A Geometria Espacial tem por objetivo analisar as propriedades de figuras constituídas por objetos do [i]espaço[/i]. Tais objetos são denominados entes primitivos, a saber: [i]ponto[/i], [i]reta[/i] e [i]plano[/i]. Designamos:[br][list][*]pontos por letras maiúsculas [math]\left(A,B,C,...\right)[/math];[/*][*]retas por letras minúsculas [math]\left(r,s,t,...\right)[/math];[/*][*]planos por letras gregas [math]\left(\alpha,\beta,\gamma,...\right)[/math].[/*][/list]Apesar de serem caracterizados formalmente por meio de postulados, temos modelos de representação geométrica para cada um.

Postulados são propriedades iniciais tomadas como verdades absolutas. Por isso, devem ser simples e intuitivas.[br]Teoremas são propriedades demonstradas por meio dos postulados e de teoremas demonstrados anteriormente.

Dados dois pontos distintos, [math]A[/math] e [math]B[/math] do espaço, existe uma, e somente uma, reta [math]r[/math] que passa por eles.[br][br]Mova os pontos [math]A[/math] e [math]B[/math] para ver que eles são do espaço e que realmente determinam a reta [math]r[/math].

Dada uma reta [math]r[/math] no espaço, existem pontos que pertencem à [math]r[/math] e pontos que não pertencem à [math]r[/math].[br][br]Mova os pontos [math]A[/math] e [math]B[/math] para ver que eles realmente podem ser tomados em infinitas posições na reta [math]r[/math] e fora dela, respectivamente.

Dados três pontos não colineares, [math]A[/math], [math]B[/math] e [math]C[/math] do espaço, existe um, e somente um, plano [math]\alpha[/math] que passa por eles.[br][br]Mova os pontos [math]A[/math], [math]B[/math] e [math]C[/math] para ver que eles realmente determinam o plano [math]\alpha[/math].

Obs.: O Postulado 3 distingue reta e plano porque os pontos não são colineares. Isso faz com que uma reta [math]r[/math] determinada por dois deles, [math]A[/math] e [math]B[/math] por exemplo, não contenha o outro, [math]C[/math] no caso, sendo que todos estão no plano [math]\alpha[/math]. Ou seja, [math]r\ne\alpha[/math].

Dado um plano [math]\alpha[/math] do espaço, existem pontos que pertencem à [math]\alpha[/math] e pontos que não pertencem à [math]\alpha[/math].[br][br]Mova os pontos [math]A[/math] e [math]B[/math] para ver que eles realmente podem ser tomados em infinitas posições no plano [math]\alpha[/math] e fora dele, respectivamente.

Se dois pontos distintos, [math]A[/math] e [math]B[/math], de uma reta [math]r[/math] do espaço pertencem a um plano [math]\alpha[/math], então [math]r[/math] está contida em [math]\alpha[/math].[br][br]Mova os pontos [math]A[/math] e [math]B[/math] para ver que a reta [math]r[/math] está contida em [math]\alpha[/math] quando [math]A[/math] e [math]B[/math] pertencerem à [math]\alpha[/math].

Pelo Postulado 1, temos que os pontos [math]A[/math] e [math]B[/math] determinam uma única reta do espaço. Por outro lado, da Geometria Plana, temos que dois pontos distintos de um plano determinam uma única reta neste plano. Portando, como [math]A[/math] e [math]B[/math] pertencem a [math]\alpha[/math], a reta [math]r[/math] do espaço, determinada pelos pontos [math]A[/math] e [math]B[/math], está contida no plano [math]\alpha[/math].

Dados no espaço, uma reta [math]r[/math] e um ponto [math]A[/math] não pertencente a [math]r[/math], existe um único plano [math]\alpha[/math] que contém [math]r[/math] e [math]A[/math].[br][br]Mova a reta [math]r[/math] (utilizando os pontos [math]B[/math] e [math]C[/math]) e o ponto [math]A[/math] para ver que eles realmente determinam o plano [math]\alpha[/math].

Pelo Postulado 2, podemos tomar pontos distintos [math]B[/math] e [math]C[/math] pertencentes à reta [math]r[/math]. Além disso, pelo Postulado 3, os pontos [math]A[/math], [math]B[/math] e [math]C[/math] determinam um plano [math]\alpha[/math], pois são pontos não colineares. Note que o plano [math]\alpha[/math] contém o ponto [math]A[/math] por construção e contém a reta [math]r[/math] pelo Teorema 1, já que contém os pontos [math]B[/math] e [math]C[/math]. Suponha, por absurdo, que existe um plano distinto de [math]\alpha[/math] que passe por [math]r[/math] e [math]A[/math]. Então, os pontos [math]A[/math], [math]B[/math] e [math]C[/math] pertencem a este outro plano. Mas, isso é uma contradição, pois pelo Postulado 3, [math]\alpha[/math] é o único plano que passa pelos pontos [math]A[/math], [math]B[/math] e [math]C[/math] não colineares.

Dado um plano [math]\alpha[/math], o espaço fica dividido em dois semiespaços de tal forma que dois pontos [math]A[/math] e [math]B[/math] estão em um mesmo semiespaço se, e somente se, o segmento [math]AB[/math] não corta o plano [math]\alpha[/math].[br][br]Mova os pontos [math]A[/math] e [math]B[/math] para ver que o segmento [math]AB[/math] realmente corta o plano [math]\alpha[/math] se [math]A[/math] e [math]B[/math] estiverem em semiespaços opostos em relação à [math]\alpha[/math].

Obs.: O Postulado 5 garante a tridimensionalidade do espaço porque mostra que este tem exatamente uma dimensão a mais que o plano, já que isso é necessário para um plano dividi-lo em dois semiespaços, da mesma maneira que ocorre para um ponto dividir uma reta em duas semirretas e uma reta dividir um plano em dois semiplanos.

Se dois planos distintos, [math]\alpha[/math] e [math]\beta[/math] do espaço, possuírem um ponto em comum, então eles possuem mais um ponto em comum e portanto, possuem uma reta em comum.[br][br]Mova os pontos e veja que realmente conseguimos encontrar um ponto diferente de [math]A[/math] na intersecção entre [math]\alpha[/math] e [math]\beta[/math].

Seja [math]A[/math] um ponto em comum entre os planos [math]\alpha[/math] e [math]\beta[/math]. Pelo Postulado 5, o plano [math]\alpha[/math] divide o espaço em dois semiespaços. Sejam ainda, o ponto [math]B[/math] distinto de [math]A[/math], pertencente a [math]\beta[/math], e a reta [math]r[/math] definida pelos pontos [math]A[/math] e [math]B[/math]. Note que a reta [math]r[/math] está contida em [math]\beta[/math]. Por fim, seja o ponto [math]C[/math], pertencente a [math]\beta[/math], mas não a [math]r[/math]. [br][list][*]Se [math]C[/math] estiver no mesmo semiespaço de [math]B[/math] em relação a [math]\alpha[/math], então podemos tomar um ponto [math]D[/math] sobre a reta [math]r[/math] de maneira que [math]A[/math] fique entre [math]B[/math] e [math]D[/math]. Note que, o ponto [math]D[/math] está contido no plano [math]\beta[/math], pois foi tomado sobre a reta [math]r[/math]. Além disso, novamente pelo Postulado 5, o ponto [math]D[/math] está necessariamente no semiespaço oposto de [math]B[/math] em relação ao plano [math]\alpha[/math], pois o ponto [math]A[/math] pertence ao segmento [math]BD[/math] e ao plano [math]\alpha[/math]. Com isso, temos que o segmento [math]CD[/math] corta o plano [math]\alpha[/math], pois [math]C[/math] e [math]D[/math] estão em semiespaços opostos em relação a [math]\alpha[/math]. Ainda mais, corta em um ponto [math]E[/math] diferente de [math]A[/math], já que [math]C[/math] não pertence a [math]r[/math].[br][/*][*]Se [math]C[/math] estiver no semiespaço oposto de [math]B[/math] em relação a [math]\alpha[/math], então o segmento [math]BC[/math] corta o plano [math]\alpha[/math] em um ponto [math]F[/math] diferente de [math]A[/math], já que [math]C[/math] não pertence à reta [math]r[/math].[/*][/list]Portanto, se dois planos distintos possuem um ponto em comum, então eles possuem pelo menos mais um ponto em comum.

1- Definir, provar e fazer a construção no GeoGebra das posições relativas entre:[br][list][*]duas retas no espaço;[/*][*]reta e plano no espaço;[/*][*]dois planos no espaço.[/*][/list][br]2- Definir, provar e fazer a construção no GeoGebra dos seguintes casos de determinação de um plano:[br][list][*]duas retas concorrentes;[/*][*]duas retas paralelas.[/*][/list]

CARVALHO, P. C. P. Introdução à geometria espacial. SBM: Rio de Janeiro, 2005 (Coleção do Professor de[br]Matemática).