Una disequazione [b]irrazionale elementare[/b] del tipo:[br][center][math]\large \sqrt[n]{R\left(x\right)}\le P(x)\quad n\ge2\quad\text{pari}[/math][/center]si risolve nel modo seguente:[center][math]\large \bf\it \begin{cases}R\left(x\right)\le[P(x)]^n \\ R\left(x\right)\ge 0\\ P\left(x\right)\ge 0 \end{cases} [/math][/center][left]_________________________________________________________________________________________________________[/left]Nel caso particolare in cui[center][math]\large \sqrt[n]{R\left(x\right)}\le a\quad n\ge2\quad\text{pari},\;a\in\mathbb{R}^+[/math][/center]si risolve nel modo seguente:[center][math]\large \bf\it \begin{cases}R\left(x\right)\le a^n \\ R\left(x\right)\ge 0 \end{cases} [/math][/center]mentre se [b]a[/b] è [b]negativo [/b]la disequazione è [b]impossibile[/b].

1) Risolvere la seguente disequazione irrazionale:[br][center][math]\large\sqrt[4]{2x+82}<3[/math][/center]Essendo l'indice [b]pari [/b]e il numero a secondo membro [b]positivo[/b], tenuto conto del verso della disuguaglianza, si procede passando al sistema di disequazioni formato da:[br][list][*]L'espressione ottenuta [b]elevando entrambi i membri[/b] all'indice di radice, con conseguente eliminazione della stessa[/*][*]La [b]condizione di esistenza della radice[/b], ponendo il radicando maggiore o uguale a zero[/*][/list]ovvero:[br][center][math]\sqrt[4]{2x+82}<3\ \longrightarrow\ \begin{cases}2x+82<3^4\\[br]2x+82\ge0\end{cases}\longrightarrow\ \begin{cases}2x+82<81\\[br]2x\ge-82\end{cases}\longrightarrow\ \begin{cases}x<-\frac{1}{2}\\[br]x\ge-41\end{cases}\longrightarrow\quad \Large\bf -41\le x<-\frac{1}{2}[/math][/center][left]_________________________________________________________________________________________________________[/left]2) Risolvere la seguente disequazione irrazionale:[br][center][math]\large\sqrt[4]{2x+82}<-3[/math][/center]Essendo l'indice [b]pari[/b] e il numero a secondo membro [b]negativo[/b], la disequazione è [b]impossibile[/b].[left]_________________________________________________________________________________________________________[/left]3) Risolvere la seguente disequazione irrazionale:[br][center][math]\large\sqrt[4]{2x+82}\le 0[/math][/center]Essendo l'indice [b]pari[/b] e il numero a secondo membro [b]nullo[/b], il fatto che la disuguaglianza sia di [b]ordine largo[/b], ovvero preveda anche l'uguale, riduce la disequazione alla seguente equazione irrazionale:[center][math]\large\sqrt[4]{2x+82}=0\ \longrightarrow\ 2x+82=0\ \longrightarrow\ \bf\Large x=-41[/math][/center]

[list][*]Con il bottone [b]"GENERA ESPRESSIONE"[/b] si crea un nuovo esercizio, nasconde il risultato qualora sia visibile e mostra il bottone "Mostra risultato" qualora sia nascosto.[/*][*]Con lo slider [b]"Val. max" [/b]è possibile variare il valore massimo dei numeri.[/*][*]Con lo slider [b]"° max" [/b]è possibile fissare il grado massimo dell'espressione radicando.[/*][*]Con lo slider [b]"ind. max" [/b]è possibile fissare il valore massimo dell'indice di radice.[/*][*]Il bottone [b]"Mostra risultato"[/b] se premuto scompare e visualizza il risultato[/*][*]Con gli strumenti penna e cancella è possibile risolvere l'esercizio nello spazio dedicato.[/*][/list]

Risolvere la seguente disequazione irrazionale:[br][center][math]\large \sqrt{x+1}<-2 x-1[/math][/center]Essendo l'indice [b]pari [/b]e tenuto conto del verso della disuguaglianza, si procede passando al sistema di disequazioni formato da:[br][list][*]L'espressione ottenuta [b]elevando entrambi i membri[/b] all'indice di radice, con conseguente eliminazione della stessa[/*][*]La [b]condizione di esistenza della radice[/b], ponendo il radicando maggiore o uguale a zero[/*][*]La [b]condizione di coerenza dei segni[/b] del secondo membro ponendolo maggiore o uguale a zero [/*][/list]ovvero: [center][math]\sqrt{x+1}<-2x-1\ \longrightarrow\ \begin{cases}x+1<\left(-2x-1\right)^2\\ x+1\ge0\\ -2x-1\ge0\end{cases}\longrightarrow\ \begin{cases}x+\cancel{1}<4x^2+4x+\cancel{1}\\ x\ge-1\\ x\le-\frac{1}{2}\end{cases}\longrightarrow\ \begin{cases}4x^2+3x>0\\-1\le x\le-\frac{1}{2}\end{cases}[/math][/center]Si risolve la disequazione di secondo grado (metodo mnemonico):[br][math]4x^2+3x>0\ \longrightarrow\ 4x^2+3x=0\ \longrightarrow\ x\cdot\left(4x+3\right)=0\ \begin{matrix}\nearrow&x=0\\ \searrow&x=-\frac{3}{4}\end{matrix}\longrightarrow\ \bf x<-\frac{3}{4}\vee x>0[/math][br]Quindi il sistema diventa:[br][math]\begin{cases}x<-\frac{3}{4}\vee x>0\\ -1\le x\le-\frac{1}{2}\end{cases}[/math][br][center][img]https://docs.google.com/drawings/d/e/2PACX-1vQCVC_2TcnC97jyGtM7EIZoZ4jwrVInl_QwjO2qNyAptU4mR5SPeX1d4xzNIUYJofSVoX9S8dw6shib/pub?w=721&h=123[/img][/center]ovvero la soluzione dell'equazione è:[br][center][math]\large\bf -1\le x\lt-\frac{3}{4}[/math][/center]

[list][*]Con il bottone [b]"GENERA ESPRESSIONE"[/b] si crea un nuovo esercizio, nasconde il risultato qualora sia visibile e mostra il bottone "Mostra risultato" qualora sia nascosto.[/*][*]Con lo slider [b]"Val. max" [/b]è possibile variare il valore massimo dei numeri.[/*][*]Il bottone [b]"Mostra risultato"[/b] se premuto scompare e visualizza il risultato[/*][*]Con gli strumenti penna e cancella è possibile risolvere l'esercizio nello spazio dedicato.[/*][/list]