TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS EN EL ESPACIO
¿Has tenido la experiencia de escuchar conceptos como trasladar, cambio de lugar, girar? ¿O tal vez has mirado tu reflejo en un espejo? Pues bien, este tipo de movimientos tienen su estudio dentro del área de geometría, y corresponden a las “Transformaciones Isométricas”.
Table of Contents
- PREVIO
- Conocimientos Previos I
- Conocimientos Previos II
- Conocimientos previos III
- TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS
- Definición Transformaciones Isométricas
- TRASLACIÓN
- Definición Traslación
- ROTACIÓN
- Definición Rotación
- REFLEXIÓN (SIMETRÍA)
- Definición Reflexión (Simetría) Axial
- Definición Reflexión (Simetría) Central o Puntual
- CONSTRUCCIONES
- Construyamos un movimiento de Traslación
- Construyamos un movimiento de Rotación (Vértice)
- Construyamos un movimiento de Reflexión Axial
- PREGUNTAS DE DESAFÍO
- Desafío del pescadito
- Desafío del espejo
- BIBLIOGRAFÍA
- Origen de información y videos
Conocimientos Previos I
[justify]Para poder empezar a utilizar este libro, hay ciertos contenidos que debes tener en consideración.[br]A continuación te propondré unos desafíos, en los que tienes que poner a prueba tus conocimientos y habilidades.[/justify]
Actividad 1
[b]Observa el siguiente mapa de coordenadas, y a continuación responde (con respuesta completa):[/b]
[b]1. ¿En qué cuadrante se encuentra el cuadrado?[/b]
[b]2. ¿En qué cuadrante se encuentra el triángulo?[/b]
[b]3. ¿En qué posición se encuentra el círculo?[/b]
Cambia de posición una figura
Para poder mover una figura, has click en ella, mantenla presionada y muevela a la posición que quieras (o que te indiquen).[br]A esa acción que estás realizando, se le llama [b]"arrastrar"[/b].
Arrastre dirigido
[b]4. ¿En qué posición está inicialmente la estrella?[/b]
Ahora, has click en la estrella y sigue los siguientes pasos:[br][list=1][*][b]Avanza 7 espacios hacia la izquierda.[/b][br][/*][*][b]Gira en el plano 90° [/b][/*][*][b]Avanza 5 espacios.[/b][/*][/list]
[b]¿En qué cuadrante quedó ahora la estrella?[/b]
[b]¿Qué figura se encuentra en ese cuadrante?[/b]
Arrastra a tu elección
[b]5. ¿En qué posición está inicialmente el pentágono?[br][/b]
[b]¿En qué posición dejaste el pentágono al final del recorrido?[/b]
[justify][b]¿Qué movimientos realizaste para que él pentágono llegase a la posición final que le diste?[/b][/justify]
Definición Transformaciones Isométricas
[justify]La palabra Isométrica, proviene de [b]“Isometría” [/b]y es de origen griego, donde [b]Iso[/b], es un prefijo que significa igual, y [b]Metría[/b], que significa medir. En conclusión, se denomina [b]“transformación isométrica” [/b]de una figura, a la modificación que puede aplicarse a una figura, de manera tal [b]que ésta no se altere en su forma ni su tamaño. [/b][/justify][size=100][justify][br]A continuación, se muestra ejemplos de los 3 tipos de transformaciones isométricas. Éstas son: [b]Traslación[/b], [b]Rotación [/b]y [b]Reflexión (o Simetría).[/b] [br][br][br]Puedes interactuar con estas figuras, arrastrando la barra de color correspondiente a la figura para observar los movimientos indicados.[br][br][b]Nota:[/b] A partir de este momento, aquella barra de denominará [b]Deslizador[/b].[br][br]También puedes mover las flechas o la recta haciendo click en uno de los puntos, y sin soltarlo mueve en la dirección que quieras. [br]Si haces click en la recta (no en sus puntos), la recta se moverá de otra forma.[br][br][b][br]Nota: [/b]También puedes aumentar, disminuir y mover la aplicación manteniendo presionada la tecla [b]"Shift"[/b] (la que está sobre la tecla "Ctrl", en la esquina inferior izquierda), y:[br][br][b]Mantener click: [/b]Si quieres mover la aplicación[br][br][b]Mover la rueda del mouse:[/b] Si quieres aumentar/disminuir el tamaño de la aplicación.[/justify][/size]
[br]Puedes interactuar con estas figuras, arrastrando la barra de color correspondiente a la figura para observar los movimientos indicados.[br][br][b]Nota:[/b] A partir de este momento, aquella barra de denominará [b]Deslizador[/b].[br][br]También puedes mover las flechas o la recta haciendo click en uno de los puntos, y sin soltarlo mueve en la dirección que quieras. [br]Si haces click en la recta (no en sus puntos), la recta se moverá de otra forma.[br][br][b][br]Nota: [/b]También puedes aumentar, disminuir y mover la aplicación manteniendo presionada la tecla [b]"Shift"[/b] (la que está sobre la tecla "Ctrl", en la esquina inferior izquierda), y:[br][br][b]Mantener click: [/b]Si quieres mover la aplicación[br][br][b]Mover la rueda del mouse:[/b] Si quieres aumentar/disminuir el tamaño de la aplicación.[br][br][br]
De las figuras con las que interactuaste anteriormente:
[justify][br]1. ¿Puedes identificar la figura que se traslada?[br][br][/justify]
2. ¿Puedes identificar la figura que rota?[br][br]
3. ¿Cuál figura está siendo reflejada?[br][br]
Definición Traslación
Traslación
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[br][justify]En la siguiente aplicación podremos observar que los puntos vértices de la [b]figura original [/b]han quedado en la posición que determina lo que arrastras el deslizador [b](imagen de la figura)[/b].[br]También podrás darte cuenta que si mueves la flecha, la figura original se moverá de una forma completamente distinta.[/justify][br][br]
Traslación
[justify][br][b]Elementos de una Traslación[/b][br][br]Los elementos destacables de una traslación son 3, la dirección, el sentido y la magnitud.[/justify][justify][b]Sentido:[br][/b]Avanzar, Retroceder / Sobre, Debajo.[/justify][justify][b]Magnitud de desplazamiento: [br][/b]Es la distancia entre la posición inicial y final de cualquier punto de la figura trasladada. Generalmente se usa una medida estandarizada para determinarla.[/justify][justify][b]Dirección:[br][/b]Horizontal (hacia los lados), Vertical (hacia arriba o abajo) u Oblicuo (Diagonal).[/justify][br][justify]La dirección y la magnitud se pueden unir en un solo elemento llamado [b]Directriz [/b]o [b]Vector[/b][b].[/b][/justify]
Preguntas:
[br][b]Pregunta 1:[/b]
¿Qué ocurre cuando agrando la flecha en la aplicación?
[b]Pregunta 2:[/b]
¿Qué ocurre con la dirección si mantengo el tamaño anterior de la flecha, pero la coloco en forma diagonal?
[b]Pregunta 3:[/b]
¿Qué ocurre cuando disminuyo el tamaño de la flecha y la coloco en forma vertical?
[b]Pregunta 4:[/b]
¿Qué sería, entonces la flecha en la aplicación?
Definición Rotación
[justify]Esta transformación isométrica consiste en que todos los puntos de una figura se mueven respecto a un punto fijo llamado [b]centro de rotación (O),[/b] en un determinado ángulo, llamado [b]ángulo de rotación[/b]. [/justify][justify][br]El centro de rotación puede estar en el interior, en el contorno o en el exterior de la figura, como veremos a continuación.[br][/justify]
Rotación
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[justify][br]En la siguiente aplicación podremos observar los tres tipos de rotación mencionadas. [br][/justify]
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
[br][br]Preguntas:[br][br]
Pregunta 1
[b]¿En cuál de los ejemplos anteriores, la figura está rotando en torno a un punto interior?[/b]
Pregunta 2
[b]¿En cuál de los ejemplos anteriores, la figura está rotando en torno a un punto del su vértice?[br][br]¿En torno a cuál vértice es?[/b]
Pregutna 3
[justify]¿En cuál de los ejemplos anteriores la figura está rotando en torno a un punto externo?[br]¿Cuál es la letra del punto de rotación?[/justify][br][br]
Pregunta 4
[justify]¿En qué dirección queda el punto C' en la estrella, si la rotas en 90°, con respecto a su posición inicial?[/justify]
Pregunta 5
[justify]¿En sentido y posición queda el punto C' de la flecha, si la rotas en 180° con respecto a su posición inicial?[br][/justify]
Pregunta 6
[justify]¿En qué sentido y posición queda el punto H' de la figura del Ejemplo 3, si la rotas en 360° con respecto a su posición inicial?[/justify]
Definición Reflexión (Simetría) Axial
[justify]Una reflexión o simetría es una transformación isométrica en la que a cada punto de la [b]figura original [/b]se le [b]asocia[/b] otro punto [b](llamado imagen o reflejo)[/b], de modo que el punto y su imagen están a [b]igual distancia[/b] de una recta llamada [b]eje de simetría[/b].[/justify]
Reflexión (Simetría) Axial
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[justify][br]Entonces, según el video, debemos tener dos consideraciones importantes:[/justify][justify][b][br]Cada [/b][b]punto[/b] de la [b]figura original[/b], y [b]cada punto[/b] correspondiente [b]de [/b][b]su imagen[/b] reflejada, se encuentran a [b]igual [/b][b]distancia[/b] de una recta llamada [b]eje [/b][b]de simetría[/b].[br][br]La [b]figura[/b] que está a la [b]derecha[/b] del [b]eje de simetría[/b] debe ser exactamente igual a la [b]figura[/b] que está a la [b]izquierda.[/b][br][br][/justify][justify]En la siguiente aplicación podremos observar la reflexión mencionada. Puedes interactuar con la figura, arrastrando la figura y/o la recta azul al rededor del espacio.[br][/justify]
Reflexión (Simetría) Axial
Preguntas
1. En el ejemplo anterior ¿De qué color es la imagen de la figura?
[justify]2. ¿Qué pasa con las figuras, si mueves el eje de simetría o la figura original, ya sea izquierda, derecha, arriba o abajo?[/justify]
3. ¿Por qué crees que sucede eso?
Actividad: Mide el ángulo que se forma entre un vértice, su imagen y el eje de simetría
[br][size=100][justify]Para ello debes hacer click en el botón segmento [icon]/images/ggb/toolbar/mode_segment.png[/icon], el que se encuentra abriendo el desplegable del ícono recta [icon]/images/ggb/toolbar/mode_join.png[/icon] ubicado en la 3ra posición de la barra de herramientas, y trazar un segmento que junte algún vértice de la figura original con el vértice correspondiente de su imagen.[/justify][justify]Luego, debes hacer click en la opción construir ángulo [icon]/images/ggb/toolbar/mode_angle.png[/icon] ubicado en la 8va posición de la barra.[/justify][justify]Finalmente debes hacer un primer click en el eje de simetría y luego en el segmento que construiste.[/justify][justify][/justify][justify][b][br][br]Nota:[/b] Puedes repetir este procedimiento para los otros vértices de la figura.[/justify][/size][justify][/justify]
¿Cuánto mide el ángulo que construiste?[br]
Ahora mueve el eje de reflexión o la figura original
¿El ángulo que creaste aumenta, disminuye o mantiene su tamaño?
¿Por qué crees tú que sucede eso?
Construyamos un movimiento de Traslación
[justify][/justify][justify][size=100]Con esta actividad construiremos un objeto que se traslade alrededor del espacio. Para ello, debemos utilizar la aplicación abierta de geogebra que está más abajo, y realizar los siguientes pasos:[/size][br][br][b][br]1. Construir un deslizador:[/b][br][size=100]Para ello, debes hacer click en deslizador [icon]/images/ggb/toolbar/mode_textfieldaction.png[/icon] que está en la décima posición de la barra de herramientas.[br]Haz click en cualquier parte de la aplicación (evita hacerlo cerca de tu polígono y/o tu vector).[br]En el cuadro que aparecerá, deberás escribir los siguientes patrones:[br] Mín: 0[br] Máx: 3[br] Incremento: 0.1[br]Aparecerá un segmento con un punto dentro. Puedes mover ese punto de izquierda a derecha para comprobar si se desliza.[br][b][br][/b][b]Nota: [/b]El deslizador tendrá una letra como nombre, recuérdala. [br][b][br][/b][b]Si no aparece la letra, haz click derecho sobre el deslizador, y luego selecciona la opción "Etiqueta Visible".[/b][br][br][br][b][/b][/size][/justify][justify][size=100][b]2. Construir el polígono:[/b][br]Para ello debes hacer click en el botón "construir polígono" [icon]/images/ggb/toolbar/mode_polygon.png[/icon] ubicado en la 5ta. posición de la barra de herramientas.[br]Construye un polígono a tu imaginación.[br][b][br][/b][b]Nota: [/b]El polígono tendrá una letra como nombre, recuérdala.[br][br][b]Si no aparece la letra, haz click derecho sobre el polígono que construiste (no en los puntos), y luego selecciona la opción "Etiqueta Visible".[/b][/size][size=100][b][/b][br][br][b][br][/b][b]3. Construir un vector:[/b][br]En la tercera posición encontrarás el botón recta [icon]/images/ggb/toolbar/mode_join.png[/icon] presiónalo, pero en vez de hacer esa elección, debes escoger el botón de vector [icon]/images/ggb/toolbar/mode_vector.png[/icon] [br]Ahora construye un vector en cualquier parte dentro de la aplicación (evita hacerlo cerca de tu polígono), cuyo tamaño sea el que quieras.[br][br][b]Nota: [/b]El vector tendrá una letra como nombre, recuérdala.[br][br][b]Si no aparece la letra, haz click derecho sobre el vector que construíste (en la flecha, no sus puntos), y luego selecciona la opción "Etiqueta Visible".[/b][br][/size][/justify][size=100][br][justify][b]4. Construir la traslación:[/b][br][br]En la barra que dice "Entrada", ubicada debajo de la aplicación, debes escribir lo siguiente:[br][br]"Tras": Aparecerá como sugerencia "[b]Traslada ( < objeto >, < vector >)[/b]". Debes hacer click, y luego borrar todo lo escrito, dejando sólo los paréntesis.[br][br]Donde antes estaba la palabra "objeto", debes colocar el nombre de tu polígono y después colocar una coma [b]( [color=#ff0000], [/color])[/b].[br][br]Donde antes estaba la palabra "vector", debes colocar la letra que identifica a tu vector, un asterisco [b]( [color=#ff0000]*[/color] )[/b] y la letra que identifica a tu deslizador, de la siguiente forma: letra del vector[color=#ff0000]*[/color]letra del deslizador.[br][br]Cuando hayas hecho esto, presiona "enter". [/justify][/size]
Si aún tienes dudas sobre cómo construir la traslación, sigue el siguiente ejemplo
[br]Ya está lista tu traslación. Si seguiste bien cada paso, al mover el deslizador, tu polígono se moverá para la izquierda y la derecha.[br][br][b]5. Animar la traslación[/b][br][br]Esta parte es sólo un desafío. Puedes hacer que tu polígono se mueva sin necesidad que arrastres el deslizador. Para ello debes hacer click derecho en el deslizador, y seleccionar la opción de animación.
Desafío del pescadito
[justify]El objetivo de este desafío es, que con los conocimientos que adquiriste a lo largo del libro, puedas colocar el pescado de la Figura 1 en la posición que está el pescado de la Figura 2, usando sólo movimientos rotación y reflexión.[/justify]
Preguntas
[b]1. ¿Qué transformaciones isométricas están involucradas en este desafío?[/b]
[b]2. ¿Cuánto en cuántos grados tiene que rotar el pescado de la Figura 1 para encajar en la Figura 2?[/b]
Cambia de posición al pescado de la Figura 2, e intenta encajar nuevamente la Figura 1
[b]3. ¿Utilizaste nuevos movimientos para encajar las figuras? ¿Qué nuevos movimientos utilizaste?[/b]
Origen de información y videos
Derechos de Autor
[b]Todos los videos ocupados en este trabajo, son propiedad del Sr. Daniel Carreon[/b][br][br]Carreon, D. [Daniel Carreon]. (2016, Noviembre 21). TRASLACIÓN Super facil [Archivo de video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=QW602kH52Ec[br][br]Carreon, D. [Daniel Carreon]. (2016, Noviembre 21). ROTACIÓN Super facil [Archivo de video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=kXwJOefEjJs[br][br]Carreon, D. [Daniel Carreon]. (2016, Noviembre 22). SIMETRIA AXIAL Super facil [Archivo de video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=Z8FWFvfNcsY&t=110s[br][br]Carreon, D. [Daniel Carreon]. (2016, Noviembre 23). SIMETRIA CENTRAL Super facil [Archivo de video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=W1jYhe3z_Mc&t=125s[br]
Información extraída en:
[justify][b][u]Icarito[/u][br][br]Copesa S.A. (2013).[/b] Geometría, Matemáticas; Isometría. Recuperado en Enero 17, 2019, del sitio Web: http://www.icarito.cl/2009/12/102-8677-9-isometria.shtml/[/justify][justify][b][u][br]Portal educativo[/u][br][br]Portal Educativo (2012).[/b] Transformaciones Isométricas. Recuperado en Enero 15, 2019. del sitio Web: https://www.portaleducativo.net/quinto-basico/760/Transformaciones-isometricas[/justify]
Libro posible por:
[b][u]Geogebra[/u][/b][br][br]Hohenwarter, M. (2001). [i]Geogebra Online[/i], GeoGebra. Recuperada en Enero 15, 2019, del sitio Web: www.geogebra.org