Toda função [img]http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?ZjpcbWF0aGJie1J9XHJpZ2h0YXJyb3dcbWF0aGJie1J9[/img] na forma [img]http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?Zih4KVxxdWFkPVxxdWFkIGF4XjJccXVhZCtccXVhZCBieFxxdWFkK1xxdWFkIGM=[/img], com [img]http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?YVxxdWFkXG5vdD1ccXVhZDA=[/img] ([img]http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?YVxxdWFkXGluXHF1YWRcbWF0aGJie1J9Xio=[/img], [img]http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?YlxxdWFkXGluXHF1YWRcbWF0aGJie1J9[/img] e [img]http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?Y1xxdWFkXGluXHF1YWRcbWF0aGJie1J9[/img]) é denominada função quadrática, ou função polinomial do 2° grau.Lembre-se que o polinômio ax[sup]2[/sup] + bx + c é um polinômio do segundo grau na variável[br][br]Representação Gráfica de uma Função Quadrática. Devido ao fato de o gráfico de uma função polinomial do 2° grau ser uma parábola e não uma reta, como no caso de uma função afim, para montarmos o seu gráfico não nos basta conhecer apenas dois pares ordenados pertencentes à curva da função, no caso da função quadrática precisamos de mais alguns pontos para termos uma boa ideia de como ficará a curva no gráfico.[br][img]http://www.matematicadidatica.com.br/images/funcaoQuadratica1.gif[/img]Vamos analisar o gráfico ao lado e a tabela abaixo que contém alguns pontos deste gráfico:[br][br] x y = -x[sup]2[/sup] + 10x - 14[br]Na tabela temos cada um dos sete pontos destacados no gráfico.[br]Para traçá-lo primeiro identificamos no plano cartesiano cada um dos pontos sete pontos da tabela e depois fazemos as [br]interligações, traçando linhas curvas de um ponto a outro seguindo a [br]curvatura própria de uma parábola.[br]Normalmente é mais fácil traçarmos a parábola se a começarmos pelo seu vértice, que neste caso é o ponto (5, 11), visualmente o ponto máximo do gráfico desta parábola.[br][br]Ponto de Intersecção da Parábola com o Eixo das Ordenadas de uma forma geral a parábola sempre intercepta o eixo y no ponto (0, c).[br]Na função y = -x[sup]2[/sup] + 10x - 14, vista acima, o coeficiente c é igual a -14, portanto a intersecção da parábola do gráfico da função com o eixo das ordenadas ocorre no ponto (0, -14).[br][br]Raiz da Função Quadrática. Observe no gráfico anterior que a parábola da função intercepta o eixo das abscissas em dois pontos. Estes pontos são denominados raiz da função ou zero da função.[br]Uma função quadrática possui de zero a duas raízes reais distintas.[br]Sendo [img]http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?eVxxdWFkPVxxdWFkLXheMlxxdWFkK1xxdWFkMTB4XHF1YWQtXHF1YWQxNA==[/img] a função, para encontramos as suas raízes basta igualarmos y a 0 e solucionarmos a equação do segundo grau obtida:[br][img]http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?XHF1YWQgeVxxdWFkPVxxdWFkLSB4XjJccXVhZCtccXVhZDEwIHhccXVhZC1ccXVhZDE0XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkLSB4XjJccXVhZCtccXVhZDEwIHhccXVhZC1ccXVhZDE0XHF1YWQ9XHF1YWQwXHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCB4XHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3stMTBccXVhZFxwbVxxdWFkXHNxcnR7NDR9fXsyXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkLTF9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvdw==[/img][br][img]http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?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[/img][br][img]http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?XFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxsZWZ0XHtccXF1YWQgeF8xXHF1YWQ9XHF1YWQ1XHF1YWQtXHF1YWRcc3FydHsxMX1cXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFxcXFxcXHFxdWFkIHhfMlxxdWFkPVxxdWFkNVxxdWFkK1xxdWFkXHNxcnR7MTF9[/img][br]Estes são os valores de x que levam a y = 0, estes valores são portanto as raízes desta função.[br][br]Vértice e Concavidade da Parábola. Podemos observar que no gráfico da função y = -x[sup]2[/sup] + 10x - 14 o seu vértice é o ponto máximo e que a sua concavidade é para baixo.[br][img]http://www.matematicadidatica.com.br/images/funcaoQuadratica2.gif[/img]Agora vamos observar o gráfico da função y = x[sup]2[/sup] + 3x + 1:[br]Como podemos perceber, esta outra parábola é côncava para cima e o seu vértice é o seu ponto mínimo.[br]Observando apenas a lei de formação das duas funções, qual o seu palpite para esta divergência entre os dois gráficos?[br]Vamos identificar os coeficientes destas funções.[br]Para a função y = -x[sup]2[/sup] + 10x - 14 temos:[br][img]http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?XGxlZnRceyBhXHF1YWQ9XHF1YWQtMVxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcIGJccXVhZD1ccXVhZDEwXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFwgY1xxdWFkPVxxdWFkLTE0[/img][br]Já para a função y = x[sup]2[/sup] + 3x + 1 temos:[br][img]http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?XGxlZnRceyBhXHF1YWQ9XHF1YWQxXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFwgYlxxdWFkPVxxdWFkM1xcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcIGNccXVhZD1ccXVhZDE=[/img][br]Já tem algum palpite?[br]Observe que na primeira função o coeficiente a é negativo, ao passo que na segunda função este mesmo coeficiente é positivo.[br][img]http://www.matematicadidatica.com.br/images/funcaoQuadratica3.gif[/img]O gráfico da função [img]http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?Zih4KVxxdWFkPVxxdWFkIGF4XjJccXVhZCtccXVhZCBieFxxdWFkK1xxdWFkIGM=[/img] é côncavo para baixo quando a < 0:[br][img]http://www.matematicadidatica.com.br/images/funcaoQuadratica4.gif[/img]Por outro lado quando a > 0 o gráfico da função tem a sua concavidade voltada para cima:[br][br]Coordenadas do Vértice da ParábolaA abscissa do vértice x[sub]v[/sub] é dada pela fórmula:[br][img]http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?eF92XHF1YWQ9XHF1YWQtXGZyYWN7Yn17MmF9[/img][br]Já ordenada do vértice y[sub]v[/sub] pode ser obtida calculando-se y[sub]v[/sub] = f(x[sub]v[/sub]), ou ainda através da fórmula:[br][img]http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?eV92XHF1YWQ9XHF1YWQtXGZyYWN7XERlbHRhfXs0YX0=[/img][br]Vamos tomar como exemplo novamente a função y = -x[sup]2[/sup] + 10x - 14 e calcularmos as coordenadas do seu vértice para conferirmos com o ponto indicado na tabela inicial.[br]Seus coeficientes são:[br][img]http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?XGxlZnRceyBhXHF1YWQ9XHF1YWQtMVxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcIGJccXVhZD1ccXVhZDEwXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFwgY1xxdWFkPVxxdWFkLTE0[/img][br]Então para a abscissa do vértice x[sub]v[/sub] temos:[br][img]http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?eF92XHF1YWQ9XHF1YWQtXGZyYWN7Yn17MmF9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhfdlxxdWFkPVxxdWFkLVxmcmFjezEwfXsyXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkLTF9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhfdlxxdWFkPVxxdWFkNQ==[/img][br]A ordenada do vértice y[sub]v[/sub] vamos obter pelas duas formas indicadas. Primeiro utilizando a fórmula, mas para isto antes precisamos calcular o [url=http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoSegundoGrau.aspx]discriminante da equação -x[sup]2[/sup] + 10x - 14 = 0:[br][img]http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?XERlbHRhXHF1YWQ9XHF1YWQgYl4yXHF1YWQtXHF1YWQ0YWNccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWRcRGVsdGFccXVhZD1ccXVhZDEwXjJccXVhZC1ccXVhZDRccXVhZFxjZG90XHF1YWQtMVxxdWFkXGNkb3RccXVhZC0xNFxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxEZWx0YVxxdWFkPVxxdWFkMTAwXHF1YWQtXHF1YWQ1NlxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxEZWx0YVxxdWFkPVxxdWFkNDQ=[/img][br]Visto que o discriminante é igual a 44, a ordenada do vértice é:[br][img]http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?eV92XHF1YWQ9XHF1YWQtXGZyYWN7XERlbHRhfXs0YX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgeV92XHF1YWQ9XHF1YWQtXGZyYWN7NDR9ezRccXVhZFxjZG90XHF1YWQtMX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgeV92XHF1YWQ9XHF1YWQxMQ==[/img][br]Da outra maneira o cálculo seria:[br][img]http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?eV92XHF1YWQ9XHF1YWQgZih4X3YpXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHlfdlxxdWFkPVxxdWFkLTVeMlxxdWFkK1xxdWFkMTBccXVhZFxjZG90XHF1YWQ1XHF1YWQtXHF1YWQxNFxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCB5X3ZccXVhZD1ccXVhZC0yNVxxdWFkK1xxdWFkNTBccXVhZC1ccXVhZDE0XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHlfdlxxdWFkPVxxdWFkMTE=[/img][br]Portanto o vértice da parábola é o ponto (5, 11) como apontado inicialmente pela tabela.[br][br]Valor Mínimo ou Máximo da Função QuadráticaAcima aprendemos a identificar pela lei de formação de uma função se a parábola do seu gráfico tem concavidade para cima ou[br] para baixo e também aprendemos como calcular as coordenadas do vértice [br]desta parábola.[br]Ficamos sabendo também que as funções polinomiais do 2° grau com coeficiente a < 0 possuem um valor máximo, ao ponto que quando o coeficiente a > 0 possuem um valor mínimo.[br]Com base nestes conhecimentos podemos calcular qual é o valor máximo ou mínimo de uma função quadrática.[br][br]Valor Mínimo e Ponto de Mínimo da Função Quadrática[img]http://www.matematicadidatica.com.br/images/funcaoQuadratica5.gif[/img]Vamos analisar o gráfico da função f(x) = x[sup]2[/sup] - 4x + 5:[br]Os seus coeficientes são:[br][img]http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?XGxlZnRceyBhXHF1YWQ9XHF1YWQxXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFwgYlxxdWFkPVxxdWFkLTRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXCBjXHF1YWQ9XHF1YWQ1[/img][br]Esta função é côncava para cima, pois o seu coeficiente a > 0.[br]O ponto (2, 1) é o vértice da parábola.[br]2 é a abscissa do vértice, isto é x[sub]v[/sub], assim calculado:[br][img]http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?eF92XHF1YWQ9XHF1YWQtXGZyYWN7Yn17MmF9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhfdlxxdWFkPVxxdWFkLVxmcmFjey00fXsyXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgeF92XHF1YWQ9XHF1YWQy[/img][br]1 é a ordenada do vértice, ou seja y[sub]v[/sub], que obtemos iniciando pelo cálculo do discriminante:[br][img]http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?XERlbHRhXHF1YWQ9XHF1YWQgYl4yXHF1YWQtXHF1YWQ0YWNccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWRcRGVsdGFccXVhZD1ccXVhZFxsZWZ0KC00XHJpZ2h0KV4yXHF1YWQtXHF1YWQ0XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMVxxdWFkXGNkb3RccXVhZDVccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQ=[/img][br][img]http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?XFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWRcRGVsdGFccXVhZD1ccXVhZDE2XHF1YWQtXHF1YWQyMFxxcXVhZFxSaWdodGFycm93XHFxdWFkXERlbHRhXHF1YWQ9XHF1YWQtNA==[/img][br]Conhecendo o discriminante podemos calcular y[sub]v[/sub]:[br][img]http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?eV92XHF1YWQ9XHF1YWQtXGZyYWN7XERlbHRhfXs0YX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgeV92XHF1YWQ9XHF1YWQtXGZyYWN7LTR9ezRccXVhZFxjZG90XHF1YWQxfVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCB5X3ZccXVhZD1ccXVhZDE=[/img][br]Observe que para valores de x menores que a abscissa do vértice, o valor de y vai diminuindo até atingir um valor mínimo que é a ordenada do vértice ou f(x[sub]v[/sub]).[br]Como x[sub]v[/sub] = 2, então f(2) = 1 é o valor mínimo da função f e 2 é o ponto de mínimo da função f.[br]Para a > 0 o conjunto imagem da função polinomial do 2° grau é:[br][img]http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?SW0oZilccXVhZD1ccXVhZFx7eVxxdWFkXGluXHF1YWRcbWF0aGJie1J9XHF1YWR8XHF1YWQgeVxxdWFkXGdlcVxxdWFkLVxmcmFje1xEZWx0YX17NGF9fQ==[/img][br][br]Valor Máximo e Ponto de Máximo da Função Quadrática[img]http://www.matematicadidatica.com.br/images/funcaoQuadratica6.gif[/img]Vamos analisar agora este outro gráfico da função f(x) = -x[sup]2[/sup] + 4x + 2:[br]Os coeficientes da regra de associação desta função são:[br][img]http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?XGxlZnRceyBhXHF1YWQ9XHF1YWQtMVxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcIGJccXVhZD1ccXVhZDRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXCBjXHF1YWQ9XHF1YWQy[/img][br]Esta função é côncava para baixo já que o seu coeficiente a < 0.[br]O ponto (2, 6) é o vértice da parábola.[br]2 é a abscissa do vértice, ou seja x[sub]v[/sub], que calculamos assim:[br][img]http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?eF92XHF1YWQ9XHF1YWQtXGZyYWN7Yn17MmF9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhfdlxxdWFkPVxxdWFkLVxmcmFjezR9ezJccXVhZFxjZG90XHF1YWQtMX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgeF92XHF1YWQ9XHF1YWQy[/img][br]6 é a ordenada do vértice, isto é y[sub]v[/sub], que agora vamos obter calculando f(x[sub]v[/sub]) diretamente, em vez calcularmos primeiro o discriminante e a partir dele calcularmos y[sub]v[/sub], como fizemos no caso do valor mínimo:[br][img]http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?Zih4X3YpXHF1YWQ9XHF1YWQteF92XjJccXVhZCtccXVhZDR4X3ZccXVhZCtccXVhZDJccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgZigyKVxxdWFkPVxxdWFkLTJeMlxxdWFkK1xxdWFkNFxxdWFkXGNkb3RccXVhZDJccXVhZCtccXVhZDJccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgZigyKVxxdWFkPVxxdWFkLTRccXVhZCtccXVhZDEwXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIGYoMilccXVhZD1ccXVhZDY=[/img][br]Neste caso veja que para valores de x menores que a abscissa do vértice, o valor de y vai aumentando até atingir um valor máximo que é a ordenada do vértice, que como sabemos é f(x[sub]v[/sub]).[br]Visto que x[sub]v[/sub] = 2, então f(2) = 6 é o valor máximo da função f e 2 é o ponto de máximo da função f.[br]Para a < 0 o conjunto imagem da função quadrática é:[br][img]http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?SW0oZilccXVhZD1ccXVhZFx7eVxxdWFkXGluXHF1YWRcbWF0aGJie1J9XHF1YWR8XHF1YWQgeVxxdWFkXGxlcVxxdWFkLVxmcmFje1xEZWx0YX17NGF9fQ==[/img]