[size=85]Zwei Möbiustransformationen sind nur dann vertauschbar (kommutativ), wenn sie dieselben Pole, d.h. Fixpunkte besitzen: [br]zwei parabolische Schiebungen mit demselben Fixpunkt, bzw. zwei Drehstreckungen mit denselben Zentren.[br]Wir werden zeigen, dass die Vektoren aus [math]\large\mathcal{G}[/math] die [i]infinitesimalen Erzeugenden[/i] für Möbiusbewegungen sind. Diese Bewegungen sind nur vertauschbar, wenn das Lie-Produkt [math]\mathfrak{o}[/math] ergibt. [br]Wir wollen vorsichtig vermuten, dass das Lie-Produkt ein Mass für die Vertauschbarkeit von Abbildungen darstellt.[br]Und uns scheint das Lie-Produkt eine "symmetrisierende" Wirkung zu besitzen.[br][br]Im obigen Applet sind zwei Punkte-Paare [math]z_1,\,z_2[/math] und [math]z_3,\,z_4[/math] vorgegeben und bewegbar! [br]Im Geradenraum [math]\large{\mathcal{ G}}[/math] werden die Möbiuspunkte durch Berührgeradenvektoren [math] \mathbf\vec{p}_1,\,\mathbf\vec{p}_2\mbox{ und }\mathbf\vec{p}_3,\,\mathbf\vec{p}_4[/math] repräsentiert. Deren LIE-Produkte [math] \mathbf\vec{g}_{12}=\left[\,\mathbf\vec{p}_1,\mathbf\vec{p}_2\,\right][/math] und [math] \mathbf\vec{g}_{34}=\left[\,\mathbf\vec{p}_3,\mathbf\vec{p}_4\,\right][/math] repräsentieren bei geeigneter komplexer Normierung die [i]Verbindungsgeraden[/i]. Das LIE-Produkt [math] \mathbf\vec{g}_{1234}=\left[\,\mathbf\vec{g}_{12},\mathbf\vec{g}_{34}\,\right][/math][sub][b] [/b][/sub]ist "senkrecht zu" [math] \mathbf\vec{g}_{12}[/math] und [math] \mathbf\vec{g}_{34}[/math], dies folgt aus der allgemein gültigen Regel [math]\left[\,\mathbf\vec{g},\mathbf\vec{h}\,\right]\bullet\mathbf\vec{g}=\left[\,\mathbf\vec{g},\mathbf\vec{h}\,\right]\bullet\mathbf\vec{h}=0[/math], also trennen die Pole von [math] \mathbf\vec{g}_{1234}[/math] die Pole des Geradenvektors [math] \mathbf\vec{g}_{12}[/math] und die Pole von [math] \mathbf\vec{g}_{34}[/math] harmonisch. Im Applet werden die Pole [math]z12_1[/math] und [math]z12_2[/math] von [math] \mathbf\vec{g}_{1234}[/math] berechnet. Die vier Punkte [math]z_1,z_2,z12_1,z12_2[/math] und die vier Punkte [math]z_3z_4,z12_1,z12_2[/math] liegen auf einem Kreis, die harmonische Lage ist zu erahnen.[br]Im Applet sind darüberhinaus die Pole [math]z13_1,z13_2[/math] von [math] \mathbf\vec{g}_{1324}=\left[\,\mathbf\vec{g}_{13},\mathbf\vec{g}_{24}\,\right][/math] mit [math] \mathbf\vec{g}_{13}=\left[\,\mathbf\vec{p}_1,\mathbf\vec{p}_3\,\right][/math] und [math] \mathbf\vec{g}_{24}=\left[\,\mathbf\vec{p}_2,\mathbf\vec{p}_4\,\right][/math] berechnet.[br] [math]z13_1,z13_2[/math] trennen sowohl [math]z_1,z_3[/math] als auch [math]z_2,z_4[/math] harmonisch.[br]Auf die gleiche Weise berechnet findet man die Punkte [math]z23_1,z23_2[/math], welche die Punktepaare [math]\left\{z_2,z_3\right\}[/math] und [math]\left\{z_1,z_4\right\}[/math] harmonisch trennen. [br]Die symmetrisierende Wirkung des LIE-Produkts ist hier daran zu erkennen, dass die sechs Punkte [math]z12_1,...,z23_2[/math] die Schnittpunkte von drei paarweise orthogonalen Kreisen sind.[br]Auf der nächsten Seite zeigen wir, dass die Pole symmetrisch auf Winkelhalbierenden liegen.[br][br][u][i][b]Zur Berechnung in Ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon]Gebra:[/b][/i][/u] Die Berechnungen für das obige Applet beruhen auf zwei einfachen Rechenschritten: [br][/size][list][*][size=85]Kreuzprodukt [math]\otimes[/math] zweier komplexer Vektoren [/size][/*][*][size=85]und der Lösung komplexer quadratischen Gleichungen.[/size][/*][/list][size=85]In GeoGebra ist es meines Wissens leider nicht möglich, direkt mit komplexen Vektoren zu rechnen. Das LIE-Produkt mit komplexen Vektoren [math]\mathbf\vec{g},\mathbf\vec{h}[/math] ist nichts anderes als das Kreuzprodukt [math]\mathbf\vec{g}\otimes \mathbf\vec{h}[/math]. Im CAS-Modus von GeoGebra kann man zwar mit komplexen Vektoren rechnen, und das Kreuzprodukt steht auch hierfür zur Verfügung. Der Transfer in den Algebra-Modus, und besonders in den 2D- und 3D-Modus ist jedoch nur mit einer enormen Bremswirkung auf alle Operationen möglich. [br]Wir haben uns damit beholfen, das wir im Tabellenmodus das Kreuzprodukt und die Lösung komplexer quadratischer Gleichungen "nachgebaut" haben. Die direkte Verwendung von [math]\otimes[/math] und KLöse ist uns nicht gelungen.[br]Warum ist die Verwendung komplexer Vektoren in GeoGebra problematisch?[br]Wir vermuten, dass das Zulassen komplexer Vektoren die [i][b]phantastischen[/b][/i] 3D Möglichkeiten von GeoGebra außer Kraft setzen würde![br][/size][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]