Potenzfunktionen und ganzrationale Funktionen
Potenzfunktionen und ganzrationale Funktionen und ihre Eigenschaften
Table of Contents
- Potenzfunktionen
- Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten - Definition und Symmetrie
- Natürliche Potenzfunktionen und der Einfluss des Koeffizienten a.
- Natürliche Potenzfunktionen - Aufgaben
- Potenzfunktionen mit ganzzahligen, negativen, geraden Exponenten
- Potenzfunktionen mit ganzzahligen, negativen, ungeraden Exponenten
- Potenzfunktionen mit negativen, ganzz. Exponenten
- Transformation von Potenzfunktionen
- Ganzrationale Funktionen
- Ganzrationale Funktionen - Definition
- Ganzrationale Funktion 5. Grades
- Nullstellen (1): Linearfaktorzerlegung
- Symmetrie von ganzrationalen Funktionen
- Nullstellen (2): Faktorisieren
- Nullstellen (3): Substitution
Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten - Definition und Symmetrie
[b][u]Definition:[/u] Funktionen der Form [/b][math]f\left(x\right)=x^n[/math][b] mit [/b][math]n\in\mathbb{N}\backslash\left\{0\right\}[/math][b] heißen Potenzfunktionen vom Grad n.[br]Der Graph für n>1 heißt Parabel n-ten Grades. [br][/b][i][color=#ff7700]Es gibt auch noch Potenzfunktionen, deren Potenz (Exponent) nicht eine natürliche sondern eine ganze Zahl ist, wie bspw. -2. Diese Gruppe der Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten behandeln wie im weiteren Verlauf noch.[/color][/i][br]Das folgende Applet zeigt den Verlauf einer Potenzfunktion. Dabei kann mit dem Schieberegeler [icon]/images/ggb/toolbar/mode_slider.png[/icon]die Potenz der Funktion verändert werden.[br][br]Man unterscheidet zwischen [b]geraden[/b] und [b]ungeraden[/b] Potenzfunktionen, da die Graphen unterschiedliche [b]Gestalt/FORM[/b] und [b]Symmetrieeigenschaften[/b] besitzen.
Bewege den Schieberegler, um den Exponenten zu verändern. Beobachte den Graphen. Notiere Deine Beobachtungen ins Heft, bevor Du weiter machst.
Kleine Überprüfung:
[color=#ff0000]Welche der folgenden Eigenschaften über Potenzfunktionen ist richtig?[/color]
[size=150][b][u]Merksätze/Regeln zur Gestalt/Form des Graphen von Potenzfunktionen:[/u][/b][br][br][/size]Für [b]gerade Werte von n [/b]sollte Dir aufgefallen sein, dass die Potenzfunktion die [b]Form einer Parabel [/b]hat.[br]Für [b]ungerade Werte von n [/b]sieht der Graph der Potenzfunktion auf der einen Seite der y-Achse so aus, als wäre er eine Parabel, auf der anderen Seite ist diese Parabel aber sozusagen nach unten abgeknickt. Diese Form nennt man auch [b]Wendeparabel[/b].[br][br][size=150][i]Symmetrie von Potenzfunktionen:[/i][/size][br]Für [b]n gerade[/b] ergeben sich Graphen, die symmetrisch zur y-Achse verlaufen ([b]y-Achsensymmetrie).[br][/b]Es gilt: [math]f\left(x\right)=f\left(-x\right)[/math]für alle [math]x\in D[/math].[br][br]Für [b]n ungerade[/b] ergeben sich Graphen, die symmetrisch zum Koordinatenursprung (0/0) verlaufen ([b]Nullpunktsymmetrie)[/b]. [br]Es gilt: [math]f\left(x\right)=-f\left(-x\right)[/math] bzw. [math]f\left(-x\right)=-f\left(x\right)[/math] für alle [math]x\in D[/math].[br][br][color=#ff0000][b][u]AUFGABE:[/u][/b][br]Probiere die Schieberegler der beiden folgenden Appletts nochmal aus und bestätige die oben genannten Eigenschaften.[/color]
Graphen für gerade n
Graphen für ungerade n
Welche der folgenden Funktionen hat eine Parabelform?
Welche der folgenden Funktionen hat die Form einer Wendeparabel?
Welche Eigenschaften besitzen Potenzfunktionen mit geradem Exponenten?
Welche Eigenschaften besitzen Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten?
Graphen ihre Funktiongleichungen zuordnen
Ganzrationale Funktionen - Definition
Defintion:
Als [b]ganzrationale Funktion[/b] oder [b]Polynomfunktion[/b] [b]vom Grad n [/b]bezeichnet man eine Funktion der Form[br][br][math]f\left(x\right)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+a_{n-2}\cdot x^{n-2}+....+a_2\cdot x^2+a_1\cdot x+a_0[/math][br][br]Polynomfunktionen werden also dadurch gebildet, dass mehrere Potenzfunktionen verschiedenen Grades addiert werden. Dabei werden sie in der Regel nach Potenzen absteigend sortiert.[br][br]Man bezeichnet die Vorfaktoren [math]a_n,a_{n-1},....,a_1,a_0[/math] als [b]Koeffizienten. [br][/b][br][i]Merke: Oft werden auch einfach die Buchstaben a, b, c, d …., z als Koeffizienten verwendet. Da das Alphabeth aber nur 26 Buchstaben hat, wurde die obige Schreibweise mit dem a und den kleinen Indexen (n, n-1, …., 2, 1, 0) offiziell eingeführt. Wir schreiben bspw. [math]f\left(x\right)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e[/math][/i]
Beispiel:
[math]f\left(x\right)=3x^5-4x^4+0,5x^2-x+1,5[/math] ist eine ganzrationale Funktion vom Grad 5.[br][br]Die Koeffizienten lautet [math]a_5=3,a_4=-4,a_3=0,a_2=0,5,a_1=1,a_0=1,5[/math].
Graphen zu ganzrationalen Funktionen
Der Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion lässt sich aufgrund der Koeffizienten und auftretenden Potenzen nur schwer vorhersagen.[br]Es lassen sich eigentlich nur zwei Aussagen treffen:[br][br][list=1][*]Die höchste Potenzfunktion dominiert den Graphen "weit außen", d.h. für[math]x\longrightarrow\pm\infty[/math]. Mit anderen Worten: Für große bzw. kleine x verhält sich der Graph wie [math]y=a_n\cdot x^n[/math].[/*][*]Die niedrigste Potenzfunktion dominiert den Graphen "nahe bei Null", d.h. der Graph verläuft so, wie für [math]y=a_k\cdot x^k+a_0[/math], wobei k die kleinste auftretende Potenz ist.[br][/*][/list]Als Beispiel schauen wir uns der Verlauf des Graphen zu den oben angebenenen Funktion an.[br][br]"Außen" verläuft der Graphen ähnlich zu [math]3x^5[/math], im Bereich der y-Achse ("nahe Null") dominiert die kleinste Potenz, also hier k=1. Der Graph verläuft wie die Gerade [math]y=-x+1,5[/math].
Durch Anwählen der Kreise lassen sich die Graphen zu g und h einblenden.
Beispiel 2:
Man betrachte den Graphen zu[br][math]f\left(x\right)=-x^8+8x^5+x^3-x^2+2[/math][br][br]"Außen" dominiert der Graph zu [math]-x^8[/math], im Bereich der y-Achse verläuft der Graph wie eine nach unten geöffnete, gestreckte Parabel, die um 2 Einheiten nach oben verschoben ist: [math]-5x^2+2[/math]