[size=150][justify][size=200]A continuación, daremos las ecuaciones de algunas curvas y las representaremos gráficamente.[/size][br][size=200][br][b][u]ESPIRAL DE ARQUÍMEDES O EQUILÁTERA[/u][/b][/size][b][u][/u][/b][/justify][/size][br][size=150][size=200]La espiral de Arquímedes es la trayectoria que sigue un punto que se mueve sobre una recta del plano a velocidad constante, cuando esta recta gira uniformemente alrededor de uno de sus puntos.[br][/size][br][/size][size=150][justify][size=200]Si el paso entre los brazos de la espiral es el paso constante igual a [math]2\pi a[/math], las ecuaciones paramétricas de la espiral son:[br][/size][br][math]x\left(t\right)=atcos\left(t\right)[/math][br][math]y\left(t\right)=atsen\left(t\right)[/math].[br][/justify][/size][size=150][size=200]En GeoGebra debemos escribir:[/size][/size][br][br][size=150][math]Curva\left(atcos\left(t\right),atsen\left(t\right),t,0,6pi\right)[/math][/size].

[size=150][justify][b][u][/u][/b][size=200][b][u]ESPIRAL LOGARÍTMICA O EQUIANGULAR O DE BERNUILLI[/u][/b][br][br]La espiral logarítmica es la trayectoria que sigue un punto M que se mueve sobre una recta que pasa por un punto O con una velocidad proporcional a la distancia OM, cuando la recta gira a velocidad constante alrededor de O.[/size][br][br][size=200]Sea [math]k=cot\left(\psi\right)[/math], donde [math]\psi[/math] es el ángulo tangencial polar. Las ecuaciones paramétricas son:[br][br][math]x\left(t\right)=ae^{kt}cos\left(t\right)[/math][br][math]y\left(t\right)=ae^{kt}sen\left(t\right)[/math].[br][br]En GeoGebra debemos escribir: [/size][br][br][math]Curva\left(ae^{kt}cos\left(t\right),ae^{kt}seen\left(t\right),t,0,6pi\right)[/math].[br][/justify][/size]

[size=150][justify][b][u][size=200]LAS ROSAS[/size][/u][/b][/justify][/size][size=150][size=200]Ecuaciones paramétricas[/size], [math]n>0[/math][/size].[br][br][math]x\left(t\right)=acos\left(nt\right)cos\left(t\right)[/math][br][math]y\left(t\right)=acos\left(nt\right)sen\left(t\right)[/math][br][br][size=150][size=200]En GeoGebra debemos escribir:[/size][br][br][/size][math]Curva\left(3cos\left(6t\right)cos\left(t\right),3cos\left(6t\right)sen\left(t\right),t,0,2pi\right)[/math].

[size=150][b][u][justify][size=200]CUENCO[/size][/justify][/u][/b][/size][size=150][size=200]Ecuaciones paramétricas, [math]n>0[/math].[/size][br][br][math]x\left(t\right)=acos\left(t+\varphi\right)cos\left(nt\right)[/math][br][math]y=bcos^2\left(nt\right)[/math].[br][size=200][br]En GeoGebra, debemos escribir:[/size][br][br][math]Curva\left(3cos\left(t+\frac{pi}{4}\right)cos\left(6t\right),3cos^2\left(6t\right),t,0,2pi\right)[/math].[br][br][/size]

[size=150][justify][b][u][size=200]LA MARIPOSA[/size][/u][/b][br][br][size=200]Ecuaciones paramétricas de la mariposa.[/size][br][br][br][math]x\left(t\right)=\left(e^{cos\left(t\right)}-2cos\left(4t\right)+sen^5\left(\frac{t}{12}\right)\right)cos\left(t\right)[/math][br][br][math]y\left(t\right)=\left(e^{cos\left(t\right)}-2cos\left(4t\right)+sen^5\left(\frac{t}{12}\right)\right)sen\left(t\right)[/math].[br][size=200][br]En GeoGebra debemos escribir:[/size][br][br][math]Curva\left(\left(e^{cos\left(t\right)}-2cos\left(4t\right)+sen^5\left(\frac{t}{12}\right)\right)cos\left(t\right),\left(e^{cos\left(t\right)}-2cos\left(4t\right)+sen^5\left(\frac{t}{12}\right)\right)sent,t,0,2pi\right)[/math].[br][/justify][/size]

[size=150][justify][b][u][size=200]OTRA MARIPOSA[/size][/u][/b][br][br][size=200]Ecuaciones paramétricas.[/size][br][br][br][math]x\left(t\right)=\left(sen\left(5t\right)\pm3cos\left(t\right)\right)cos\left(t\right)[/math][br][math]y\left(t\right)=\left(\left(sen\left(5t\right)\pm3cos\left(t\right)\right)\right)sen\left(t\right)[/math][br][size=200][br]En GeoGebra:[/size][br][br][math]Curva\left(\left(sen\left(5t\right)\pm3cos\left(t\right)\right)cos\left(t\right),\left(sen\left(5t\right)\pm3cos\left(t\right)\right)sen\left(t\right),t,0,2pi\right)[/math].[/justify][/size]

[size=150][justify][b][u][size=200]OTRA MARIPOSA[/size][/u][/b][br][br][size=200]Ecuaciones paramétricas.[/size][br][br][br][math]x\left(t\right)=\left(-3cos\left(2t\right)+sen\left(7t\right)-1\right)cos\left(t\right)[/math][br][math]y\left(t\right)=\left(\left(-3cos\left(2t\right)+sen\left(7t\right)-1\right)\right)sen\left(t\right)[/math].[br][br][size=200]En GeoGebra:[/size][br][br][br][math]Curva\left(\left(-3cos\left(2t\right)+sen\left(7t\right)-1\right)cos\left(t\right),\left(-3cos\left(2t\right)+sen\left(7t\right)-1\right)sen\left(t\right),t,0,2pi\right)[/math].[/justify][/size]

[size=150][justify][b][u][size=200]LA BOCA[/size][/u][/b][br][br][size=200]Ecuaciones paramétricas.[/size][br][br][br][math]x\left(t\right)=acos\left(t\right)[/math][br][math]y\left(t\right)=asen^3\left(t\right)[/math].[br][size=200][br]Ecuación implícita.[/size][br][br][math]a^4y^2=\left(a^2-x^2\right)^3[/math].[br][br][size=200]En GeoGebra:[br][/size][br][br][math]Curva\left(acos\left(t\right),asen^3\left(t\right),t,0,2pi\right)[/math].[/justify][/size]

[size=150][justify][b][u]EPICICLOIDE[/u][/b][br][br][size=200]Las curvas descritas por un punto de una circunferencia C que rueda sin deslizar sobre una circunferencia base Co. Sea [math]a[/math] el radio de Co, sea [math]b=\frac{a}{q}[/math] el radio de C, sea [math]d=kb[/math], la distancia desde el punto hasta el centro de la circunferencia movil C. [/size][br][size=200][br]Ecuaciones paramétricas.[/size][br][br][br][math]x\left(t\right)=\frac{a}{q}\left(\left(q+1\right)cos\left(t\right)-kcos\left(\left(q+1\right)t\right)\right)[/math][br][br][math]y\left(t\right)=\frac{a}{q}\left(\left(q+1\right)sen\left(t\right)-ksen\left(\left(q+1\right)t\right)\right)[/math].[br][br][size=200]En GeoGebra:[/size][br][br][math]Curva\left(\frac{a}{q}\left(\left(q+1\right)cos\left(t\right)-kccos\left(\left(q+1\right)t\right)\right),\frac{a}{q}\left(\left(q+1\right)sen\left(t\right)-ksen\left(\left(q+1\right)t\right)\right),t,0,2pi\right)[/math].[/justify][/size]

[size=150][justify][b][u][size=200]HIPOCICLOIDE[/size][/u][/b][br][br][br][size=200][br]Ecuaciones paramétricas.[/size][br][br][math]x\left(t\right)=\frac{a}{q}\left(\left(q-1\right)cos\left(t\right)-kcos\left(\left(q-1\right)t\right)\right)[/math][br][math]y\left(t\right)=\frac{a}{q}\left(\left(q-1\right)sen\left(t\right)-ksen\left(\left(q-1\right)t\right)\right)[/math].[br][/justify][/size][size=200]En GeoGebra:[/size][br][br][math]Curva\left(\frac{a}{q}\left(\left(q-1\right)cos\left(t\right)-kcos\left(\left(q-1\right)t\right)\right),\frac{a}{q}\left(\left(q-1\right)sen\left(t\right)-ksen\left(\left(q-1\right)t\right)\right),t,0,2pi\right)[/math].

[size=150][justify][b][u][size=200]ASTROIDE[/size][/u][/b][br][br][size=200]Hipocicloide de cuatro cúspides.[/size][br][br][size=200]Ecuaciones paramétricas.[/size][br][br][math]x\left(t\right)=acos^3\left(t\right)[/math][br][math]y\left(t\right)=asen^3\left(t\right)[/math].[br][br][size=200]Ecuaciones implícitas.[/size][br][br][math]\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}=\sqrt[3]{a^2}[/math].[br][/justify][/size]