Koordinatengeometrie
Einführung in die Koordinatengeometrie
Table of Contents
- Punkte im Raum
- ÜBUNG: Quader durch Schieben der Punkte einzeichnen.
- Das kartesische Koordinatensystem
- Spiegelungen und Symmetrie
- Andere Koordinatensysteme
- Vektoren
- Einführung
- Ortsvektoren und Verbindungsvektoren
- Addition von Vektoren
- Verknüpfung von Verschiebungen
- Summe aus den Koordinaten berechnen
- So addiert man also Vektoren ... eine Zusammenfassung
- ÜBUNG 1: Bilde die Summe von drei Vektoren
- ÜBUNG 2: Nullvektor zusammensetzen
- Das Kommutativgesetz
- BONUS: Vektor-Addition in der Physik
- BONUS: Kanten einer dreiseitigen Pyramide bestimmen
- Länge eines Vektors
- Länge eines Vektors in 2D
- Länge eines Vektors in 3D
- BONUS: Länge eines Vektors n-dimensional
- Skalarprodukt - Winkel zwischen Vektoren
- Herleitung: Kosinussatz ( Cosinussatz )
- Skalarprodukt erkunden
- Vektorprodukt
- Vektorprodukt erkunden
ÜBUNG: Quader durch Schieben der Punkte einzeichnen.
Da du dich nun mit Koordinaten im 3-dimensionalen Raum auskennst, sollst du dein Wissen nutzen, um einen Quader zu zeichnen.[br][br]AUFGABE: Es soll ein Quader gezeichnet werden, der folgende Größe hat.[br][list][*] Länge/Tiefe (in x-Richtung) 3 LE[br][/*][*] Breite (in y-Richtung) 7 LE[br][/*][*] Höhe (in z-Richtung) 4 LE[br][/*][/list][br][br]Du bewegst einen Punkt, indem du ihn mit der linken Maustaste festhältst. Üblicherweise kannst du den Punkt erst einmal nur parallel zur xy-Ebene (der Gitterebene) bewegen. Klicke den Punkt kurz an und du kannst ihn hoch/runter bewegen. Klicke ihn noch einmal an und die Bewegung ist wieder parallel zur xy-Ebene.[br]Die Position des Punktes kannst du durch drehen der Ansicht kontrollieren oder du betrachtest die Koordinaten im Algebra-Fenster links.[br][br]Hast du alle Punkte einer Seitenfläche gezeichnet, zeichne diese mit Hilfe des Polygon-Werkzeuges ein. So kannst du auch besser erkennen, ob dein Quader richtig ist.[br][br]
Einführung
Bei der Verschiebung eines Dreiecks ABC zu A'B'C' legen seine Eckpunkte jeweils den gleichen Weg zurück. Diese Bewegung kann mit einem [b]Vektor [/b]beschrieben werden.[br][br][b]Aufgabe[/b]: Packe das gestrichene Dreieck und verschiebe es. Beobachte, wie die eingezeichneten Vektoren reagieren. Was haben alle Vektoren gemeinsam?
Ein dreidimensionaler Vektor [math]\vec{v}[/math] beschreibt eine Verschiebung im Raum. Alle im Applet gezeigten Vektoren sind sog. Repräsentanten des selben Vektors.[br][br]Ein Repräsentant eines Vektors ist ein einzelner Pfeil aus der Menge aller parallelen Pfeile, die den Vektor darstellen. Jeder Vektor hat unendlich viele Repräsentanten, da alle Pfeile, die gleich lang, parallel und gleich orientiert sind, als Repräsentanten des Vektors gelten. In der Mathematik wird der Vektor selbst als die Menge dieser parallelen Pfeile betrachtet, während der Repräsentant eine spezifische Darstellung dieses Vektors ist.
Verknüpfung von Verschiebungen
Wie du schon gelernt hast, verwendet man Vektoren auch bei Verschiebungen. Hier sollst du zwei Verschiebungen hintereinander ausführen.[br][br][i]Was hat das mit der Summe zweier Vektoren zu tun?[/i] ... vielleicht kannst du ja selber rausbekommen!?
Verknüpfung von Verschiebungen
[b]Aufgaben:[/b][br][list=1][br][*] Lege den Verschiebungspfeil für die erste Verschiebung [math]\vec{u}[/math] richtig an den Punkt A an, damit das ganze Dreieck verschoben wird.[br][*] Lege dann den Verschiebungspfeil für [math]\vec{v}[/math] richtig an den Punkt A' an, damit das ganze Dreieck ein zweites Mal verschoben wird.[br][*]Finde nun eine Verschiebung [math]\vec{w}[/math] vom Punkt A aus, mit der man das Dreieck ABC direkt auf das Dreieck A''B''C'' verschieben kann. Dazu kannst die zwei grünen Pukte bewegen, die den Verschiebungspfeil w bestimmen.[br][/list][br][br]Du bekommst angezeigt, wenn du alles richtig gemacht hast.
Länge eines Vektors in 2D
[size=100][size=150]Die Länge eines Vektors im 2-dimensionalen Raum kann leicht ermittelt werde. Anstatt Länge sagt man auch Betrag eines Vektors und zur Bezeichnung der Länge des Vektor werden Betragsstriche um den Vektor gesetzt. [br]Also meint [math]\left|\vec{v}\right|[/math] den Betrag/die Länge des Vektors .[/size][/size][br][size=150][br]Betrachte den Vektor [math]\vec{v}[/math] im Bild unten und verändere seine Länge, indem du das Kreuz an der Pfeilspitze verschiebst. Wie verändert sich dabei die Länge des Vektors, also [math]\left|\vec{v}\right|[/math]?[br][size=150][br]Wie könnte die allgemeine Formel für die Berechnung der Länge eines Vektors im zwei-dimensionalen Raum lauten? [br][/size][br]Erinnere dich dabei, dass jeder Vektor im zwei-dimensionalen Raum folgende allgemeine Form hat:[br][math]\vec{v}=\left(\begin{matrix}x-Koordinate\\y-Koordinate\end{matrix}\right)[/math], wir schreiben auch [math]\vec{v}=\left(\begin{matrix}v_1\\v_2\end{matrix}\right)[/math][/size].
Tipp
[size=85]Stelle dir den Vektorpfeil als Hypotenuse und seine x- und y-Komponenten als Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks vor.[br]Welche grundlegende Formel zur Berechnung der Hypotenuse habt ihr schon kennengelernt?[/size]
Herleitung: Kosinussatz ( Cosinussatz )
Hier wird in wenigen Schritten die Herleitung des Kosinus-Satzes visualisiert.
Herleitung: Kosinussatz ( Cosinussatz )
Vektorprodukt erkunden
Du kannst die beiden Punkte an den Spitzen der Vektoren in folgendem Applet bewegen.[br]Arbeitsaufträge:[br]1) Untersuche durch systematisches Bewegen, was passiert, wenn die Vektoren parallel zueinander sind.[br]2) Untersuche was passiert, wenn die Vektoren orthogonal (senkrecht zueinander) sind.[br]3) Untersuche, wie du einen Vektor verändern kannst, ohne dass sich das Vektorprodukt ändert.