Exponentialfunktionen K. Bayer
In diesem Buch lernst du Exponentialfunktionen und ihre Graphen kennen. Viele Eigenschaften und Erkenntnisse kannst du aus deinem Wissen von der expliziten Wachstumsformel exponentieller Zu-/Abnahme übernehmen.
Tabla de Contenidos
- Exponentialfunktionen - erste Entdeckungen
- Was ist überhaupt eine Exponentialfunktion?
- Ein genauerer Blick auf Exponentialfunktionen
- Die allgemeine Exponentialfunktion
- Strecken und Stauchen entlang der Y-Achse
- Verschiebung in Richtung der Y-Achse
- Die allgemeine Exponentialfunktion
Was ist überhaupt eine Exponentialfunktion?
Was ist überhaupt eine Exponentialfunktion?
Eine Funktion [math]f[/math] mit der Funktionsgleichung [math]f\left(x\right)=b^x[/math] mit [math]b>0[/math] und [math]b\ne1[/math] heißt [color=#cc0000]Exponentialfunktion[/color].[br]Dabei heißt b die [color=#38761d]Basis[/color] der Exponentialfunktion.
Erste Entdeckungen
In dem Fenster siehst du den Graphen einer Exponentialfunktion. [br]Indem du den Schieberegler bewegst, änderst du die [color=#38761d]Basis[/color] b der Funktion und somit die Funktionsgleichung und den Graphen.
Aufgabe 1
[b]Bewege[/b] den Schieberegler und [b]schaue[/b] zunächst was passiert. [b]Beschreibe[/b] deinem/r Partner*in den Verlauf der Graphen sowie Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen. [br][color=#3d85c6]Du kannst dabei folgende Begriffe verwenden: [br]Schnittpunkt mit der Y-Achse, steigend/ fallend, annähern, Kurve, steil/flach, [br]Nullstellen (Schnittpunkte mit der X-Achse) [/color]
Aufgabe 2
[b]Beantworte[/b] folgende Fragen. Du kannst weiterhin die Abbildung im Fenster verwenden. [br]Für [math]b[/math] gilt weiterhin: [math]b>0[/math] und [math]b\ne1[/math]
Der Graph einer Exponentialfunktion der Form [math]f\left(x\right)=b^x[/math] ist streng monoton fallend, falls für die Basis b gilt:
Welchen Punkt haben alle Exponentialfunktionen der Form [math]f\left(x\right)=b^x[/math] gemeinsam?
Wie viele Nullstellen (Schnittstellen mit der X-Achse) haben Exponentialfunktionen der Form [math]f\left(x\right)=b^x[/math]?
Alle Graphen haben diese Eigenschaften:
Aufgabe 3
Ergänze nun die Lücken auf dem Arbeitsblatt im ersten Wissenskästchen.
Strecken und Stauchen entlang der Y-Achse
[b][size=150]Auf Bekanntes zurückgreifen ... [/size][/b][br][br]Eine Streckung/ Stauchung entlang der Y-Achse bewirkt, dass die Kurve steiler oder flacher wird. [br]Das kennt ihr bereits von quadratischen Funktionen. [br]Wie war das nochmal?
Welche Funktionsgleichung gibt eine Streckung/ Stauchung der [b]Normalparabel ([/b][math]f\left(x\right)=x^2[/math][b])[/b] entlang der Y-Achse um den Parameter a an?
Für [math]\mid a\mid>1[/math] wird die Parabel
Für [math]\mid a\mid<1[/math] wird die Parabel
Für [math]a<0[/math] wird die Parabel
Zeit für eine Vermutung:
Vermute, wie die Funktionsgleichung einer entlang der Y-Achse um a gestreckten/gestauchten Exponentialfunktion [math]f\left(x\right)=b^x[/math] aussieht. Gib deine Vermutung hier an:
Aufgabe 1
Stelle den Schieberegler auf [math]a=1[/math]. Du siehst eine Exponentialfunktion, die nicht gestreckt oder gestaucht ist. Wie lautet die Funktionsgleichung dieser Funktion?[br][br]Tipp: sie hat die Form: [math]f\left(x\right)=b^x[/math]
Kreuze an:
Aufgabe 2
[b]Schiebe[/b] nun den Schieberegler auf [math]a=2[/math] ([math]a=3[/math], [math]a=0,5[/math]). Fülle auf deinem Arbeitsblatt die Tabelle aus, indem du die Punkte in der Abbildung abliest. [br]Hilfe: Du kannst dir auch die Koordinaten von Hilfspunkten anzeigen lassen.[br][br][b]Stelle[/b] jeweils eine Funktionsgleichung zur Wertetabelle auf. Du kannst dabei auf dein Wissen von expliziten Wachstumsformeln zurückgreifen. [b]Notiere[/b] dazu den [i]Startwert[/i] und den [i]Wachstumsfaktor[/i]. [br][br]Deine Funktionsgleichung kannst du am Kontrollkästchen überprüfen.
Aufgabe 3
Die Funktionsgleichung einer um a entlang der Y-Achse gestreckten/gestauchten Funktion hat die Form [math]f\left(x\right)=a\cdot b^x[/math]. Hattest du das vorhin schon vermutet?[b][br][/b][b][br]Verändere[/b] den Schieberegler. [b]Beschreibe[/b] die Veränderungen deinem/r Partner:in. [br][color=#1e84cc]Verwende dabei folgende Begriffe: [br]gestreckt (steiler)/gestaucht (flacher), Schnittpunkt mit der Y-Achse, annähern, X-Achse, gespiegelt[/color][br]
Aufgabe 4
Jetzt sollen die Erkenntnisse über gestreckte und gestauchte Exponentialfunktionen verallgemeinert werden. [b]Beantworte[/b] dazu folgende Fragen. [b]Notiere[/b] deine Erkenntnisse auch auf dem Arbeitsblatt.
Ein Faktor [math]a[/math] mit [math]\left|a\right|>1[/math] ... den Graphen der Exponentialfunktion.
Ein Faktor [math]a[/math] mit [math]\left|a\right|<1[/math] ... den Graphen einer Exponentialfunktion.
Falls [math]a>0[/math] so liegt der Graph
Spiegelt man den Graphen der Funktion [math]f\left(x\right)=2\cdot1,5^x[/math] an der X-Achse, so entsteht der Graph der Funktion g mit
Welche Gemeinsamkeiten haben alle gestreckten/gestauchten Exponentialfunktionen der Form [math]f\left(x\right)=a\cdot b^x[/math]?