Le operazioni elementari sui numeri reali realizzate geometricamente usando il punto ausiliario i esterno a R

[color=#ff0000][b][url]http://w3.romascuola.net/gspes/c/lo/4a.html[/url][/b][/color][br][br][b][color=#ff0000][url]www.facebook.com/note.php?note_id=239209239465497[/url][/color][/b][br][br][b][color=#ff0000][url=http://www.facebook.com/note.php?note_id=263898740329880]www.facebook.com/note.php?note_id=263898740329880[/url][/color][/b]

unità immaginaria e numeri complessi[br][list][*]ortonormalità di 1 e i: introduciamo graficamente il punto i come quel punto che [b]dista da 0 quanto ne dista 1[/b] e che sta [b]a sinistra di 0 guardando 1[/b].Tale configurazione grafica è detta [b][i]ortonormale[/i][/b]. [br]Matematicamente, invece, richiederemo solo il seguente: [/*][/list][list][*][b]assioma dell'unità immaginaria[/b]: [br][br]i  non è in  R[br][/*][/list][br][list][*]la retta [b]I := R•i[/b] è detta [b][i]asse immaginario[/i][/b]. Graficamente tale asse è [b]perpendicolare[/b] all'asse reale R. C è [b]generato[/b] dai punti [b]1[/b] e [b]i[/b] mediante l'addizione (che è basata sul punto 0) e la moltiplicazione lineare, ossia C è generato dalle [b]combinazioni lineari di 1 e i[/b]. In tal senso si può asserire che i punti 0, 1, i sono i punti basilari su cui poggia C ([i]per tre punti passa uno ed un solo piano[/i]). Considerando 1, i e gli altri punti di C come vettori (quindi riferiti all'origine 0), ogni altro vettore di C è esprimibile come combinazione lineare di 1 e i, ossia a partire da una coppia di vettori [i]indipendenti[/i] (infatti i non appartiene a R). [br][br]E' questo il contenuto dell'ultimo assioma della teoria: [/*][/list][list][*][b]assioma di bidimensionalità[/b]: [br][br] C = R + I [br][/*][/list][br]Per cui si ha: C = R + R•i = { x + y•i : x[img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/appartiene.gif[/img]R, y[img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/appartiene.gif[/img]R}. [br]I numeri reali  [b]x[/b] e  [b]y[/b]  sono detti  [b][i]coordinate[/i][/b]  del   [color=#0000ff][url=http://tinyurl.com/xplusyi​]numero complesso[/url][/color]   [b]x+y•i[/b] [br](con la notazione breve per la moltiplicazione: x+yi)[br]  [list][*]operazioni e operatori:[/*][/list][list][*]operatore [b]Re[/b]: se z = x + y i, il numero reale x è detto [b][i]parte reale[/i] di z[/b]. Si pone: [b]Re(x+yi) := x[/b][/*][*]operatore [b]Im[/b]: se z = x + y i, il numero reale y è detto [b][i]coefficiente della parte immaginaria[/i] di z[/b]. [br]Si pone: [b]Im(x+yi) := y[/b][/*][*][color=#0000ff][url=http://w3.romascuola.net/gspes/c/lo/4a_somma.html]somma[/url][/color] "componente per componente": [b](x+yi) + (x'+y'i) = (x+x') + (y+y')i[/b]   [/*][*][color=#0000ff][url=http://w3.romascuola.net/gspes/c/lo/4a_opposto.html]opposto[/url][/color] "componente per componente": [b]-(x+yi) = (-x) + (-y)i = -x - yi[/b]   [/*][*][color=#0000ff][url=http://w3.romascuola.net/gspes/c/lo/4a_multiplo.html]multiplo[/url][/color] "componente per componente": [b]r(x+yi) = rx + (ry)i[/b]   (dove r[img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/appartiene.gif[/img]R)   [/*][*]operatore di [b]coniugazione[/b]: il numero complesso x-yi è detto [b][i]coniugato[/i][/b] del numero complesso x+yi. Si pone: [b]conj(x+yi) := x-yi[/b]. Spesso il coniugato di un numero complesso z si indica tramite sopralineatura o tramite un meno scritto come apice: [b]conj(z) = z = z[sup]-[/sup][/b]. [br]L'operatore [color=#0000ff][url=http://w3.romascuola.net/gspes/c/lo/4a_coniugato.html]conj[/url][/color] è lineare: [b]conj(z+w) = conj(z) + conj(w)[/b]  e  [b]conj(r·z) = r·conj(z)[/b]   (r[img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/appartiene.gif[/img]R)   [/*][*]operatore di [b]inversione delle coordinate[/b] (o [b][i]inversione cartesiana[/i][/b]): [b]inv(x+yi) := y+xi[/b]. [br][/*][*]Possiamo utilizzare anche la notazione abbreviata con un asterisco: [b]inv(z) = z[sup]*[/sup][/b]. [br]Si ha: [b]inv(z+w)=inv(z) + inv(w)[/b]  e  [b]inv(r·z)=r·inv(z)[/b]   (r[img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/appartiene.gif[/img]R), ossia anche l'operatore inv è lineare.[/*][/list][br][list][*]espressione dell'[b]opposto[/b] tramite [b]coniugazione[/b] e [b]inversione delle coordinate[/b]:[br]               [b]- z = inv( conj( inv( conj(z) ) ) ) = ( ( (z[sup]-[/sup])[sup]*[/sup])[sup]-[/sup])[sup]*[/sup] = z[sup] - * - *[/sup] [/b].[b][sup] [/sup][/b][/*][/list]