[size=150][color=#ff0000]UN ALTRO ESEMPIO DI LUOGO GEOMETRICO[/color][/size][br][br]La circonferenza è l'esempio più semplice, tra le coniche, di [b][color=#ff0000]luogo geometrico[/color][/b].[br][br]Ricordiamo che un luogo geometrico è [color=#ff0000][b]un insieme di punti che condividono tutti una stessa proprietà[/b][/color]. Abbiamo già visto esempi di luoghi geometrici parlando dell'asse di un segmento (vedi [url=https://www.geogebra.org/book/title/id/301483#material/303683]qui[/url]). [br][br]La proprietà che accomuna tutti i punti di una circonferenza è questa: [b][color=#ff0000]tutti i punti della circonferenza sono equidistanti da un certo punto fissato, detto CENTRO DELLA CIRCONFERENZA[/color][/b]. La distanza tra tutti i punti della circonferenza ed il centro, cioè, è sempre uguale; questa distanza si chiama RAGGIO della circonferenza.[br][br][u]Nell'animazione qui sotto[/u], vedremo i concetti appena esposti ed imposteremo la formula di una circonferenza di esempio. [br][br][u]Nel testo ancora di seguito[/u] continueremo i calcoli e troveremo l'equazione della circonferenza.

Proseguiamo i calcoli partendo dalla formula che abbiamo ottenuto, cioè:[br][br][math]\large{\sqrt{\left(x-\textcolor{red}{2}\right)^2+\left(y-\textcolor{red}{4}\right)^2}=\textcolor{blue}{2}}[/math][br][br]Prima di procedere ribadiamo che un'equazione in questa forma è l'[i]applicazione diretta[/i] della [i]definizione[/i] di circonferenza: sono tutti i punti [math]\large{P(x,y)}[/math] che hanno distanza dal centro, in questo caso [math]\large{\textcolor{red}{C(2,4)}}[/math], pari ad un certo valore, detto raggio, che in questo caso misura [math]\large{\textcolor{blue}{2}}[/math].[br][br]Ora rendiamo l'equazione più leggibile, ed innanzitutto eleviamo al quadrato sia il primo che il secondo membro, così sparisce la radice:[br][br][math]\large{\left(x-2\right)^2+\left(y-4\right)^2=4}[/math][br][br]Svolgiamo i calcoli dei due quadrati di binomio[br][br][math]\large{x^2+4-4x+y^2+16-8y=4}[/math][br][br]Portando tutto a primo membro ed ordinando per potenze decrescenti di [math]x[/math] e [math]y[/math] troviamo l'[b]equazione finale della nostra circonferenza[/b].[br][br][center][math]\Large{x^2+y^2-4x-8y+16=0}[/math][/center][br]Vedremo che i coefficienti della [math]x^2[/math] e della [math]y^2[/math] sono sempre uguali a [math]1[/math] (o comunque sono uguali tra loro, e se non valgono [math]1[/math] li possiamo far diventare tali dividendo tutto per il loro valore). Vedremo, quando ci occuperemo di ellissi ed iperboli che questo è dovuto al fatto che la circonferenza si "allunga" allo stesso modo nelle due direzioni, come invece non faranno le altre due coniche. [br][br]Dato che i primi due coefficienti non sono significativi dato che hanno lo stesso valore per tutte le circonferenze, possiamo dire che una circonferenza qualsiasi ha questa forma:[br][br][center][size=100][math]\Large{x^2+y^2+\textcolor{blue}{a}x+\textcolor{blue}{b}y+\textcolor{blue}{c}=0\qquad\qquad\qquad\qquad(1)}[/math][/size][/center]dove:[list][*][math]\textcolor{blue}{a}[/math] è il coefficiente della [math]x[/math] (nel nostro esempio vale -4)[/*][*][math]\textcolor{blue}{b}[/math] è il coefficiente della [math]y[/math] (nel nostro esempio vale -8)[/*][*][math]\textcolor{blue}{c}[/math] è il termine noto, cioè quello senza incognite (nel nostro esempio vale +16)[/*][/list][br][b][color=#ff0000]La forma (1) dell'equazione di una circonferenza è detta "canonica"[/color][/b], cioè [i]standard:[/i] è il formato in cui organizziamo i vari termini quando li mettiamo "in ordine", sapendo che è lo stesso formato usato da tutti. [br][br]Per alcuni versi è più chiaro e semplice: i conti sono tutti svolti, è un polinomio - quindi vi compaiono operazioni molto semplici - ed è evidentemente di secondo grado. Abbiamo però visto che il formato usato all'inizio di questo paragrafo, cioè [br][br][math]\large{\sqrt{\left(x-\textcolor{red}{2}\right)^2+\left(y-\textcolor{red}{4}\right)^2}=\textcolor{blue}{2}}[/math][br][br] è molto più CHIARO, perché se lo sappiamo leggere ci dice immediatamente il raggio ed il centro della circonferenza, cioè come è fatta. Ovviamente al posto di questi numeri in generale ce ne saranno altri, cioè avremo un'equazione del tipo:[br][br][math]\large{\sqrt{\left(x-\textcolor{red}{x_C}\right)^2+\left(y-\textcolor{red}{y_C}\right)^2}=\textcolor{blue}{R}}[/math][br][br]Ancora più chiara è l'equazione che otteniamo elevando al quadrato entrambi i membri, perché le caratteristiche della circonferenza rimangono evidenti ma non c'è la radice quadrata:[br][br][center][math]\Large{\left(x-\textcolor{red}{x_C}\right)^2+\left(y-\textcolor{red}{y_C}\right)^2=\textcolor{blue}{R}^2\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(2)}[/math][/center][br]Decidiamo allora di chiamare la forma [math]\large{(2)}[/math] [b][color=#ff0000]l'equazione di base[/color] [/b]una circonferenza, per indicare che è il formato che traduce in modo diretto il concetto stesso, l'idea di circonferenza. [br]Questo nome [i]non[/i] è una definizione ufficiale e ce lo siamo inventati noi - se qualcuno ha proposte alternative che rendano meglio l'idea può proporlo!

[color=#ff0000][size=150]LE CARATTERISTICHE DELLA CIRCONFERENZA "NASCOSTE" NELLA SUA EQUAZIONE CANONICA[/size][/color][br][br]Abbiamo visto che una circonferenza è caratterizzata dalle coordinate del suo centro e dal raggio (che nell'esempio visto valevano rispettivamente [math]\large{x_C=2}[/math], [math]\large{y_C=4}[/math] e [math]\large{R=2}[/math]. [br][br]Quando abbiamo trovato la sua equazione canonica, abbiamo visto che dipende da tre numeri, che nel nostro caso erano [math]\large{a=-4}[/math], [math]\large{b=-8}[/math] e [math]\large{c=16}[/math].[br][br]Vogliamo capire se c'è una relazione tra questi gruppi di valori, ed in particolare vogliamo rispondere a questa domanda:[color=#ff0000] [b]se conosco a, b e c di una circonferenza, riesco a risalire al suo centro ed al suo raggio?[/b][/color][br][br]Per fare questo rifaccio il calcolo dell'equazione di una circonferenza, ma questa volta [u]per le coordinate del centro e per il raggio non uso dei numeri particolari ma delle lettere, perché così vedo meglio come queste lettere si combinano a formare l'equazione finale[/u].[br][b][br]Cerchiamo quindi l'equazione di una circonferenza di centro [math]\large{\textcolor{red}{C\left(x_C,\ y_C\right)}}[/math] e raggio [math]\large{\textcolor{red}{R}}[/math].[/b][br][br]Come abbiamo fatto la prima volta, imponiamo che la distanza tra il centro ed il punto generico della circonferenza [math]\large{P\left(x,\ y\right)}[/math] sia uguale al raggio.[br][br][center][math]\Large{\overline{PC}=\sqrt{\left(x-\textcolor{red}{x_C}\right)^2+\left(y-\textcolor{red}{y_C}\right)^2}=\textcolor{red}{R}}[/math][/center][br][b]ATTENZIONE: [math]\large{\textcolor{red}{x_C}}[/math] è una lettera [i]diversa[/i] da [math]\large{x}[/math][/b]:[br][list][*][math]\large{\textcolor{red}{x_C}}[/math] è la x del centro della circonferenza, quindi [b]in ogni circonferenza è un numero ben preciso[/b] (nel nostro primo esempio valeva 2); usiamo una lettera perché ora non abbiamo ancora deciso che numero è, ma [b]va trattato come se fosse un numero[/b]: è un [u]parametro[/u][/*][*][b][math]\large{x}[/math] [/b]è la x di un punto QUALSIASI della circonferenza, quindi anche dopo aver scelto la circonferenza [b]rimane a tutti gli effetti una lettera[/b], una [u]variabile[/u] che rappresenta TUTTE le possibili x dei punti della circonferenza.[b][br][/b][/*][/list][b][br]Le chiamiamo entrambe "x" perché sono delle ascisse e per distinguerle dalle "y", ma sono molto diverse e non si confondono. Stessa cosa vale per le y.[/b][br][br]Svolgiamo i calcoli come prima, elevando innanzitutto al quadrato entrambi i membri ed ottenendo quella che abbiamo chiamato "equazione di base" della circonferenza.[br][br][math]\large{\left(x-\textcolor{red}{x_C}\right)^2+\left(y-\textcolor{red}{y_C}\right)^2=\textcolor{red}{R}^2}[/math][br][br]Svolgiamo i quadrati di binomio...[br][br][math]\large{x^2+\textcolor{red}{x_C}^2-2\textcolor{red}{x_C}\ x+y^2+\textcolor{red}{y_C}^2-2\textcolor{red}{y_C}\ y=\textcolor{red}{R}^2}[/math][br][br](da notare che abbiamo scritto prima le [math]\large{\textcolor{red}{x_C}}[/math] delle [math]\large{x}[/math], perché la lettera "vera" è la [math]\large{x}[/math], mentre [math]\large{\textcolor{red}{x_C}}[/math] è un numero e quindi va scritto nella prima parte del monomio. Stessa cosa con le y.)[br][br]Portiamo tutto a primo membro ed ordiniamo per potenze decrescenti di [math]\large{x}[/math] e [math]\large{y}[/math], [u]esattamente come abbiamo fatto nel nostro primo esempio[/u]:[br][br][center][math]\large{x^2+y^2-2\textcolor{red}{x_C}\ x-2\textcolor{red}{y_C}\ y+\textcolor{red}{x_C}^2+\textcolor{red}{y_C}^2-\textcolor{red}{R}^2=0}[/math][/center]Confrontandolo con la equazione generale che abbiamo ottenuto prima abbiamo[br][br][center][math]\Large{\begin{array}{cccccc}x^2&+y^2&\underbrace{-2\textcolor{red}{x_C}}\ x&\underbrace{-2\textcolor{red}{y_C}}\ y&\underbrace{+\textcolor{red}{x_C}^2+\textcolor{red}{y_C}^2-\textcolor{red}{R}^2}&=0\\ x^2&+y^2&+\textcolor{blue}{a}x&+\textcolor{blue}{b}y&+\textcolor{blue}{c}&=0\end{array}}[/math][/center][br][br]possiamo quindi notare che:[list][*]il coefficiente della [math]\large{x}[/math], cioè [math]\large{\textcolor{blue}{a}}[/math], vale [math]\large{-2\textcolor{red}{x_C}}[/math][/*][*]il coefficiente della [math]\large{y}[/math], cioè [math]\large{\textcolor{blue}{b}}[/math], vale [math]\large{-2\textcolor{red}{y_C}}[/math][/*][*]la parte senza incognite, cioè il termine noto [math]\large{\textcolor{blue}{c}}[/math], è pari a [math]\large{\textcolor{red}{x_C}^2+\textcolor{red}{y_C}^2-\textcolor{red}{R}^2}[/math][/*][/list][br][b]Abbiamo quindi ottenuto le "istruzioni" per passare da [math]\large{\textcolor{blue}{a}}[/math], [math]\large{\textcolor{blue}{b}}[/math] e [math]\large{\textcolor{blue}{c}}[/math] alle caratteristiche [math]\large{\textcolor{red}{x_C}}[/math], [math]\large{\textcolor{red}{y_C}}[/math] ed [math]\large{\textcolor{red}{R}}[/math] della circonferenza (e viceversa). Le riassumiamo in questo [i]sistema [/i][/b] (infatti tutte queste condizioni sono vere contemporaneamente):[br][br][math]\Large{\left\{ \begin{array}{rcl}\textcolor{blue}{a} & = & -2\textcolor{red}{x_C}\\ \textcolor{blue}{b} & = & -2\textcolor{red}{y_C}\\ \textcolor{blue}{c} & = & \textcolor{red}{x_C}^2+\textcolor{red}{y_C}^2-\textcolor{red}{R}^2\end{array}\right.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(3)}[/math][br][br][color=#ff0000][size=150]UNA VERIFICA PER VEDERE SE ABBIAMO CAPITO[/size][/color][br][br]Vediamo ora se siamo capaci di utilizzare quello che abbiamo imparato per trovare centro e raggio di una circonferenza. Consideriamo di nuovo la nostra circonferenza di esempio[br][br][center][math]\large{x^2+y^2-4x-8y+16=0}[/math][/center]Dimentichiamoci per un attimo le coordinate del suo centro e la misura del suo raggio e vediamo se riusciamo a ricavarle con le "istruzioni" [math]\large{(3)}[/math] che abbiamo appena trovato.[br][br]Come abbiamo detto, i valori di questa circonferenza sono:[br][br][list][*][math]\large{\textcolor{blue}{a}=-4}[/math] [/*][*][math]\large{\textcolor{blue}{b}=-8}[/math] [/*][*][math]\large{\textcolor{blue}{c}=+16}[/math] [/*][/list]Sostituiamo questi valori nelle prime due formule del sistema [math]\large{(3)}[/math] ed otteniamo [br][math]\Large{\left\{ \begin{array}{rcl}\textcolor{blue}{-4} & = & -2\textcolor{red}{x_C} \ \ \rightarrow \ \ \frac{-4}{-2} = \frac{-2}{-2}\textcolor{red}{x_C}\ \ \rightarrow \ \ 2 = \textcolor{red}{x_C}\\ \textcolor{blue}{-8} & = & -2\textcolor{red}{y_C}\ \ \rightarrow \ \ \frac{-8}{-2} = \frac{-2}{-2}\textcolor{red}{y_C}\ \ \rightarrow \ \ 4 = \textcolor{red}{y_C}\end{array}\right.}[/math][br][br]Quindi la nostra circonferenza ha centro in [math]\large{C \left( \textcolor{red}{x_C},\ \textcolor{red}{y_C}\right) = C\left( 2, 4\right)}[/math]. [b][color=#ff0000]Corrisponde con i dati iniziali che avevamo circonferenza! :D[/color][/b].[br] [br]Ci rimane solo da sostituire [math]\large{\textcolor{blue}{c}}[/math] ed i valori trovati per [math]\large{\textcolor{red}{x_C}}[/math] e [math]\large{\textcolor{red}{y_C}}[/math] nell'ultima equazione e trovare il raggio:[br][br][math]\large{\textcolor{blue}{c}=\textcolor{red}{x_C}^2+\textcolor{red}{y_C}^2-\textcolor{red}{R}^2 \ \ \rightarrow \ \ \textcolor{blue}{16}=\left(\textcolor{red}{2}\right)^2 +\left(\textcolor{red}{4}\right)^2-\textcolor{red}{R}^2}[/math][br][br]Svolgendo i calcoli otteniamo[br][br][math]\large{16-4-16=-\textcolor{red}{R}^2 \ \ \rightarrow \ \ -4=-\textcolor{red}{R}^2 \ \ \rightarrow \ \ 4=\textcolor{red}{R}^2 \ \ \rightarrow \ \ \pm\sqrt{4}=\textcolor{red}{R} \ \ \rightarrow \ \ \pm 2=\textcolor{red}{R}}[/math][br][br]Ovviamente l'unico valore che ha senso per il raggio è quello positivo, quindi abbiamo ottenuto [math]\large{\textcolor{red}{R}=2}[/math], ed [b][color=#ff0000]anche la terza caratteristica che cercavamo coincide con quella originale[/color][/b][b][color=#ff0000] :D[/color][/b].[br][br]Quindi data una circonferenza qualsiasi adottando questo sistema siamo in grado di trovare le coordinate del suo centro e la misura del suo raggio.

[size=150][color=#ff0000]RISALIRE ALLA CARATTERISTICHE CON IL METODO DI COMPLETAMENTO DEL QUADRATO[br][/color][/size]Vediamo ora un altro modo per calcolare le caratteristiche di una circonferenza senza utilizzare le formule [math]\large{(3)}[/math] ma ragionando sull'idea di circonferenza. [br][br]Consideriamo l'equazione canonica[br][br][math]\large{x^2+y^2-4x+2y-4=0}[/math][br][br]Vogliamo verificare se è una circonferenza, ed in caso affermativo quale è il suo centro ed il suo raggio.[br][br]Notiamo che i coefficienti di [math]\large{x^2}[/math] e [math]\large{y^2}[/math] sono uguali ed entrambi uguali ad uno, quindi questa equazione [i]assomiglia[/i] a quella di una circonferenza. Sarebbe più comodo se avessimo non la sua equazione canonica, ma quella di base, cioé del tipo dell'equazione [math]\large{(2)} [/math] che mostra chiaramente centro e raggio della circonferenza:[br][br][center][math]\Large{\left(x-\textcolor{red}{x_C}\right)^2+\left(y-\textcolor{red}{y_C}\right)^2=\textcolor{blue}{R}^2\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(2)}[/math][/center][br][br][b][color=#ff0000]Manipoliamo allora la nostra equazione in modo da trasformarla in questo formato[/color][/b]. Vediamo che l'equazione di base racchiude la [math]\large{x}[/math] e la [math]\large{y}[/math] in due quadrati di binomio. Iniziamo ad organizzare la nostra equazione in modo da ottenere questi quadrati: raggruppiamo i termini in [math]\large{x}[/math], quelli in [math]\large{y}[/math] e portiamo il termine noto a secondo membro (dove comparirà il raggio [math]\large{\textcolor{blue}{R}^2}[/math]):[br][br][math]\Large{\underbrace{x^2-4x+ \textcolor{red}{?}}_{\large{\text{quadrato } x}}+\underbrace{y^2+2y+\textcolor{blue}{?}}_{\large{\text{quadrato } y}}=4}[/math][br][br]In ognuna delle espressioni racchiuse da parentesi graffe manca un termine per avere un quadrato di binomio. Puoi calcolare i numeri mancanti sapendo ad esempio che [math]\large{-4x}[/math] deve essere il [b]doppio prodotto[/b] tra [math]\large{x}[/math] ed il secondo numero, che quindi è [math]\large{-2}[/math] - di conseguenza il secondo quadrato vale [math]\large{4}[/math]. [br][br][math]\large{-4x=\mbox{ il doppio prodotto tra }x\mbox{ e un altro numero }(x_C) \rightarrow -4x=2\cdot x \cdot x_C \rightarrow x_C=\frac{-4}{2}=-2}[/math][br][br][math]\large{\rightarrow \mbox{per completare il quadrato di binomio aggiungo il quadrato del secondo numero: }(-2)^2=\textcolor{red}{4}}[/math][br][math]\large{\mbox{[per non cambiare l'equazione lo aggiungo anche a secondo membro]}}[/math][br][br]Ripetendo lo stesso ragionamento con le [math]\large{y}[/math] ottengo:[br][br][math]\Large{\underbrace{x^2-4x+ \textcolor{red}{4}}_{(x-2)^2}+\underbrace{y^2+2y+\textcolor{blue}{1}}_{(y+1)^2}=4\textcolor{red}{+4}\textcolor{blue}{+1}}[/math][br][br]Come al solito[b][color=#38761d] abbiamo aggiunto le stesse quantità anche a secondo membro, per equilibrare l'equazione[/color][/b]: se semplifichiamo i termini colorati otteniamo l'equazione di partenza, a conferma del fatto che non abbiamo [i]cambiato[/i] l'equazione, l'abbiamo solo [i]riscritta in una forma diversa[/i]. A questo punto abbiamo[br][br][math]\Large{(x-2)^2+(y+1)^2=9}[/math][br][br]Abbiamo praticamente raggiunto il nostro obiettivo di riscrivere l'equazione nel formato di base [math]\large{(2)} [/math]: ci basta notare che [math]\large{9}[/math] può essere visto come [math]\large{\textcolor{blue}{3}^2}[/math]. Mettiamo anche in evidenza che il binomio [math]\large{y+1}[/math] è la [i]differenza[/i] tra [math]\large{y}[/math] e [math]\large{-1}[/math], in modo da riprodurre in modo identico l'equazione di base:[br][br][math]\Large{(x-\textcolor{red}{2})^2+(y-\textcolor{red}{(-1)})^2=\textcolor{blue}{3}^2}[/math][br][br]Questa equazione parla di punti [math]\large{P(x,y)}[/math] che hanno tutti distanza da [math]\textcolor{red}{\large{C(2,-1)}}[/math] pari a [math]\textcolor{blue}{\large{3}}[/math], quindi abbiamo trovato centro e raggio della circonferenza.[br][br]NOTA: ovviamente se il termine al secondo membro non è un quadrato perfetto come [math]\large{9}[/math] ma un valore qualsiasi, possiamo sempre trovare il raggio. Ad esempio se a secondo membro abbiamo [math]\large{5}[/math], possiamo riscriverlo come [math]\large{(\textcolor{blue}{\sqrt{5}})^2}[/math] e quindi il raggio misurerà appunto [math]\large{\textcolor{blue}{\sqrt{5}}}[/math].[br][br]