복소수의 곱셈 결과를 시각화하는 것은 중요하다. 예를 들어 복소수 [math]a+bi[/math]에 [math]2[/math]를 곱하여 얻은 [math]2a+2bi[/math]는 원래의 복소수보다 원점에서 [math]2[/math]배 만큼 떨어진 수이다. [math]-2[/math]를 곱하여 얻은 [math]-2a-2bi[/math] 역시 원점에서 [math]2[/math]배 만큼 떨어져있지만, 같은 방향이 아닌 반대 방향에 나타나게 된다. 일반적으로 두 복소수의 곱셈의 기하학적 의미를 설명하기 위해 극형식을 사용한다.[br]두 복소수를 다음과 같이 극형식으로 나타내었다고 하자.[br] [math]a+bi=r_1\cos\theta_1+ir_1\sin\theta_1[/math][br] [math]c+di=r_2\cos\theta_2+ir_2\sin\theta_2[/math][br]두 복소수의 곱은[br] [math]\left(a+bi\right)\cdot\left(c+di\right)=r_1r_2\left(\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2\right)+ir_1r_2\left(\sin\theta_1\cos\theta_2+\sin\theta_2\cos\theta_1\right)[/math][br]이며, 삼각함수의 덧셈정리에 의해[br] [math]\left(a+bi\right)\cdot\left(c+di\right)=r_1r_2\left(\cos\left(\theta_1+\theta_2\right)+i\sin\left(\theta_1+\theta_2\right)\right)[/math][br]이다. 이는 복소수의 곱셈을 기하학적으로 설명하면 크기는 곱하고 편각은 더한다는 뜻이다.[br]예를 들어, 복소수 [math]a+bi[/math]에 [math]i[/math]를 곱한다는 것은 원점을 중심으로 반시계방향으로 [math]90^\circ[/math] 만큼 회전하는 것과 같다. 그 이유는 [math]i[/math]의 크기는 [math]1[/math]이고, 편각은 [math]90^\circ[/math]이기 때문이다. [br]비슷한 원리로 복소수 [math]a+bi[/math]를 제곱하는 것은 크기를 제곱하고, 편각은 두 배를 하는 것과 같다.
두 복소수 [math]z_1=1+\sqrt{3}i[/math], [math]z_2=-1-i[/math]의 곱 [math]z_1z_2[/math]의 크기와 편각을 구해보자.
임의의 실수 [math]\theta[/math]와 정수 [math]n[/math]에 대하여 다음의 등식이 성립한다.[br] [math]\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta[/math][br][br]이 공식은 복소수와 삼각함수 사이의 관계를 보여준다. 좌변을 전개하여 실수부분과 허수부분을 구한 후 우변과 비교하여 [math]\cos nx[/math]와 [math]\sin nx[/math]를 [math]\cos x[/math]와 [math]\sin x[/math] 만을 이용하여 나타내는 식을 쉽게 유도할 수 있다. 뿐만 아니라 [math]z^n=1[/math]의 복소근을 쉽게 구할 수 있다.
방정식 [math]x^3=1[/math]의 모든 근을 극형식으로 나타내어보자.
위에서 구한 방정식 [math]x^3=1[/math]의 모든 근을 아래 지오지브라 애플릿에 도구를 이용하여 나타내어보자.[br][list][*][b]점을 중심으로 회전[/b] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_rotatebyangle.png[/icon] 도구를 이용하여 회전할 대상과 회전의 중심을 순서대로 선택한 후, 각의 크기와 방향을 입력하면 대상을 회전이동할 수 있다.[/*][*]모든 근을 나타낸 후 [b]무리수화[/b] 명령을 이용하여 나타낸 근을 식으로 나타내어보자. 예를 들어, 복소수 z[sub]1[/sub]이 있다고 할 때, 입력창에 다음과 같이 입력하면 구한 복소수를 식으로 나타낼 수 있다.[br] [b]무리수화(z_1)[/b][br][/*][/list]
방정식 [math]x^4=1[/math]의 모든 근을 아래 지오지브라 애플릿에 도구를 이용하여 복소평면에 점으로 나타내고, 무리수화 명령을 이용하여 식으로 나타내어보자.
방정식 [math]x^3=-1[/math]의 모든 근을 아래 지오지브라 애플릿에 도구를 이용하여 복소평면에 점으로 나타내고, 무리수화 명령을 이용하여 식으로 나타내어보자.
방정식 [math]x^4=-1[/math]의 모든 근을 아래 지오지브라 애플릿에 도구를 이용하여 복소평면에 점으로 나타내고, 무리수화 명령을 이용하여 식으로 나타내어보자.
실수 [math]x,y[/math]에 대하여 [math]\left(\frac{\sqrt{3}-i}{1+i}\right)^{12}=x+yi[/math]일 때, [math]x+y[/math]의 값을 구하시오.
[math]f\left(k\right)=\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^k[/math]에 대하여 [math]H\left(n\right)=f\left(1\right)+f\left(2\right)+f\left(3\right)+\cdots+f\left(n\right)[/math]이라 할 때, [math]H\left(25\right)+H\left(26\right)+H\left(27\right)[/math]의 값을 구하시오.
복소수 [math]z=\frac{1+i}{\sqrt{2}i}[/math]에 대하여 [math]z^n=1[/math]이 되도록 하는 가장 작은 자연수 [math]n[/math]의 값을 구하시오.
다음을 만족시키는 [math]100[/math] 이하의 자연수 [math]n[/math]의 개수를 구하시오.[br] [math]\left(\sqrt{3}+i\right)^n=-2^n[/math]
복소수 [math]z=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i[/math]에 대하여 [math]z+z^2+z^3+\cdots+z^{2021}=a+bi[/math]일 때, 실수 [math]a,b[/math]에 대하여 [math]a^2+b^2[/math]의 값을 구하시오.