[justify][b]Diseñar una repisa con estantes paralelos en un entorno tridimensional utilizando GeoGebra 3D, analizando relaciones de proporcionalidad.[/b][/justify]
[justify][i]Debes diseñar una repisa usando estantes de madera paralelos con un diseño moderno y tridimensional. Los estantes de madera serán [b]planos paralelos[/b] entre sí y estarán sostenidos por dos barras metálicas de soporte que cruzarán el espacio en [b]diferentes ángulos[/b]. Tu misión es a asegurar que los [b]niveles [/b]de la repisa queden distribuidos de manera [b]proporcional[/b], sin importar la inclinación de los soportes metálicos.[/i][/justify]
[i]Antes de abrir GeoGebra, responde las siguientes preguntas basándote en tu intuición y conocimientos previos[/i]
[justify][/justify][justify]Si medimos la [b]distancia[/b] entre los [b]estantes[/b] a lo largo del soporte [b]izquierdo[/b] y luego a lo largo del soporte [b]derecho[/b], ¿serán [b]iguales[/b] las longitudes de los segmentos resultantes? Explica por qué.[/justify]
[justify]Aunque las [b]medidas[/b] de los segmentos sean [b]diferentes[/b] en cada soporte, ¿crees que existirá alguna [b]relación[/b] entre las [b]distancias[/b] de los estantes? Plantea una [b]conjetura[/b]. [/justify]
[i]E[/i][i]n una hoja de papel, realiza un dibujo (en perspectiva o de perfil) que represente la repisa:[/i][list=1][*]Dibuja tres planos horizontales paralelos que representen los estantes.[/*][*]Traza dos rectas que crucen estos planos en diagonal (soportes).[/*][*]Nombra los puntos de intersección del un soporte con los estantes como [i]A[/i], [i]B[/i] y [i]C[/i]; y los del otro soporte como [i]D[/i], [i]E[/i] y [i]F.[/i][/*][/list]
[justify][i]Ubícate en la aplicación GeoGebra 3D y sigue estos pasos de construcción:[br][/i][/justify][list=1][*]Define tres planos paralelos. Utiliza la herramienta [b]Plano Paralelo[/b] para trazar tres planos paralelos al plano [i]xy[/i] a alturas diferentes ([i]P[sub]1[/sub], P[sub]2[/sub], P[sub]3[/sub][/i]). [i][br][/i][/*][*]Utiliza la herramienta [b]Recta[/b] para trazar dos rectas secantes cualesquiera ([i]R[sub]1[/sub], R[sub]2[/sub][/i]), que atraviesen los tres planos. Asegúrate de que las rectas tengan inclinaciones notoriamente distintas.[br][/*][*]Utiliza la herramienta [b]Intersección[/b] para marcar los puntos donde la recta R[sub]1[/sub] corta a los planos [i]P[sub]1[/sub], P[sub]2[/sub], P[sub]3[/sub][/i] (nómbralos [i]A, B, C[/i] respectivamente). Haz lo mismo para la recta R[sub]2[/sub] con los planos (nómbralos [i]D, E, F[/i]).[br][/*][*]Con la herramienta [b]Distancia o Longitud[/b], mide los segmentos determinados en los soportes: [i]AB[/i], [i]BC[/i], [i]DE[/i] y [i]EF[/i].[br][/*][*]En la barra de entrada, crea dos variables para calcular las razones: [i]razon1 = AB / BC [/i]y [i]razon2 = DE / EF.[/i][/*][/list]
[justify]Observa los valores de [code]razon1[/code] y [code]razon2[/code] en GeoGebra. ¿Qué relación matemática hay entre ellos?[/justify]
[justify]¿Coincide este resultado con la predicción que formulaste en la [b]Pregunta 1.2[/b]? Si tu predicción fue diferente, ¿qué crees que causó el error en tu intuición inicial?[/justify]
[justify]Haz clic sobre uno de los puntos que definen la dirección de la recta [i]R[sub]1[/sub][/i] y arrástralo lentamente en distintas direcciones del espacio 3D (puedes rotarla, inclinarla o alejarla). Observa con atención cómo cambian las medidas en la pantalla. Haz lo mismo con la recta [i]R[sub]2[/sub][/i].[/justify]
[justify]Al mover las rectas, ¿qué ocurre con las longitudes individuales de los segmentos [i]AB[/i], [i]BC[/i], [i]DE[/i] y [i]EF[/i]? ¿Permanecen constantes o cambian?[/justify]
[justify]¿Qué sucede con los valores de las razones [code]razon1[/code] y [code]razon2[/code] mientras realizas el movimiento? ¿Depende de cuán inclinados estén los soportes metálicos?[/justify]
[justify]Describe con tus palabras si el movimiento de las rectas en el espacio afecta o no la proporcionalidad de los segmentos cortados por planos paralelos.[/justify]
[i]Analiza la estructura de lo que construiste respondiendo el siguiente desafío.[/i]
Imagina que mides la distancia vertical (completamente vertical de arriba a abajo) entre el estante [i]P[sub]1[/sub][/i] y el estante [i]P[sub]2[/sub][/i]. Luego haces lo mismo en el otro extremo de la repisa. ¿Esas distancias son iguales o cambian? ¿Qué hecho garantiza esto?
Mide la distancia anterior (llámala [i]H[/i][sub]1[/sub]) y también la distancia entre los estantes [i]P[/i][sub]2[/sub] y [i]P[/i][sub]3[/sub] (llámala [i]H[/i][sub]2[/sub]) y calcula la razón [i]H[sub]1[/sub]/H[sub]2[/sub][/i]. Pon tu atención en el primer soporte metálico ([i]R[sub]1[/sub]). [/i]Explica por qué la razón entre los segmentos inclinados [i]AB/BC[/i] tiene que ser exactamente igual a la razón de las alturas verticales [i]H[sub]1[/sub]/H[sub]2[/sub][/i].
Ahora, fíjate en lo que sucede en el otro soporte metálico ([i]R[/i][sub]2[/sub]). ¿La razón [i]H[/i][sub]1[/sub][i]/H[/i][sub]2 [/sub]se mantiene constante o debería cambiar?
¿Las razones [i]DE/EF[/i] y [i]H[/i][sub]1[/sub][i]/H[/i][sub]2 [/sub]deberían ser iguales o no? Explica la razón.
Si se cumple [i]AB/BC =[/i][i]H[/i][sub]1[/sub][i]/H[/i][sub]2[/sub] y [i]DE/EF = [/i][i]H[/i][sub]1[/sub][i]/H[/i][sub]2[/sub]. ¿Qué puedes concluir sobre la relación entre [i]AB/BC[/i] y [i]DE/EF[/i]? Escríbela utilizando [b]exclusivamente[/b] lenguaje matemático detallando cada definición, propiedad o teorema que utilizaste para justificar tu respuesta.
¿Qué condición(es) debería(n) cumplirse para que podamos establecer la relación anterior?
Para terminar de armar la repisa real, ha cortado los segmentos del soporte izquierdo ([i]R[sub]1[/sub][/i]) con las siguientes medidas fijas: [i]AB[/i] = 30 cm y [i]BC[/i] = 45 cm. Por razones estéticas, en el soporte derecho ([i]R[sub]2[/sub][/i]), el primer estante debe quedar a una distancia de [i]DE[/i] = 40 cm.
Determina la medida del segmento que une el segundo y el último estante en el soporte derecho. Comprueba tu cálculo final con la herramienta de medición de GeoGebra.