[size=150][b]1.-La porción de [/b][math]z=x^2+2y[/math][b] entre [/b][math]y=x[/math][b], [/b][math]y=0[/math][b] y [/b][math]x=4[/math][b].[/b][/size][br][br]Entonces, parametrizamos de la siguiente forma:[br][br] [math]S\left(u,v\right)=\left\langle u,v,u^2+2v\right\rangle[/math][br][br]Ahora, necesitamos determinar los límites de integración para u y v. Según las restricciones dadas, tenemos:[br] [br] [math]0\le u\le4[/math] y [math]0\le v\le u[/math][br]Entonces, calculemos los vectores tangentes:[br][br] [math]T_u=(1,0,2u)[/math] y [math]T_v=(0,1,2)[/math][br]El producto cruz de los vectores tangentes es:[br][br] [math]T_u\times T_v=i\left(-2u\right)-j\left(2\right)+k\left(-2u\right)=-2ui-2j-2uk=\left\langle-2u,-2,-2u\right\rangle[/math][br][br]La magnitud de este vector es:[br][br] [math]\parallel T_u\times T_v\parallel=\sqrt{\left(-2u\right)^2+\left(-2\right)^2+\left(-2u\right)^2}=\sqrt{4u^2+4+4u^2}=\sqrt{8u^2+4}=\sqrt{4\left(2u^2+2\right)}=2\sqrt{2u^2+1}[/math][br][br]Por último, escribimos la integral de superficie:[br][br] [math]\int_0^4\int_0^u2\sqrt{2u^2+1}dvdu=\int^4_0\left[\left(2\sqrt{2u^2+1}\right)v\right]_0^udu=\int^4_02u\sqrt{2u^2+1}du[/math][br][br]Ahora, para resolver la integral, sustituimos [math]v=2u^2+1\longrightarrow dv=4udu[/math] lo cual nos queda lo siguiente:[br][br] [math]\frac{1}{2}\int\sqrt{u}=\frac{1}{2}\left(\frac{2v^{\frac{3}{2}}}{3}\right)=\frac{v^{\frac{3}{2}}}{3}=\frac{\left(2u^2+1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}[/math][br]Entonces, evaluando la integral:[br][br] [math]\frac{\left(2\left(4\right)^2+1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{\left(2\left(0\right)^2+1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}=63.19018911-\frac{1}{3}=\frac{33^{\frac{3}{2}}-1}{3}\approx62.85685578[/math][br][br]En conclusión, el área de la superficie es 62.85685578.