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Zentrische Streckung

herr-fischer, Oct 10, 2021

"Zentrische Streckung" als interaktive Lernumgebung - begleitend zum Unterricht der Jahrgangsstufe 9I an bayerischen Realschulen Die Lernumgebung ist konzipiert als Lernbegleiter für den traditionellen Unterricht mit Phasen entdeckenden Lernens in digitaler Form (Unterrichtskonzept: Entdeckendes Lernen mit mathematischer Kommunikation + Differenzierung + Feedback). Hinweis: Bei Übungsaufgaben mit anschließendem Textfeld sind die Schülerinnen und Schüler gehalten, die Aufgabe schriftlich (z.B. im Heft) anzufertigen. Mit Hilfe des Textfeldes (ein Buchstabe muss eingetragen werden, dann wird der Button „Antwort überprüfen“ aktiviert) kann die Lösung überprüft werden.

Abbildung
1. Streckung
2. Abbildung und Kurzschreibweise
3. Abbildungsvorschrift
4. Zeichnerische Ermittlung des Bildpunktes einer zentrischen Streckung
5. WeMaBy 9I 39/5a
6. WeMaBy 9I 39/6a
7. Eigenschaften
Strahlensätze
1. Strahlensätze Einführung
2. Musteraufgabe Dachgiebel
3. Höhe eines Baumes (Försterdreieck)
4. Breite eines Flusses
5. Musteraufgabe Einbeschreibungsaufgabe
6. Übung im Raum
Vektoren zentrisch strecken
1. Vektoren zentrisch strecken
2. Quizz: Koordinaten des Bildpunktes bestimmen
3. Koordinaten des Bildpunktes berechnen
Geraden zentrisch strecken
1. Geraden abbilden mit zentrischer Streckung
2. WeMaBy 9I 54/2e
3. Aufgabe: Bildgerade berechnen
Teilpunkt einer Strecke
1. Teilpunkt finden
2. Teilpunkt einer Strecke konstruieren
3. Teilpunkt einer Strecke berechnen
Schwerpunkt eines Dreiecks
1. Schwerpunkt eines Dreiecks untersuchen
Der goldene Schnitt
1. Das regelmäßige 5-Eck und der Goldene Schnitt
2. Der Goldene Schnitt
3. Das goldene Band
4. Goldener Schnitt an Gebäuden – dynamisch untersucht mit dem goldenen Band
Ähnlichkeit
1. Ähnlichkeit

Information

1.

Abbildung

1. Streckung
2. Abbildung und Kurzschreibweise
3. Abbildungsvorschrift
4. Zeichnerische Ermittlung des Bildpunktes einer zentrischen Streckung
5. WeMaBy 9I 39/5a
6. WeMaBy 9I 39/6a
7. Eigenschaften

1.1.

Streckung

Streckung: die Urfigur wird verhältnistreu vergrößert bzw. verkleinert.

Die Punkte A, B, C und D werden auf die Bildpunkte A', B', C' und D' abgebildet.
Dabei wird z.B. die Strecke mit dem Faktor k auf die Strecke gestreckt.

Aufgaben:

Berechne den aktuellen Streckungsfaktor! (Überprüfe durch die "Check-Box".)
Verändere den Streckungsfaktor k und beobachte die Lage der Bildpunkte.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

2.

Strahlensätze

1. Strahlensätze Einführung
2. Musteraufgabe Dachgiebel
3. Höhe eines Baumes (Försterdreieck)
4. Breite eines Flusses
5. Musteraufgabe Einbeschreibungsaufgabe
6. Übung im Raum

2.1.

Strahlensätze Einführung

Strahlensatzfigur

Das Dreieck ZAB wird durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z und dem Streckungsfaktor k auf das Dreieck ZA'B' abgebildet.

Aufgabe 1

Begründe mit Hilde der Eigenschaften der zentrischen Streckung: Die Strecken

und

sind parallel.

Aufgabe 2

Untersuche die Abbildung zunächst für k = 2 (und danach für k = -1,5). Finde gleiche Streckenverhältnisse. Notiere in deinem Heft.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

3.

Vektoren zentrisch strecken

1. Vektoren zentrisch strecken
2. Quizz: Koordinaten des Bildpunktes bestimmen
3. Koordinaten des Bildpunktes berechnen

3.1.

Vektoren zentrisch strecken

Der Vektor

wird durch zentrische Streckung mit dem Streckungszentrum Z und dem Streckungsfaktor k auf den Bildvektor

abgebildet.

Lass dir den Bildvektor anzeigen.
Sieh dir die Koordinaten beider Vektoren genau an.
Verändere den Vektor , indem du den Fußpunkt bewegst.
Du kannst Z, k und die Lage von verändern.

Aufgabe 1: Der Vektor

wird zentrisch gestreckt. Finde den Zusammenhang zwischen dem Streckungsfaktor k, den Koordinaten von

und den Koordinaten von

.

3.2.

3.3.

4.

Geraden zentrisch strecken

1. Geraden abbilden mit zentrischer Streckung
2. WeMaBy 9I 54/2e
3. Aufgabe: Bildgerade berechnen

4.1.

Geraden abbilden mit zentrischer Streckung

Der Gerade g: y = 2x - 1 wird durch zentrische Streckung mit dem Streckungszentrum Z (3|0,5) und dem Streckungsfaktor k = 4 auf die Bildgerade g' abgebildet. Ziel: Ermittle die Gleichung der Bildgeraden durch Rechnung!

Jeder Punkt P(x|2x-1) auf der Geraden g wird auf einen Bildpunkt P'(x'|y') abgebildet. Lass dir P und P' anzeigen.
Bewege den Punkt P. Die Spur von P' repräsentiert die Bildgerade g'.
Die Pfeile werden auf die Pfeile abgebildet. Lass dir die Pfeile anzeigen.
Lass dir die einzelnen Schritte zur Berechnung anzeigen.

4.2.

4.3.

5.

Teilpunkt einer Strecke

1. Teilpunkt finden
2. Teilpunkt einer Strecke konstruieren
3. Teilpunkt einer Strecke berechnen

5.1.

Teilpunkt finden

5.2.

5.3.

6.

Schwerpunkt eines Dreiecks

1. Schwerpunkt eines Dreiecks untersuchen

6.1.

Schwerpunkt eines Dreiecks untersuchen

A1: Finde die Schwerlinien (Seitenhalbierenden) und den Schwerpunkt eines Dreiecks im Experiment.

A2: Untersuchung der Teilstrecken

a) Zeichne M_b

und die 3. Seitenhalbierende

ein. b) Lass dir die Längen

der einzelnen Teilstrecken anzeigen. c) Was fällt dir auf? (Teilt S die Seitenhalbierenden in einem bestimmten Verhältnis?)

7.

Der goldene Schnitt

1. Das regelmäßige 5-Eck und der Goldene Schnitt
2. Der Goldene Schnitt
3. Das goldene Band
4. Goldener Schnitt an Gebäuden – dynamisch untersucht mit dem goldenen Band

7.1.

Das regelmäßige 5-Eck und der Goldene Schnitt

5-Eck falten und untersuchen

Falte eine Schleife in einen Papierstreifen.
Den "Knoten" langsam und vorsichtig enger ziehen und glatt streichen.
Diagonalen einzeichnen:

Untersuche nun das regelmäßige Fünfeck: Jede Diagonale wird zwei mal geschnitten. Es entsteht eine kurze Strecke (blau, siehe unten "Minor") und eine lange Reststrecke (rot, siehe unten "Major"). Bestimme das Verhältnis der langen Teilstrecke zur kurzen und vergleiche mit dem Verhältnis der ganzen Diagonalenlänge zur Länge der langen Teilstrecke.

Mit diesem Applet kannst du deine Untersuchung überprüfen. Am Punkt unten rechts kannst du das 5-Eck bewegen und "deine" Maßzahlen einstellen:

Zusatzaufgabe:

Untersuche nun auf gleiche Weise das Verhältnis einer Diagonalenlänge zur Seitelänge des 5-Ecks:

7.2.

7.3.

7.4.

8.

Ähnlichkeit

1. Ähnlichkeit

8.1.

Ähnlichkeit

A1: Was sagt dir das Wort?

Den mathematischen Begriff der Ähnlichkeit kennst du noch nicht. Mit welchen der folgenden Begriffe oder Beschreibungen verbindest du das Wort "ähnlich"?

ungefähr gleich identisch gleicher Flächeninhalt aber komplett andere Form gleiche Form aber maßstäblich verkleinert verhältnistreu vergrößert kongruent flächeninhaltsgleich

A2: Ähnliche Figuren

Die Dreieck ABC und A'B'C' sind offensichtlich nicht deckungsgleich. Wenn du das Dreieck ABC durch zentrische Streckung (und vorher evtl. durch Achsenspiegelung, Parallelverschiebung oder Drehung) mit dem Dreieck A'B'C' zur Deckung bringen kannst, dann sind die beiden Dreiecke ähnlich zueinander. Du kannst das Dreieck ABC ...

verschieben (die Dreiecksfläche anfassen)
drehen (am Punkt A oder B anfassen)
zentrisch strecken (am Punkt A oder B ziehen)

Ergebnis

Formuliere ein Ergebnis aus A2.

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Zentrische Streckung

Table of Contents

Information

Abbildung

Streckung

Streckung: die Urfigur wird verhältnistreu vergrößert bzw. verkleinert.

Strahlensätze

Strahlensätze Einführung

Strahlensatzfigur

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Vektoren zentrisch strecken

Vektoren zentrisch strecken

Geraden zentrisch strecken

Geraden abbilden mit zentrischer Streckung

Teilpunkt einer Strecke

Teilpunkt finden

Schwerpunkt eines Dreiecks

Schwerpunkt eines Dreiecks untersuchen

A1: Finde die Schwerlinien (Seitenhalbierenden) und den Schwerpunkt eines Dreiecks im Experiment.

A2: Untersuchung der Teilstrecken

Der goldene Schnitt

Das regelmäßige 5-Eck und der Goldene Schnitt

5-Eck falten und untersuchen

Zusatzaufgabe:

Ähnlichkeit

Ähnlichkeit

A1: Was sagt dir das Wort?

A2: Ähnliche Figuren

Ergebnis