[right][size=50]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color][u][color=#0000ff][b] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url][/b][/color][/u]. [color=#ff7700][b](20. Juli. 2022)[/b][/color][br][color=#000000]Diese Seite ist auch eine Aktivität des [color=#ff7700][color=#000000][color=#980000][i][b]Geogebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/z8SGNzgV][color=#0000ff][u][b]Sechseck-Netz[/b][/u][/color][/url][/color][/color][/color][/size][size=85][br][/size][/right][size=85][color=#cc0000][u][i][b]Unten: [/b][/i][/u][/color] Dies ist kein [i][b]Applet[/b][/i], sondern ein [color=#351C75][i][b]Bild[/b][/i][/color] des Applets auf der [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/jue2uh4y][color=#0000ff][u][i][b]nächsten Seite[/b][/i][/u][/color][/url]! [br]Wegen eines hohen Aufwands an [color=#ff00ff][i][b]Rechnungen[/b][/i][/color] sind die Lade-Zeiten sehr lang. Das Applet funktioniert dennoch![/size]

[size=85]Die im [color=#45818e][i][b]Inneren[/b][/i][/color] einer [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartik[/b][/i][/color] [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] erzeugen[br]mit den [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] durch die im [/size][size=85][size=85][color=#45818e][i][b]Inneren[/b][/i][/color][/size] liegenden [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [br]dann und nur dann ein [color=#9900ff][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color] aus [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color],[br]falls der zur [color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Achse[/b][/i][/color] symmetrisch liegende [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] durch die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] zugleich ein [color=#ff7700][i][b]Scheitelkreis[/b][/i][/color] ist.[br][br]Dieses [/size][size=85][size=85][color=#9900ff][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color][/size] ist nach unserem Wissensstand bisher unbekannt. [br][br][color=#cc0000][i][b]Erklärungen und Berechnungen:[/b][/i][/color][br] [br][color=#cc0000][b]2[/b][/color]-teilige [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] besitzen [color=#cc0000][b]4[/b][/color] paarweise [color=#0000ff][i][b]orthogonale[/b][/i][/color] [color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Kreise[/b][/i][/color]; [br]auf einem dieser [color=#BF9000][i][b]Symmetriekreise[/b][/i][/color] liegen die [color=#cc0000][b]4[/b][/color] [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] .[br]Wählt man die Koordinatenachsen und den [color=#f1c232][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color] als [color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Kreise[/b][/i][/color], [br]ergeben sich die [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][i][b]Brennpunkte [math]f,f'=-f,f''=-\frac{1}{f,}f'''=\frac{1}{f}[/math] [/b][/i][/color][/size][br]und die [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] implizit durch Gleichungen des Typs: [br][/size][list][*][size=85][math]\left(x^2+y^2\right)^2-2\cdot A_x\cdot x^2-2\cdot B_y\cdot y^2+1=0[/math][br][/size][/*][/list][size=85]Die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] können auf [color=#cc0000][b]3[/b][/color] Weisen als [color=#ff0000][i][b]Grundpunkte[/b][/i][/color] zweier [color=#ff0000][i][b]elliptischer Kreisbüschel[/b][/i][/color] dienen.[br]Die [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] ist [color=#0000ff][i][b]Winkelhalbierende[/b][/i][/color] der [/size][size=85][size=85]sich auf der [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] schneidenden [/size][color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] aus den [color=#ff0000][i][b]Kreisbüscheln[/b][/i][/color].[br][color=#BF9000][i][b]Symmetrisch[/b][/i][/color] zu diesen [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] liegen die [/size][size=85][size=85][size=85][color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color][/size][/size], aus welchen [b]W. Wunderlich[/b] [b]1938[/b][br] [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/Ug7ekXH8][color=#0000ff][u][i][b]"besondere Dreiecks-Netze aus Kreisen"[/b][/i][/u][/color][/url] konstruiert hat.[br]Diese [/size][size=85][size=85][color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color][/size] können einfach mit Hilfe der zugehörigen [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] konstruiert werden.[br]Die [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] ermöglichen auch die Konstruktion der [/size][size=85][size=85][size=85][color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color][/size][/size] durch vorgegebene [color=#ff0000][i][b]Punkte[/b][/i][/color],[br]und damit die "Konstruktion" der genannten [color=#9900ff][i][b]Dreiecks-Netze[/b][/i][/color]. [/size]

[size=85][color=#cc0000][u][i][b]Wie konstruiert man die[/b][/i][/u][/color] [math]x[/math][color=#cc0000][u][i][b]-achsensymmetrischen[/b][/i][/u][/color] [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color]?[br][br]Für die [math]x-[/math]achsensymmetrischen [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] nützen die [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] wenig.[br]Wir untersuchen die [color=#ff0000][i][b]hyperbolischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] um die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkts[/b][/i][/color]-Paare [color=#00ff00][b]f[/b][/color] , [color=#00ff00][b]f'[/b][/color] bzw. [color=#00ff00][b]f''[/b][/color] , [color=#00ff00][b]f'''[/b][/color]. [br]Für diejenigen [color=#ff0000][i][b][color=#00ff00]Brenn[/color]-Kreise[/b][/i][/color] aus den beiden [color=#ff0000][i][b]Kreisbüscheln[/b][/i][/color], die sich auf der [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] schneiden, ist die [color=#ff7700][i][b]Quartik [/b][/i][/color][br]wieder [color=#0000ff][i][b]Winkelhalbierende[/b][/i][/color], die gesuchten [/size][size=85][size=85][color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color][/size] sind [color=#BF9000][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color]-[color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] der [color=#00ff00][i][b]Brenn[/b][/i][/color]-[color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color].[br]Die Konstruktion beruht auf einer einfachen Eigenschaft der [color=#00ff00][i][b]Brenn[/b][/i][/color]-[color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color]:[/size][size=85][br][list][*]Spiegelt man einen der Achsenschnittpunkte des einen [size=85][color=#00ff00][i][b]Brenn[/b][/i][/color]-[color=#ff0000][i][b]Kreises[/b][/i][/color][/size] an einem [color=#ff7700][i][b]Scheitel-Kreis[/b][/i][/color], [br]so erhält man einen Achsenschnittpunkt des anderen [size=85][color=#00ff00][i][b]Brenn[/b][/i][/color]-[color=#ff0000][i][b]Kreises[/b][/i][/color][/size].[br][/*][/list]Diese Eigenschaft findet man auch bei den [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitten[/b][/i][/color] wieder: die [color=#00ff00][i][b]Brenn-[/b][/i][/color][color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] sind konzentrische [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] [br]um die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] (der 2.-te [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] ist [math]\infty[/math]!)[br]Man berechnet die [i][b]Parameter[/b][/i] der [color=#00ff00][i][b]Brenn[/b][/i][/color]-[color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color]-Schnittpunkte mit der [math]x[/math]-Achse:[br][/size][list][*][math]t\in\left[-t_r,t_r\right][/math] [size=85]mit [/size][math]t_r=\frac{f}{s^2}[/math], [math]t':[/math][size=85] spiegle [math]t[/math] an[/size] [math]\odot\left(0,f\right)=\frac{f^2}{t}[/math], [math]t''=\frac{1}{s^2\cdot t}[/math], [math]t'''=\frac{s^2\cdot t}{f^2}[/math][br][/*][/list][size=85]und daraus die [color=#ff0000][i][b]Kreis-[/b][/i][/color]Gleichungen: [math]K(t,t')[/math]: [math]x^2+y^2-x\cdot\left(t+\frac{f^2}{t}\right)+f^2=0[/math][br] und [math]K\left(t'',t'''\right)[/math]: [math]x^2+y^2-\left(\frac{1}{s^2\cdot t}+s^2\cdot\frac{t}{f^2}\right)\cdot x+\frac{1}{f^2}=0[/math][br]Die Berechnung der [color=#ff7700][i][b]Schnittpunkte[/b][/i][/color] ergibt eine [i][b]Parameterdarstellung[/b][/i] der [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartik[/b][/i][/color]:[br][/size][list][*][size=85][math]x\left(t\right)=\frac{\left(1-f^4\right)\cdot s^2\cdot t}{t^2\cdot s^2\cdot\left(s^2-f^2\right)+f^2\cdot\left(1-s^2\cdot f^2\right)}[/math] und [math]y\left(t\right)^2=-x\left(t\right)^2+x\left(t\right)\cdot\left(t+\frac{f^2}{t}\right)-f^2[/math][/size][/*][*][size=85][math]z\left(t\right)=x\left(t\right)\pm i\cdot\sqrt{y\left(t\right)^2}[/math][br][/size][/*][/list][size=85]Aus [color=#BF9000][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color]-Gründen berechnet sich hieraus der [color=#999999][i][b]Mittelpunkt [/b][/i][/color]des [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreises[/b][/i][/color], [br]welcher [color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Kreis[/b][/i][/color] der beiden [color=#00ff00][i][b]Brenn[/b][/i][/color]-[color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] ist_[br][/size][list][*][size=85][math]m\left(t\right)=\frac{t'\cdot t'''-t\cdot t''}{t'+t'''-t-t''}=\frac{\left(s^4-1\right)\cdot f^2\cdot t}{f^2\cdot\left(f^2\cdot s^2-1\right)-t^2\cdot s^2\cdot\left(f^2-s^2\right)}[/math][br][/size][/*][/list][size=85]und dazu den [color=#999999][i][b]Radius[/b][/i][/color][br][/size][list][*][size=85][math]\rho\left(t\right)^2=\frac{\left(s^2-f^2\right)\cdot\left(f^2-t^2\right)\cdot\left(s^4\cdot t^2-f^2\right)\cdot\left(f^2\cdot s^2-1\right)}{\left[f^2\cdot\left(f^2\cdot s^2-1\right)-t^2\cdot s^2\cdot\left(f^2-s^2\right)\right]}[/math][/size][br][/*][/list][size=85]Für die Frage, ob ein [color=#9900ff][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color] aus den angegebenen [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] erzeugt werden kann, [br]hat man die [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color][/size] durch einen vorgegebenen [color=#ff0000][i][b]Punkt [/b][/i][/color][math]p=x+i\cdot y[/math] zu bestimmen: [br]man löse die Gleichung [math]\left(x-m\left(t\right)\right)^2+y^2-\rho\left(t\right)^2=0[/math] nach t auf:[br][/size][list][*][math]m\left(t\right)\cdot\left(t+\frac{1}{s^2\cdot t}-2\cdot x\right)+x^2+y^2-\frac{1}{s^2}=0[/math][br][/*][/list][size=85]Wenn es [color=#ff00ff][i][b]Lösungen[/b][/i][/color] gibt, gibt es immer genau [color=#cc0000][b]2[/b][/color] [/size][size=85][size=85][color=#ff00ff][i][b]Lösungen[/b][/i][/color][/size], auch wenn die komplizierten Gleichungen [br]nicht wie [color=#0000ff][i][b]quadratische[/b][/i][/color] Gleichungen erscheinen wollen![br]Die Berechnungen oben wurden [color=#741B47][b]händisch[/b][/color] durchgeführt, das [color=#980000][i][b]geogebra[/b][/i][/color]-[b]CAS[/b] war keinerlei Hilfe.[br]In den nachfolgenden [b]Applets[/b] wurden die [/size][size=85][size=85][size=85][color=#ff00ff][i][b]Lösungen[/b][/i][/color][/size][/size] mit [color=#980000][i][b]geogebra[/b][/i][/color]-[b]Lösungen[/b](gleichung) berechnet.[br]Die Folgen sind einerseits die [color=#741B47][i][b]langen Ladezeiten[/b][/i][/color] der [b]Applet[/b]s, andererseit die wirklich überraschenden[br]übereinstimmenden [color=#ff0000][i][b]Schnittpunkts[/b][/i][/color]-Berechnungen bis fast zur [color=#cc0000][b]15[/b][/color]-ten Nachkommastelle, [br]falls ein [color=#ff00ff][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color] vorliegt![br]Der vorliegende neue Fall eines [/size][size=85][size=85][color=#ff00ff][i][b]6-Eck-Netzes [/b][/i][/color][/size]aus [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] ergänzt die [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/nqt92fdp][color=#0000ff][u][i][b]Beispiele F N (e)[/b][/i][/u][/color][/url] von [b]FEDOR NILOV[/b] und [br][math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/ds388yjg][color=#0000ff][u][i][b]Ein neues 6-Eck-Netz aus Kreisen 2.[br][/b][/i][/u][/color][/url][/size]