Dans le plan, la loi des sinus met en relation les paires angle-côté. On a, par exemple, pour les paires angle-côté [math]Aa[/math] et [math]Bb[/math] :[br][center][math]\frac{\sin(A)}{a}=\frac{\sin(B)}{b}[/math][/center]On peut faire de même avec des triangles sphériques.

Prenons un triangle sphérique [math]\triangle ABC[/math] rectangle en [math]C[/math]. Le triangle rectangle [math]A'BC'[/math], construit d'une façon astucieuse dans l'appliquette ci-dessous, générera miraculeusement plusieurs relations.

On sait désormais que dans tout triangle sphérique rectangle[br][br][center][math]\boxed{\sin(A)=\frac{\sin(a)}{\sin(c)}}[/math][/center]On aurait développé le même argumentaire, mais en partant du sommet [math]B[/math], et l'on aurait obtenu :[br][center][math]\boxed{\sin(B)=\frac{\sin(b)}{\sin(c)}}[/math][/center]

Armés de l'identité[br][center][math]\sin(A)=\frac{\sin(a)}{\sin(c)}[/math][/center]qui tient dans tout triangle sphérique rectangle, nous pouvons découvrir la loi des sinus sphérique.[br][br]Pour ce faire, nous abaissons une hauteur [math]h[/math] [sphérique!] à partir, par exemple, du sommet [math]C[/math] (nous supposons que ce sommet tombe bel et bien sur le côté opposé; autrement, il suffit de modifier légèrement l'argumentaire).

Nous avons alors que[br][center][math]\sin(A)=\frac{\sin(h)}{\sin(b)} \text{ et } \sin(B)=\frac{\sin(h)}{\sin(a)} [/math][/center]En isolant dans les deux équations, l'on trouve[br][br][center][math]\sin(h)=\sin(A) \sin(b) \text{ et } \sin(h)=\sin(B) \sin(a) [/math][/center]d'où[br][center][math]\sin(A) \sin(b)=\sin(B) \sin(a) [/math][/center] et[br][center][math]\boxed{\frac{\sin(A)}{\sin(a)} =\frac{\sin(B)}{\sin(b)} }[/math][/center]qui est la [b]loi des sinus sphérique[/b]!