Wie versprochen gibt es jetzt noch eine kleine Abkürzung für das Verfahren zum Finden von Hoch- und Tiefpunkten.[br][br]Statt bei jedem Kandidaten für einen Hoch- oder Tiefpunkt den Vorzeichenwechsel (VZW) zu überprüfen, können wir auch ein Unterscheidungskriterium nutzen, das mit der zweiten Ableitung arbeitet:[br]Die zweite Ableitung zeigt - wie du weißt - das Kurvenverhalten: [br][math]f''\left(x\right)>0\Longrightarrow[/math] Linkskurve[br][math]f''\left(x\right)<0\Longrightarrow[/math] Rechtskurve (vgl. Kapitel 7)[br][br]Jetzt schau dir nochmal dieses Bild an:

Anschaulich ist klar: Jeder Tiefpunkt liegt in einer Linkskurve und jeder Hochpunkt in einer Rechtskurve. [br][br]Wir können also die Kandidaten mit [math]f'\left(x\right)=0[/math] auch so überprüfen:[br][b]Wir setzen jede Lösung x in die zweite Ableitung ein. Ist der Wert positiv, haben wir da einen Tiefpunkt, ist er negativ, haben wir einen Hochpunkt. [br][br][/b]Man könnte es auch so formulieren:[br][b]Ein hinreichendes Kriterium für einen Hochpunkt (Tiefpunkt) an der Stelle x ist: [math]f'\left(x\right)=0[/math]und [math]f''\left(x\right)<\left(>\right)0[/math][br][br]Achtung Falle:[br][/b]Wenn der Wert der zweiten Ableitung Null ergibt, heißt das [i]nicht[/i], dass an dieser Stelle dann ein Sattelpunkt sein müsste. Es kann immer noch ein Hoch- oder Tiefpunkt sein. In diesem Fall musst du dann doch das VZW-Kriterium benutzen.

Du könntest jetzt sagen: Warum soll das eine Abkürzung sei? Da muss ich ja erst mal die zweite Ableitung berechnen![br][br]Ja schon, aber meistens musst du das sowieso, weil du dann im nächsten Aufgabenteil vielleicht die Wendepunkte bestimmen sollst. Dann macht man das eben gleich zu beginn und hat die 2. Ableitung dann schon zur Verfügung.

Bestimme Hoch- und Tiefpunkte der Funktion [math]f\left(x\right)=-\frac{1}{3}x^3+x[/math].[br][br][math]f'\left(x\right)=-x^2+1[/math][br][math]f''\left(x\right)=-2x[/math][br][br][math]-x^2+1=0[/math] führt auf [math]x_1=-1[/math] und [math]x_2=1[/math].[br][math]f''\left(-1\right)=-2\cdot\left(-1\right)=2>0[/math], also ist bei -1 ein Tiefpunkt.[br][math]f''\left(1\right)=-2\cdot1=-2<0[/math], also ist bei 1 ein Hochpunkt.[br][br]Bestimmung der y-Koordinaten wie üblich durch Einsetzen der x-Werte in die Funktionsgleichung.[br][br]Das geht schon schneller, als für jeden Kandidaten einen Wert links und einen rechts von der Stelle in die Ableitung einzusetzen.