Sinus, Kosinus und Tangens wurden als Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken definiert. Viele Dreiecke sind jedoch nicht rechtwinklig und so können uns diese Verhältnisse nicht weiterhelfen. [br]In folgendem Arbeitsblatt untersuchen wir ein nicht rechtwinkliges Dreieck ABC, und versuchen mit Hilfe der Winkel und den trigonometrischen Verhältnissen Gesetzmässigkeiten in diesem Dreieck zu finden.
Um was für ein Dreieck handelt es sich? Geben Sie eine möglichst exakte Bezeichnung an.
Es ist ein allgemeines stumpfwinkliges Dreieck.
Verschieben Sie den Schieberegler Höhe und beobachten Sie das Dreieck. Was wird mit dem Schieberegler eingezeichnet und was bedeuten die verschiedenen Positionen (0 bis 3)?
Mit dem Schieberegler lassen sich die Höhen im Dreieck anzeigen. Jedes Dreieck besitzt drei unterschiedliche Höhen [math]h_a[/math], [math]h_b[/math] und [math]h_c[/math] (Einstellungen 1 bis 3). In der Einstellung Null wird keine Höhe eingezeichnet.
Stellen Sie die Höhe auf den Wert 1 und geben Sie eine Formel zur Berechnung der Höhe [math]h_a[/math] im grünen Teildreieck (Schieberegler Dreieck 1) an. Benutzen Sie dazu die gegebenen Seiten und Winkel des ursprünglichen Dreiecks ABC.[br]Geben Sie dann analog auch eine Formel für die Höhe [math]h_a[/math] im zweiten Teildreieck (Schieberegler Dreieck 2) an.
[math]h_a=b\cdot\sin\left(\gamma\right)[/math] und [math]h_b=c\cdot\sin\left(\beta\right)[/math]
Setzen Sie die beiden gefundenen Gleichungen gleich und formen Sie die Formel so um, dass Seite und gegenüberliegender Winkel auf der gleichen Seite auftauchen.
[math]\frac{\sin\left(\gamma\right)}{c}=\frac{\sin\left(\beta\right)}{b}[/math]
Stellen Sie nun die Höhe auf den Wert 2 und wiederholen die Aufgaben 3 und 4 für die Höhe [math]h_b[/math] und die neu entstehenden Teildreiecke (dabei liegt ein Teildreieck ausserhalb des ursprünglichen Dreieck ABC).[br]Schreiben Sie die Formel am Ende so einfach wie möglich.
Aus [math]h_b=a\cdot\sin\left(\gamma\right)[/math] und [math]h_b=c\cdot\sin\left(180^\circ-\alpha\right)[/math] wird [math]\frac{\sin\left(\gamma\right)}{c}=\frac{\sin\left(180^\circ-\alpha\right)}{a}=\frac{\sin\left(\alpha\right)}{a}[/math]
Stellen Sie nun die Höhe auf den Wert 3 und wiederholen die Aufgaben 3 und 4 für die Höhe [math]h_c[/math] und die neu entstehenden Teildreiecke (dabei liegt ein Teildreieck ausserhalb des ursprünglichen Dreieck ABC).[br]Schreiben Sie die Formel am Ende so einfach wie möglich.
Aus [math]h_c=a\cdot\sin\left(\beta\right)[/math] und [math]h_c=b\cdot\sin\left(180^{\circ}-\alpha\right)[/math] wird [math]\frac{\sin\left(\beta\right)}{b}=\frac{\sin\left(180^{\circ}-\alpha\right)}{a}=\frac{\sin\left(\alpha\right)}{a}[/math]
Betrachten Sie nun die Formeln, die Sie in den Aufgaben 4, 5 und 6 am Ende notiert haben. Finden Sie eine Formel in der sie alle drei Formeln kombinieren.
[math]\frac{\sin\left(\alpha\right)}{a}=\frac{\sin\left(\beta\right)}{b}=\frac{\sin\left(\gamma\right)}{c}[/math]
Die in Aufgabe 7 gefundene Formel ist der Sinussatz. Er gilt für alle Dreiecke ABC. Formulieren Sie den Sinussatz in einem deutschen Satz.
In jedem Dreieck ist das Verhältnis des Sinus eines Winkels mit der gegenüberliegenden Seite konstant.