Vektorrechnung
Einführung in die Vektorrechnung
Table des matières
- Punkte und Vektoren
- 1.1 Das dreidimensionale Koordinatensystem
- 1.2 In 3D zurechtfinden ... die Ansicht drehen!
- 1.3 dreidimensionale Koordinatensysteme zeichnen
- 1.4 Was sind Vektoren?
- 1.5 Ortsvektoren und Verbindungsvektoren
- Rechnen mit Vektoren
- 2.1 Schatzsuche - Vektoren addieren
- 2.2 Vektoren mit Skalaren multiplizieren
- 2.3 a) gleich lange Vektoren
- 2.3 b) gleiche Richtung von Vektoren
- 2.4 Übungsaufgaben
- Winkel zwischen Vektoren bestimmen
- Winkel zwischen Vektoren
- Figuren untersuchen
- Geraden und Strecken
- Geraden im Raum - Parameterdarstellung
- Punkt auf einer Geraden
- Schnittpunkte von Geraden
- Lagebeziehungen zwischen Geraden
- a) Schneidende Geraden
- b) Parallele Geraden
- c) Identische Geraden
- d) Windschiefe Geraden
1.1 Das dreidimensionale Koordinatensystem
[justify]Um Standorte anzugeben brauchen Systeme die Hilfe der Mathematik. Dort werden Standorte als Koordinaten angegeben. Auf einem Fußballfeld kann man technisch zum Beispiel ermitteln, ob sich ein Spieler im Abseits befand oder nicht. Ganz einfach könnte man sich dies in einem zweidimensionalen Koordinatensystem veranschaulichen.[br][/justify]
[size=100]Auch die Filmtechnik nutzt die Mathematik damit genau festgelegt werden kann, wohin sich z.B. Kameras bewegen sollen. Im Video siehst du die Spidercam der Allianz-Arena. Sie bewegt sich über den Spielern und filmt das Feld. Im Gegensatz zu den Spielern im Feld, die sich nur auf einer Ebene bewegen, reicht unser bekanntes Koordinatensystem nicht aus um die Bewegung der Spidercam darzustellen.[/size]
Warum?
[justify][size=85][/size][/justify][size=100][justify][size=85][/size][/justify][/size]Unser bisher verwendetes Koordinatensystem besteht aus zwei zueinander senkrechten Achsen. Es ermöglicht die Angabe von Punkten im zweidimensionales Raum, also in einer Ebene. Diese Punkte werden durch Zahlenpaare P(x|y) angegeben. Im Dreidimensionalen reicht uns dieses Koordinatensystem nicht mehr und wir müssen es erweitern.[br][br]Verwende im folgenden Applet die Schieberegler um dir das dreidimensionale Koordinatensystem zu veranschaulichen.[size=100][justify][size=85][/size][/justify][/size]
Koordinaten besonderer Punkte im Koordinatensystem
Setze jeweils zwei der Koordinaten Null, z.B. P (3|0|0). Welche besondere Lage haben diese Punkte im Koordinatensystem. Formuliere einen Satz.
[size=85][size=100]Nutze dieses Wissen auch zur (schriftlichen) Bearbeitung folgender Aufgabe. [br][/size][/size][br]
Setze jetzt jeweils nur eine der Koordinaten gleich Null. Welche besondere Lage haben diese Punkte im Koordinatensystem? Formuliere einen Satz.
2.1 Schatzsuche - Vektoren addieren
Aufgabe
Gegeben sind die Punkte A(1|2|3), B(-2|5|3) und C(2|-1|3).[br][br]a) Bestimme die Vektoren [math]\vec{OA}[/math], [math]\vec{OB}[/math], [math]\vec{OC}[/math], [math]\vec{AB}[/math], [math]\vec{BC}[/math] und [math]\vec{AC}[/math] und zeichne sie in ein Koordinatensystem ein.[br][br]b) Berechne die Vektoren [math]\vec{OA}+\vec{AB}[/math], [math]\vec{OA}+\vec{AC}[/math], [math]\vec{AB}+\vec{BC}[/math] und [math]\vec{OA}+\vec{AB}+\vec{BC}[/math] und zeichne sie ebenfalls ein. Interpretiere die Ergebnisse.[br][br]c) Betrachte nun allgemeine Punkte [math]A\left(a_1\left|a_2\right|a_3\right)[/math], [math]B\left(b_1\left|b_2\right|b_3\right)[/math] und [math]C\left(c_1\left|c_2\right|c_3\right)[/math]. Berechne allgemein [math]\vec{AB}+\vec{BC}[/math] und interpretiere das Ergebnis.[br]
Winkel zwischen Vektoren
Geraden im Raum - Parameterdarstellung
Ein Koordinatensystem wird so in ein Fußballfeld gelegt, dass eines der Tore in der [math]x_1-x_3-Ebene[/math] liegt.[br]Ein Fußball wird nun, ausgehend vom Punkt A(4|15|0), abgeschossen. Wir gehen davon aus, dass die Flugbahn des Balls in etwa geradlinig verläuft. Nach einer Zehntelsekunde erreicht der Ball den Punkt B(3|11|1).
Aufgabe 1
a) Berechne, an welchem Punkt der Ball sich nach einer (, zwei, drei) weitere(n) Zehntelsekunden befindet.[br]b) Zeichne den Startpunkt und die berechneten Punkte in ein geeignetes Koordinatensystem ein.[br]c) Stelle allgemein eine Formel auf, mit der sich die Position des Balls nach t Zehntelsekunden berechnen lässt.[br]d) schwieriger: Berechne die Dauer, die der Ball benötigt, bis er die Torebene erreicht. Berechne ebenfalls den Punkt, in dem dies geschieht. Trifft der Ball ins Tor?
Aufgabe 2
Formal sauber wird die sogenannte Parameterform einer Geraden g folgendermaßen notiert:[br][br][math]g:\vec{x}=\vec{x_S}+t\cdot\vec{x_R};t\in\mathbb{R}[/math][br][br]a) Formuliere einen Merksatz, in dem du auf die Bedeutung der Elemente dieser Formel eingehst. Erkläre insbesondere die Bedeutung von [math]\vec{x_R}[/math] und [math]\vec{x_S}[/math] auch im Kontext von Aufgabe 1.[br]b) Stelle eine Geradengleichung auf, welche durch die Punkte A(2|1|2) und B(2|3|4) verläuft.