Teorema (Disuguaglianza triangolare) : [i]In un triangolo un lato è sempre maggiore della differenza degli altri due[/i].[br]Hp: 1) [math]ABC[/math] triangolo[br]Th: [math]\overline{AB}>\overline{BC}-\overline{AC}[/math][br]Se [math]\overline{BC} \cong \overline{AC}[/math] il teorema è banale.[br][b]Passo 1 [/b]: Se [math]\overline{BC} \neq \overline{AC}[/math] è lecito supporre [math]\overline{BC} > \overline{AC}[/math] (2)[br][b]Passo 2 [/b]: Per (2) [math]\exists D \in \overline{BC} / \overline{DC} \cong \overline{AC}[/math] (3)[br][b]Passo 3 [/b]: Il triangolo [math]ACD[/math] è quindi isoscele e per il teorema diretto del triangolo isoscele: [math]A \hat{D} C \cong C \hat{A} D[/math] (4)[br][b]Passo 4 [/b]: L'angolo [math]A \hat{D} B[/math] è esterno rispetto al triangolo [math]BCD[/math], quindi per il teorema dell'angolo esterno maggiore [math]A \hat{D} B > C \hat{A} D[/math] (5) e per (4) [math]A \hat{D} B > A \hat{D} C[/math] (6)[br][b]Passo 5 [/b]: L'angolo [math]A \hat{D} C[/math] è esterno rispetto al triangolo [math]ABD[/math], quindi per il teorema dell'angolo esterno maggiore [math]A \hat{D} C > B \hat{A} D[/math] (7) e per (6) si ha la tesi