Mengen, Logik, Funktionen

1. Verkettung von Funktionen
2. Gleichmächtigkeit von Einheitsquadrat und -strecke
3. Exponentialfunktion und Umkehrfunktion

Verkettung von Funktionen

In der Konstruktion wird die Verkettung g o f der Funktionen f: R → R;

und g: [-1; ∞[ → R;

gezeigt. Aufgabe Arbeite das Applet in Einzelschritten mit Hilfe der Navigationsleiste durch. Erkläre mit eigenen Worten die Konstruktion des Punktes P und das Entstehen des Graphen von g o f. Hinweis: Verschiebe das Argument x und beobachte den Punkt P, der sich auf dem Graphen der Verkettung von f und g bewegt. Schalte dazu eventuell die Spur von P ein (Rechtsklick auf P). Berechne den Funktionsterm der verketteten Funktion g o f und gib diesen in der Eingabezeile ein. Vergleiche durch Klicken auf die Schaltfläche. Falls die Beschriftungen der Punkte störend wirken, kannst du sie auch wegklicken.

1.2.

1.3.

2.

Zahlen

1. Pascalsches Dreieck
2. Polarkoordinaten

2.1.

Pascalsches Dreieck

Binomialkoeffizienten und Pascalsches Dreieck

Zum Berechnen und Einprägen der Binomialkoeffizienten eignet sich das Pascalsche Dreieck besonders gut. Aufgabe Verändere mit den Schiebereglern die Werte für n und k. Blende im rechten Fenster die Berechnung ein, die zeigt, wie aus zwei Binomialkoeffizienten in der oberen Zeile ein Binomialkoeffizient in der darunterliegenden Zeile entsteht. Zoome bei Bedarf im linken Fenster, um die Binomialkoeffizienten für größere Werte von n zu berechnen.

Welche Binomialkoeffizienten sind richtig berechnet?

2.2.

3.

Folgen

1. Monotonie und Schranken einer Folge
2. Supremum und Infimum einer Folge
3. Grenzwert einer Folge
4. Cauchy-Folgen
5. Konvergenz einer Folge in C
6. Heron'sches (babylonisches) Wurzelziehen (Liste)
7. Folgen in expliziter und rekursiver Darstellung

3.1.

Monotonie und Schranken einer Folge

Untersuche die Folge <

> mit

a) hinsichtlich der Art der Monotonie, b) hinsichtlich einer oberen Schranke.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

4.

Reihen

1. Reihe
2. Achill und die Schildkröte
3. Summe der natürlichen Zahlen

4.1.

Reihe

4.2.

4.3.

5.

Stetige Funktionen

1. Stetigkeit einer Funktion
2. Die trigonometrischen Funktionen
3. Winkelfunktionen und hyperbolische Funktionen
4. Rechenschieber 3
5. Lipschitz-Stetigkeit
6. Folgenkriterium

5.1.

Stetigkeit einer Funktion

Definition: Stetigkeit einer Funktion

Sei f eine Funktion

. f heißt stetig an der Stelle

In Worten: Eine Funktion ist stetig an der Stelle x₀, wenn es für alle

, und seien diese ε noch so klein, ein

gibt, sodass für alle

, die von x₀ höchstens einen Abstand von δ haben (d.h.

), gilt, sodass der Abstand des Funktionswertes f(x) an der Stelle x vom Funktionswert f(x₀) an der Stelle x₀ kleiner als ε ist (d. h.

). Aufgabe

Verkleinere die ε-Umgebung um .
Verändere die Position der Stelle .
Verändere die Position von x in der δ-Umgebung von .
Untersuche die Stetigkeit von anderen Funktionen, die du im Dropdown -Feld wählen kannst.

Hinweis: Eine Funktion ist nicht stetig (unstetig), wenn es ein

gibt, sodass es für alle

ein

mit

gibt, für das

ist. f ist nicht stetig an der Stelle

Welche der folgenden Funktionen sind stetig?

Gebrochen rationale Funktionen auf ihrer jeweiligen Definitionsmenge. Potenzfunktionen der Form

mit

Die Tangensfunktion auf ihrer Definitionsmenge Die Funktion

mit

Treppenfunktionen

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

6.

Differentialrechnung

1. Grenzwert einer Funktion
2. Differenzen- und Differentialquotient
3. Andere Definitionen der Differenzierbarkeit
4. Lupe und Tangente
5. Grafisches Ableiten
6. Satz von Rolle
7. Mittelwertsatz der Differentialrechnung
8. Das Newtonsche Näherungsverfahren
9. Taylorpolynome
10. Richtungsfeld für y' = k·y
11. Konvexe und konkave Funktionen

6.1.

Grenzwert einer Funktion

(vgl. Hinrichs, A.: Analysis 1, Vorlesungsnotizen, Wintersemester 2015/2016, Johannes Kepler Universität Linz)

Aufgabe

Blende eine der Folgen (a_n), (b_n) oder (c_n) ein.
Erhöhe den Index n und beobachte das Verhalten der Folge und der Folge der Funktionswerte.
Blende wahlweise die anderen Folgen ein.
Verändere die Stelle x₀ und untersuche weitere Funktionen und ihren Grenzwert an der Stelle x₀.

Beispiele: f(x) = e^-x² und x₀ = 0 f(x) = sin(x) und x₀ = π (pi) f(x) = Wenn[x<= 3, 2, x] ...

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

6.6.

6.7.

6.8.

6.9.

6.10.

6.11.

7.

Integralrechnung

7.1.

Mittelwertsatz der Integralrechnung

Satz Sei f eine stetige Funktion in [a; b]. Dann gibt es mindestens eine Stelle ξ in [a; b] mit

Geometrische Interpretation Es gibt mindestens ein ξ aus [a; b] , sodass der Flächeninhalt des Rechtecks gleich ist dem Flächeninhalt unter der Kurve von a bis b. Die Stelle ξ ist im allgemeinen nicht der Mittelwert von a und b. Aufgabe Verändere die Integrationsgrenzen und beobachte die Auswirkungen.

Mittelwertsatz der Integralrechnung

Andreas Lindner

0

Analysis I

Table of Contents

Information

Mengen, Logik, Funktionen

Verkettung von Funktionen

Zahlen

Pascalsches Dreieck

Binomialkoeffizienten und Pascalsches Dreieck

Folgen

Monotonie und Schranken einer Folge

Reihen

Reihe

Stetige Funktionen

Stetigkeit einer Funktion

Definition: Stetigkeit einer Funktion

Differentialrechnung

Grenzwert einer Funktion

Integralrechnung

Mittelwertsatz der Integralrechnung

Mittelwertsatz der Integralrechnung