Auch in hyperbolischen Ebenen kann man elliptische Blumenbeete mit der Gärtnerkonstruktion anlegen:[br]Man schlage 2 Pflöcke [color=#00ff00][b]f[/b][/color] und [b][color=#00ff00]f*[/color][/b] in die Erde, nehme ein hinreichend langes Seil von fester hyperbolischer Länge [math]\varrho[/math]. [br]Befestigt man die Enden des Seils an den Pflöcken, so kann man mit einem geeigneten hyperbolischen Stift [br]den Umriss eines ovalen Blumenbeetes zeichnen nach der Gärtnerkonstruktion:

Das Oval hat eigentlich 4 [b][color=#274E13]Brennpunkte[/color][/b] und besteht aus 2 Teilen. Zur hyperbolischen Ebene gehören hier aber nur die PUNKTE im Inneren des Einheitskreises. Hyperbolische GERADEN sind die im Inneren verlaufenden Kreisbögen von zum Einheitskreis [i][b]orthogonalen[/b][/i] Kreisen. Die weißen Kreise sind also hier die TANGENTEN des Ovals. Spiegelt man den Pflock [color=#00ff00][b]f[/b][/color] an diesen TANGENTEN, so liegen die Spiegelbilder [color=#00ffff][b]q[/b][/color] auf einem hyperbolischen KREIS mit Mittelpunkt [color=#00ff00][b]f*[/b][/color] und hyperbolischem RADIUS [math]\varrho[/math]. Dies ist der hyperbolische [color=#0000ff]LEITKREIS[/color] des Ovals! Die Summe der hyperbolischen ABSTÄNDE eines Punktes auf dem Oval zu den Brennpunkten ist ebenfalls [math]\varrho[/math]. Die TANGENTEN sind nämlich die Winkelhalbierenden der BRENNSTRAHLEN.[br][size=85]Nebenbei bemerkt: In der [b]GAUSS[/b]schen Zahlenebene ist die Kurve eine bizirkulare Quartik; durch Vergrößerung des Ausschnitts kann man die Quartik in Gänze betrachten. [br]Wie mißt der hyperbolische Gärtner (zumindest im [b]Poincaréschen [/b]Kreisscheibenmodell)? Das erfährt man bei [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbolische_Geometrie]Wikipedia[/url].[br][/size][br][size=50]Dieses Arbeitsblatt ist Teil des Geogebrabooks [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh]Kegelschnitt-Werkzeuge[/url][/size]