24 tetraedros para un cubo
1. Dissecciones del cubo
1. 24 tetraedros (diferentes) para un cubo
2. 24 tetraedros iguales para un cubo
3. El tetraedro doble
4. El octaedro y los cuartos de octaedro.
5. Dos tetraedros del mismo volumen
6. Pirámide doble
7. Octaedro doble
8. Un cuarto de octaedro
9. Tercio de un cubo
10. Tres tetraedros y una pirámide
11. El cubo doble
12. Un octaedro no regular
13. Un octaedro no regular y sus ocho partes
2. Padrones
1. Red triangular de una hoja A4
2. Padron del tercio del cubo
3. Padron del tercio del cubo A4
4. Padron del cuarto del octaedro
3. Principio de Cavalieri
1. Tres tetraedros y una pirámide
2. Un tetraedro y una pirámide de mismo volumen

0

24 tetraedros para un cubo

Christian Mercat, Apr 15, 2021

24 tetraedros por un cubo

Dissecciones del cubo
1. 24 tetraedros (diferentes) para un cubo
2. 24 tetraedros iguales para un cubo
3. El tetraedro doble
4. El octaedro y los cuartos de octaedro.
5. Dos tetraedros del mismo volumen
6. Pirámide doble
7. Octaedro doble
8. Un cuarto de octaedro
9. Tercio de un cubo
10. Tres tetraedros y una pirámide
11. El cubo doble
12. Un octaedro no regular
13. Un octaedro no regular y sus ocho partes
Padrones
1. Red triangular de una hoja A4
2. Padron del tercio del cubo
3. Padron del tercio del cubo A4
4. Padron del cuarto del octaedro
Principio de Cavalieri
1. Tres tetraedros y una pirámide
2. Un tetraedro y una pirámide de mismo volumen

Dissecciones del cubo

1. 24 tetraedros (diferentes) para un cubo
2. 24 tetraedros iguales para un cubo
3. El tetraedro doble
4. El octaedro y los cuartos de octaedro.
5. Dos tetraedros del mismo volumen
6. Pirámide doble
7. Octaedro doble
8. Un cuarto de octaedro
9. Tercio de un cubo
10. Tres tetraedros y una pirámide
11. El cubo doble
12. Un octaedro no regular
13. Un octaedro no regular y sus ocho partes

24 tetraedros (diferentes) para un cubo

El volumen de un tetraedro de lado [math]a[/math] es [math]\frac{(\sqrt{2}a)^3}{24}[/math]. Esta construcción ayuda a comprender esta fórmula: veinticuatro tetraedros, todos del mismo volumen, incluidos ocho tetraedros regulares y 16 tetraedros isósceles rectangulares, forman un cubo. Hay 4 para cada una de las direcciones del espacio que completan la [url=https://fr.wikipedia.org/wiki/Octangle_%C3%A9toil%C3%A9]stella octangula[/url] de Kepler, que es un octaedro al que agregamos un tetraedro regular en cada una de sus ocho caras. El octaedro central en sí está formado por cuatro tetraedros isósceles rectangulares. Cada uno de estos tetraedros tiene la misma base (un triángulo equilátero) y la misma altura (dos aplicaciones del teorema de Pitágoras te lo darán). Así que tienen el mismo volumen, que es el veinticuatro del volumen del cubo de lado [math]\sqrt {2}a[/math] que componen.

Puede mostrar la ventana gráfica y cambiar el control deslizante de animación como desee.[br][br]Demuestre que ambos tipos de tetraedros tienen el mismo volumen. Encuentra analíticamente la fórmula del volumen.[br][br]Una [url=https://www.youtube.com/playlist?list=PLFzaj-tjjVb96CBXctTgu_s9KCn7qJtTf]playlist YouTube[/url] implementando estas descomposiciones con origami. [img]http://math.univ-lyon1.fr/irem/IMG/png/Cube24Tet.png[/img]

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.

1.10.

1.11.

1.12.

1.13.

2.

Padrones

Los padrones de los polyedros

1. Red triangular de una hoja A4
2. Padron del tercio del cubo
3. Padron del tercio del cubo A4
4. Padron del cuarto del octaedro

2.1.

Red triangular de una hoja A4

Al doblar una hoja A4 en tercios a lo largo, las intersecciones con la diagonal se pueden transferir a la[br]lado para construir una red triangular. Marcamos las diagonales de los pequeños rectángulos. Subimos por la esquina inferior izquierda en el primer cruce hasta el tercero, de la misma manera para la esquina inferior derecha.

El formato A4 es de 21 cm x 29,7 cm o una proporción de [MATH]\sqrt {2}[/math]. De modo que la diagonal sea de longitud [math]\sqrt {3} \times 21 cm[/math] y su tercera en [math]\frac {21} {\sqrt {3}}[/math], permite construir rectángulos de formato [math]\sqrt {3}[/math], y por tanto triángulos equiláteros.

2.2.

2.3.

2.4.

3.

Principio de Cavalieri

[url = https: //es.wikipedia.org/wiki/Bonaventura_Cavalieri] Cavalieri [/ url] es un italiano de Siglo XVII, quien inventó [b] los indivisibles [/ b]. Se trata de entender un objeto como un pila de capas paralelas muy muy delgadas, tan delgadas que ya no podemos dividirlos. Es un atrevido intento de de codearse con ¡el infinito! Corta un objeto en 100 capas paralelos, es posible. Podemos deslizar estas capas entre sí, el volumen de este objeto no varía. Pero cada uno todavía se puede dividir en, digamos, 100 capas paralelas, lo que lleva a 10,000 capas paralelas que se pueden hacer deslizar entre sí. Son las mismas rodajas que por lo tanto movamos el volumen siempre se mantiene sin cambios. El golpe de Cavalieri es [b] ir al límite [/ b] y decretar que este propiedad se mantiene para una infinidad de capas paralelas que uno hace se deslizan continuamente entre sí. Deducimos, eligiendo una base y mediante deslizamiento continuo de todas las capas, propiedades de áreas y volúmenes, por ejemplo Por ejemplo, encontramos que el área de un triángulo depende solo de longitudes de su base y altura. Asimismo, el volumen de un pirámide depende sólo del área de su base y la longitud de su altura (la distancia desde la parte superior a la base). Es decir, en colocando la base en el plano horizontal como debe ser, que podamos mover la parte superior de la pirámide a voluntad en su plano horizontal siempre que no cambie su altitud. Duplicando un objeto y cortándolo de la misma manera rebanadas, vemos que podemos reorganizar estas rebanadas alternando un capa de una y capa de la otra. Así terminamos con un objeto que es dos veces más alto y dos veces más voluminoso. Pasando a límite, este objeto experimentó una [b] afinidad [/ b] de proporción dos en la dirección vertical. Podríamos hacer lo contrario, tomar cada segunda capa y obtener un objeto de la mitad del tamaño y la mitad de alto. Al desarrollar esta idea, demostramos que el el volumen depende [b] linealmente [/ b] de su altura: si duplicamos el de altura, el volumen también se duplica. Tenga en cuenta que podemos hacer girar nuestros sólidos: Elija una cara oblicua como nueva base e incline la sólido hasta que la parte superior caiga de nuevo a la base. ¡La altura ya no es la misma! Con este principio, vemos que la medida del volumen de un adoquín recto es el producto de sus tres dimensiones, el producto de dos que constituyen el área de la base y la tercera la altura. Pero un adoquín, ya sea recto o no, tiene un volumen que es el producto del área de una base por la altura desde esa base. ¡No es tan obvio como parece en el caso general!

1. Tres tetraedros y una pirámide
2. Un tetraedro y una pirámide de mismo volumen

3.1.

Tres tetraedros y una pirámide

Cuatro sólidos del mismo volumen, el tetraedro regular del lado [math]\frac 1{\sqrt{2}}[/math], un tetraedro de un cuarto de octaedro compuesto por dos triángulos equiláteros de lado [math] \frac 1 {\sqrt {2}} [/math] y un cuadrado doblado en ángulo recto según la unidad de hipotenusa, y el vigésimo cuarto de un cubo, compuesto por medio cuadrado de unidad de hipotenusa, con una altura [math] \frac 12 [/math] colocada directamente sobre la esquina, y la pirámide con una base cuadrada del lado [math] \frac 12 [/math] y la altura de la misma longitud, el ápice a plomo con una esquina.[br][br]La pirámide del tercer cubo se despliega en el vigésimo cuarto cubo, que, según un principio de Cavalieri sentado en el medio cuadrado, se convierte en el cuarto de octaedro. Luego, al cambiar la base de un triángulo equilátero, se regulariza en un tetraedro regular.[br]

Demuestre analíticamente la igualdad de los volúmenes de estos sólidos.

0