Homotetija je preslikavanje koje nije izometrija - zadane skupove točaka preslikava u skupove točaka istog oblika ali u drugom mjerilu.[br][br]Definirajmo homotetiju:[br][list][*]Neka su zadane 2 paralelne ravnine: [math]\pi\parallel\pi_1[/math][br][/*][*]Točka S koja ne leži na njima: [math]S\notin\pi,S\notin\pi_1[/math][br][/*][*]Točke: [math]A,B,C\in\pi[/math][br][/*][*]Svakoj točki ravnine [math]\pi[/math] pridružimo točku ravnine [math]\pi_1[/math] kao presjek ravnine [math]\pi_1[/math] pravcem SA (SB, SC)[/*][/list][br]Tako definirano preslikavanje [math]A\longrightarrow A_1\left(B\longrightarrow B_1,C\longrightarrow C_1\right)[/math] nazivamo [br][b]HOMOTETIJA[/b] ili [b]CENTRALNA SLIČNOST.[br][br]S =[/b] [b]SREDIŠTE HOMOTETIJE[br][/b][math]|SA_1|:|SA|=k[/math], [b]koeficijent homotetije (ili sličnosti)[/b][br]Odgovorimo na pitanja u [i]Vježbi 1[/i]:

[size=150][b][u]Homotetija[/u][u] kao preslikavanje u prostoru [/u][/b][/size](a ne s ravnine na ravninu kao u [i]Vježbi 1[/i]):[br][br]Neka je homotetija zadana točkom S i koeficijentom [i]k.[/i][br]Predznak koeficijenta [i]k [/i]nam govori o položaju točaka A i A[sub]1[/sub] u odnosu na središte homotetije:[br][list][*]k>0 [math]\Longrightarrow[/math] točke A i A[sub]1 [/sub]su na istom polupravcu određenom s početnom točkom S[/*][*]k<0 [math]\Longrightarrow[/math] točke A i A[sub]1 [/sub]su na različitim polupravcima određenim s početnom točkom S.[/*][/list][br]Odgovorimo na slijedeća pitanja uz pomoć [i]Vježbe 2. [/i][i][br][br][/i][list=1][*]O kakvom se preslikavanju radi ako je k=-1?[/*][*]Što dobijemo kao sliku za k=1?[/*][*]Kakvi su dobiveni likovi za |k|<1?[/*][*]Po čemu se vidi da ovo preslikavanje nije izometrija?[/*][*]Što se događa s udaljenostima između točaka ako je |k|>1?[/*][/list][br]Nađimo homotetičnu sliku dužine AB za zadano središte homotetije S i koeficijent homotetije [i]k ([/i]mijenjajući koeficijent[i] k):[/i]

Pažljivim promatranjem dobili smo odgovore na pitanja:[br][br][list=1][*][i]k=-1 [math]\Longrightarrow[/math] Centralna simetrija[/i] sa središtem simetrije u točki S[br][/*][*][i]k=1[/i] [math]\Longrightarrow[/math] [i]Identično preslikavanje [/i](Preslikava se u samu sebe)[/*][*]|k|<1[math]\Longrightarrow[/math] likovi se [i]sažimaju, [/i]tj. [math]\left|AB\right|>\left|A'B'\right|[/math][/*][*]Homotetija nije izometrija jer ne čuva udaljenosti (osim za [math]k=\pm1[/math]), [math]\left|AB\right|\ne\left|A'B'\right|[/math] [/*][*]|k|>1 udaljenosti se povećavaju, tj. [math]\left|AB\right|<\left|A'B'\right|[/math][/*][/list]

Definirajmo konačno [b]homotetiju u prostoru:[br][br][/b]Neka je [b]S [/b]istaknuta točka u prostoru [b](središte homotetije[/b]). [br][b]Homotetija[/b] je preslikavanje koje točki A pridružuje točku A[sub]1[/sub] takvu da vrijedi:[br][br][list][*]točke S, A i A[sub]1[/sub] su kolinearne[/*][*]|SA[sub]1[/sub]|=|k| [math]\cdot[/math] |SA|[/*][*]za k > 0 točke A i A[sub]1[/sub] leže na istom polupravcu određenom točkom S[/*][*]za k < 0 točke A i A[sub]1[/sub] leže na različitim polupravcima[/*][/list]Broj [b]k[/b] naziva se [b]koeficijent homotetije[/b] (ili koeficijent sličnosti)[br][br][br]U [i]Vježbi 3 [/i]uvjeri se u istinitost slijedeće tvrdnje:[br][br]Homotetični su likovi i slični (dva su homotetična lika uvijek slična, dok obrat ne vrijedi). [br]Razlika je u tome što koeficijent homotetije može biti i negativan dok je koeficijent[br]sličnosti uvijek pozitivan.