[justify]Por sí mismos, los números m y n proporcionan una representación incompleta del verdadero tamaño de un sistema lineal. La matriz de nuestro ejemplo tenía tres renglones y cuatro columnas, aunque el tercer renglón era sólo una combinación de los dos primeros. Después de la eliminación se convirtió en un renglón cero. No afectó el problema homogéneo [math] \large A\vec{x}=\vec{0} [/math] . Las cuatro columnas también fracasaron en cuanto a ser independientes, y el espacio columna degeneró en un plano bidimensional. El número importante que está comenzando a surgir (el tamaño verdadero) es el rango r. El rango se introdujo como el número de pivotes en el proceso de eliminación. De manera equivalente, la matriz final U tiene r renglones diferentes de cero. Esta definición hubiera podido proporcionarse a una computadora, aunque sería erróneo ahí, porque el rango posee un significado simple e intuitivo: El rango cuenta el número de renglones realmente independientes en la matriz A. Lo que se busca son definiciones matemáticas, más que computacionales.[br]El objetivo de esta sección es explicar y usar cuatro conceptos:[br][br]1. Independencia o dependencia lineal.[br]2. Generación de un subespacio.[br]3. Base de un subespacio (un conjunto de vectores).[br]4. Dimensión de un subespacio (un número).[br][br]El paso es definir lineal. Dado un conjunto de vectores v 1, .. , vk, se buscan sus combinaciones c1v 1 + c2v2 + · · · + ckvk. La combinación trivial, con todos los pesos c1 = O, evidentemente produce el vector cero: Ov 1 + · · · + Ovk = O. La pregunta es si ésta es la única forma de producir cero. En caso afirmativo, los vectores son independientes. Si con cualquier otra combinación de los vectores se obtiene cero, entonces son dependientes.[/justify]

[justify]La dependencia lineal es fácil de visualizar en el espacio tridimensional, cuando todos los vectores salen del origen. Dos vectores son dependientes si están en la misma recta. Tres vectores son dependientes si están en el mismo plano. Una elección aleatoria de tres vectores, sin ningún accidente especial, debe producir independencia lineal (no están en un plano). Cuatro vectores siempre son linealmente dependientes en R3 .[/justify]

Si v 1 = vector cero, entonces el conjunto es linealmente dependiente. Puede elegirse c1 =[br]3 y todas las demás c;= O; esta es una combinación no trivial que produce cero.

Las columnas de la matriz [br][center][br][math][br]\large [br]A=[br]\begin{bmatrix}[br]1 & 3 & 3 & 2\\ [br]2 & 6 & 9 & 5 \\ [br] -1 & -3 & 3 & 0[br]\end{bmatrix}[br][/math][br][/center][br][br]son linealmente dependientes, ya que la segunda columna es tres veces la primera. La combinación[br]de las columnas con pesos -3, 1, 0, 0 proporciona una columna de ceros.[br]Las filas también son linealmente dependientes· la fila 3 es dos veces la fila 2 menos cinco veces la fila 1.

Las columnas de la siguiente matriz triangular son linealmente independientes:[br][br][math][br]\large [br]\text{No hay ceros en la diagonal \hspace{2cm} }[br]A=\begin{bmatrix}[br]3 & 4 & 2 \\ [br]0 & 1 & 5 \\ [br] 0 & 0 & 2[br]\end{bmatrix}[br][/math][br][br]Se busca una combinación de las columnas que produzca cero:[br][br][math][br]\large [br]\text{ Se Resuelve Ac=0 } \hspace{2cm} c_{1}\begin{bmatrix}[br]3\\ [br]0\\ [br]0[br]\end{bmatrix} + c_{2}\begin{bmatrix}[br]4\\ [br]1\\ [br]0[br]\end{bmatrix} +c_{3}\begin{bmatrix}[br]2\\ [br]5\\ [br]2[br]\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}[br]0\\ [br]0\\ [br]0[br]\end{bmatrix}[br][br][/math][br][br]Hay que demostrar que c1,c2,c3 están todos obligados a ser cero, la última ecuación proporciona c3=0, la siguiente ecuación proporciona c2 = O, y al sustituir en la primera ecuación se_obliga que c1=0. La única combinación que produce el vector cero es la combinación de cis igual a 0.[br][b]El espacio nulo de A solo contiene al vector cero [/b][br][br]Un razonamiento semejante es válido para las filas de A, que también son independientes. Suponga que[br]C¡ (3, 4, 2) + C2(0, l, 5) + C3(0, O, 2) = (0, O, 0).[br][br]A partir de las primeras componentes se encuentra que 3c1 =0 o sea c1 =o. Luego, las segundas[br]componentes proporcionan c2 = O, y finalmente c3= 0.[br]Las filas diferentes de cero de una matriz en forma escalonada deben ser independientes[br], además si se eligen las columnas que contienen a los pivotes, también son[br]linealmente independientes. En el ejemplo previo, con:[br][br][br]las columnas pivote 1 y 3 son independientes. Ningún conjunto de tres columnas es independiente, y ciertamente tampoco ninguno de cuatro. Es cierto que las columnas 1 y 4 también son independientes paro si el último 1 cambia a 0 entonces serían dependientes. Por tanto, lo que garantiza su independencia son las columnas que contienen a los pivotes., A continuación se proporciona la regla general:

Las columnas de la matriz identidad de n por n son independientes: