Die Normalparabel mit der Form [math]f\left(x\right)=x^2[/math] ist uns allen bekannt. Dennoch wollen wir im Folgenden die wichtigsten Eckdaten festhalten.

Der Funktionsterm der Normalparabel:  [math]f\left(x\right)=x^2[/math][br][br]Die Funktionsgleichung der Normalparabel: [math]y=x^2[/math]

[b]1. Globales Verhalten[/b][br][br]Das globale Verhalten beschreibt den Verlauf des Schaubildes. Zum einen wird erläutert, durch welche Quadranten das Schaubild verläuft. Zum anderen wird die Entwicklung der Funktionswerte f(x) für x-Werte beschrieben, welche ins "Minus"- und ins "Plus"-Unendliche führen. [br][br][b]Wir schreiben:[/b] [br]Das Schaubild [math]K_f[/math] verläuft vom _________ in den __________ Quadranten.[br]Für [math]x\longrightarrow\infty[/math] gilt: [math]f\left(x\right)=[/math] [br]Für [math]x\longrightarrow-\infty[/math]gilt: [math]f\left(x\right)=[/math][br][br][b]Arbeitsauftrag 1:[/b][br]Wenden Sie das Erlernte an und bescheiben Sie das globale Verhalten der Normalparabel!

[b]2. Symmetrie: [/b][br][br]Ein Schaubild kann entweder achsen- oder punktsymmetrisch sein. Symmetrie bedeutet, dass unser Schaubild eine spiegelbildliche Gleichheit aufzeigt. [br][br]Die Normalparabal zeigt diese Gleicheit, wenn sie an der y-Achse gespiegelt wird. Somit ist die Normalparabel achsensymmetrisch zur y-Achse. Dies bedeutet, dass wir für das Einsetzen eines betragsmäßig gleichen x-Wertes denselben Funktionswert erhalten. [br][br][b]Wir schreiben: [/b][br][math]f\left(x\right)=f\left(-x\right)[/math][br][br][b]Arbeitsauftrag 2: [/b][br]Zeigen Sie mithilfe drei betragsmäßig verschiedener x-Werte, dass die Normalparabel achsensysmmetrisch zur y-Achse ist.

[b]3. Scheitelpunkt[/b][br][br]Der Scheitelpunkt ist der Parabelpunkt mit dem kleinsten y-Wert. [br][br]Der Scheitelpunkt der Normalparabel liegt auf der Symmetrieachse (hier der y-Achse) und seine Punktkoordinaten werden mit einem "S" betitelt. [br][br][b]Wir schreiben: [/b][br][math]S\left(x\mid y\right)[/math][br][br][b]Arbeitsauftrag 3: [/b][br]Bestimmen Sie den Scheitelpunkt der Normalparabel.

[b]4. Definitions- und Wertemenge[/b][br][br]Die Definitionsmenge ist die Menge aller einsetzbaren x-Werte. [br]Die Wertemenge ist die Menge aller y-Werte, die sich ergeben können. [br]Die beiden Mengen können sowohl in der Mengen- als auch in der Intervallschreibweise oder mithilfe der Zahlenmengen wiedergegeben werden. [br][br][b]Wir schreiben: [/b][br][math]D=[/math][br][math]W=[/math][br][br][b]Arbeitsauftrag 4: [/b][br]Bestimmen Sie den Definitions- und Wertebereich der Normalparabel.

Wie bereits in den vergangenen Stunden, beim Wurf eines Schneeballs, thematisiert wurde, ist auch der Verlauf der Flugbahn eines Fußballs parabelförming. Auch diese "Schussparabel" wird von einigen Faktoren beeinflusst. Solche Faktoren sind: [br][br]- Die [b]Abschussgeschwindigkeit [/b][math]v_0[/math]:[u][br]Denkanstoß[/u]: Je fester der Fußballer den Fall kickt, desto höher wird die Abschussgeschwindigkeit sein. Wir nehmen an, dass das Gewicht der Bälle gleich ist. [br]- Der [b]Abschusswinkel [/b][math]\alpha[/math]:[br][u]Denkanstoß[/u]: Je nachdem in welchem Winkel der Fußballer den Fall kickt, beeinflusst er den Abschusswinkel, in welchem der Ball den Rasen verlässt. [br]- Die [b]Abschusshöhe [/b][math]h[/math]: [br][u]Denkanstoß[/u]: Wir betrachten in der heutigen Stunde die Flugbahn eines Fußballs, welcher beim Abschuss auf dem Rasen liegt. Daher beträgt die Abschusshöhe in der heutigen Betrachtung 0 Meter. [br][br]Ebenso wirkt der Luftwiderstand in den Verlauf des Flugbahn ein. Jedoch ist der Luftwiderstand keine Größe, die wir als Fußballer beeinflussen können. Die Wetterlange ist für diesen Einflussfaktor verantwortlich, weshalb wir im weiteren Verlauf den Luftwiderstand außer Betracht lassen. [br][br]Die Mathematik macht es uns möglich, den physikalischen Vorgang des Fußballschusses in einen adäquaten Funktionsterm zu übertragen. [br][br]Die Physik gibt uns eine Formel zur Hand, welche uns einen adäquaten Funktionsterm in [b]Hauptform[/b] liefert: [br][br][center][math]f\left(x\right)=-\left(\frac{g}{2\cdot v_0^2\cdot cos\left(\alpha\right)^2}\right)\cdot x^2+tan\left(\alpha\right)\cdot x+h[/math][/center]Der Wert g beschreibt dabei die Erdbeschleunigung. Auf der Erdoberfläche hat sie einen durchschnittlichen Wert von [math]9,81\frac{m}{s^2}[/math].[br][br]Betachten wir das folgende Applet. Durch das Verändern der Schieberegler erkennen wir, welchen Einfluss die einzelnen Einflussfaktoren auf unsere Flugbahn nehmen.

Wir beantworten heute die Frage noch der Schussweite, indem wir diese durch eine adäquate Rechnung ermitteln. [br][br]Anschließend wollen wir dem Fußballer eine Empfehlung an die Hand geben, in welchem Abschusswinkel er den Ball am Weitesten schießen kann. Hierbei schauen wir uns drei "Schussparabeln" genauer an. [br][br]Diesen gesuchten Punkt berechnen wir, indem wir den Schnittpunkt mit der x-Achse ermitteln. Somit berechnen wir die Nullstellen der "Schussparabel". Das Thema der heutigen Stunde: [br][size=150][center][br][b]Die Nullstellen einer Parabel - Die Berechnung mithilfe des Ausklammerns und der Anwendung des Satz vom Nullprodukt[/b][/center][/size]