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Zentrische Streckung
Interaktive Lernumgebung - begleitend zum Unterricht M9I an bayerischen Realschulen Die Lernumgebung ist konzipiert als Lernbegleiter für den traditionellen Unterricht mit Phasen entdeckenden Lernens in digitaler Form (blended Learning). Hinweis: Bei Übungsaufgaben mit anschließendem Textfeld sind die Schülerinnen und Schüler gehalten, die Aufgabe schriftlich im Heft anzufertigen. Mithilfe des Textfeldes (ein Buchstabe muss eingetragen werden, dann wird der Button „Antwort überprüfen“ aktiviert) kann die Lösung überprüft werden.
Table of Contents
- Abbildung
- Streckung
- Abbildung und Kurzschreibweise
- Abbildungsvorschrift
- Zeichnerische Ermittlung des Bildpunktes einer zentrischen Streckung
- Eigenschaften
- Strahlensätze
- Strahlensätze Einführung
- Musteraufgabe Dachgiebel
- Musteraufgabe Einbeschreibungsaufgabe
- Übung im Raum
- Vektoren zentrisch strecken
- Vektoren zentrisch strecken
- Koordinaten des Bildpunktes berechnen
- Geraden zentrisch strecken
- Geraden abbilden mit zentrischer Streckung
- Teilpunkt einer Strecke
- Teilpunkt einer Strecke konstruieren
- Teilpunkt einer Strecke berechnen
- Schwerpunkt eines Dreiecks
- Schwerpunkt eines Dreiecks untersuchen
- Der goldene Schnitt
- Das regelmäßige 5-Eck und der Goldene Schnitt
- Der Goldene Schnitt
- Das goldene Band
- Goldener Schnitt an Gebäuden – dynamisch untersucht mit dem goldenen Band
- Ähnlichkeit
- Ähnlichkeit
Streckung
Streckung: die Urfigur wird verhältnistreu vergrößert bzw. verkleinert.
[list][*]Die Punkte A, B, C und D werden auf die Bildpunkte A', B', C' und D' abgebildet.[/*][*]Dabei wird z.B. die[color=#ff0000][b] Strecke [/b][/color][math]\overline {ZC}[/math][color=#ff0000][b] [/b][/color]mit dem [color=#38761d][b]Faktor k[/b][/color] auf die [color=#00ff00][b]Strecke [/b][/color][math]\overline {ZC'}[/math][color=#00ff00][b] [/b][/color][b]gestreckt[/b].[/*][/list][br]Aufgaben:[br][list=1][*]Berechne den aktuellen Streckungsfaktor! (Überprüfe durch die "Check-Box".)[/*][*]Verändere den Streckungsfaktor k und beobachte die Lage der Bildpunkte.[/*][/list]
Strahlensätze Einführung
Strahlensatzfigur
Das Dreieck ZAB wird durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z und dem Streckungsfaktor k auf das Dreieck ZA'B' abgebildet. [br]
Aufgabe 1
Begründe mit Hilde der Eigenschaften der zentrischen Streckung:[br]Die Strecken [math]\overline {AB}[/math] und [math]\overline {A'B'}[/math] sind parallel.
Aufgabe 2
Untersuche die Abbildung zunächst für k = 2 (und danach für k = -1,5).[br][br]Finde gleiche Streckenverhältnisse. Notiere in deinem Heft.
Vektoren zentrisch strecken
Der [b][color=#0000ff]Vektor[/color][/b] [math]\vec{v}[/math] wird durch zentrische Streckung mit dem [color=#ff0000][b]Streckungszentrum Z[/b][/color] und dem [color=#ff0000][b]Streckungsfaktor k[/b][/color] auf den [b][color=#0000ff]Bildvektor[/color][/b] [math]\vec{v'}[/math] abgebildet.[br][br][list=1][*]Lass dir den Bildvektor [math]\vec{v'}[/math] anzeigen.[/*][*]Sieh dir die Koordinaten beider Vektoren genau an.[/*][*]Verändere den Vektor [math]\vec{v}[/math], indem du den Fußpunkt bewegst.[/*][*]Du kannst [color=#ff0000]Z[/color], [color=#ff0000]k[/color] und die Lage von [math]\vec{v}[/math] verändern.[/*][/list]
[size=150][b]Aufgabe 1: Der Vektor [/b][math]\vec{v}[/math][b] wird zentrisch gestreckt. [/b][/size][br][br]Finde den Zusammenhang zwischen dem Streckungsfaktor k, den Koordinaten von [math]\vec{v}[/math] und den Koordinaten von [math]\vec{v'}[/math].
Geraden abbilden mit zentrischer Streckung
Der [color=#0000ff]Gerade g: y = 2x - 1[/color] wird durch zentrische Streckung mit dem [color=#ff0000]Streckungszentrum Z (3|0,5)[/color] und dem [color=#ff0000]Streckungsfaktor k = 4[/color] auf die Bildgerade g' abgebildet.[br][br][b]Ziel: Ermittle die Gleichung der Bildgeraden durch Rechnung![/b][br][br][list=1][*]Jeder Punkt P(x|2x-1) auf der Geraden g wird auf einen Bildpunkt P'(x'|y') abgebildet. Lass dir P und P' anzeigen.[/*][*]Bewege den Punkt P. Die Spur von P' repräsentiert die Bildgerade g'.[/*][*]Die Pfeile [math]\vec{ZP}[/math] werden auf die Pfeile [math]\vec{ZP'}[/math] abgebildet. Lass dir die Pfeile anzeigen.[/*][*]Lass dir die einzelnen Schritte zur Berechnung anzeigen.[/*][/list]
Teilpunkt einer Strecke konstruieren
[b]Aufgabe: Teile die Strecke [math]\overline{AB}[/math] im Verhältnis 2:5 durch Konstruktion. [br][br]Klicke dich durch die Konstruktion.[/b]
Schwerpunkt eines Dreiecks untersuchen
A1: Finde die Schwerlinien (Seitenhalbierenden) und den Schwerpunkt eines Dreiecks im Experiment.
A2: Untersuchung der Teilstrecken
a) Zeichne M[sub]b[/sub] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_midpoint.png[/icon] und die 3. Seitenhalbierende [icon]/images/ggb/toolbar/mode_segment.png[/icon] ein.[br]b) Lass dir die Längen [icon]/images/ggb/toolbar/mode_distance.png[/icon] der einzelnen Teilstrecken anzeigen.[br]c) Was fällt dir auf? (Teilt S die Seitenhalbierenden in einem bestimmten Verhältnis?)
Das regelmäßige 5-Eck und der Goldene Schnitt
5-Eck falten und untersuchen
[list][*][b]Falte eine Schleife in einen Papierstreifen[/b].[/*][*]Den "Knoten" langsam und vorsichtig enger ziehen und glatt streichen.[/*][*]Diagonalen einzeichnen: [br][/*][/list]
[b]Untersuche nun das regelmäßige Fünfeck:[/b][br]Jede Diagonale wird zwei mal geschnitten. Es entsteht eine kurze Strecke (blau, siehe unten "Minor") und eine lange Reststrecke (rot, siehe unten "Major").[br]Bestimme das Verhältnis der langen Teilstrecke zur kurzen und vergleiche mit dem Verhältnis der ganzen Diagonalenlänge zur Länge der langen Teilstrecke. [icon]/images/ggb/toolbar/mode_pen.png[/icon]
[size=150]Mit diesem Applet kannst du deine Untersuchung überprüfen.[br][/size][br]Am[b][color=#0000ff] Punkt unten rechts[/color][/b] kannst du das 5-Eck bewegen und "deine" Maßzahlen einstellen:
Zusatzaufgabe:
Untersuche nun auf gleiche Weise das Verhältnis einer Diagonalenlänge zur Seitelänge des 5-Ecks: [icon]/images/ggb/toolbar/mode_pen.png[/icon]
Ähnlichkeit
A1: Was sagt dir das Wort?
Den mathematischen Begriff der [i][b]Ähnlichkeit [/b][/i]kennst du noch nicht.[br][br]Mit welchen der folgenden Begriffe oder Beschreibungen verbindest du das Wort "ähnlich"?[br]
A2: Ähnliche Figuren
Die Dreieck ABC und A'B'C' sind offensichtlich nicht deckungsgleich.[br][br]Wenn du das [b]Dreieck ABC durch zentrische Streckung[/b] (und vorher evtl. durch Achsenspiegelung, Parallelverschiebung oder Drehung) mit dem [b]Dreieck A'B'C' zur Deckung[/b] bringen kannst, dann sind die beiden Dreiecke [b]ähnlich [/b]zueinander.[br][br]Du kannst das Dreieck ABC ...[br][list][*]verschieben (die Dreiecksfläche anfassen)[/*][*]drehen (am Punkt A oder B anfassen)[/*][*]zentrisch strecken (am Punkt A oder B ziehen)[/*][/list]
Ergebnis
Formuliere ein Ergebnis aus A2.