Ahhoz,, hogy (majd) háromszögekről és azok egybevágóságáról essék szó, előbb ismerkedjünk meg néhány olyan művelettel, amelyek szükségesek az E-síkon értelmezhető egybevágóság fogalmához.[br][br]Emlékeztetőül: a gömbi geometriában a G-egyenesre (gömbi főkörre ) vonatkozó tükrözésen a G-pontoknak a G-egyenes[u] síkjára [/u]vonatkozó tükrözését értettük. Azt is láttuk - az E-sík gömb-, félgömb-, és körmodellje közötti kapcsolatot vizsgálva - , hogy az így értelmezett tengelyes tükrözésnek az E-körmodellen az E-egyenesre vonatkozó [url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5#material/veznxzzw]inverzió[/url] felel meg. [br]Tehát:[br][list][*][color=#38761d]Az Elliptikus síkon értelmezett tengelyes tükrözés az E-modellen az E-egyenesre -mint körívre vonatkozó inverzió azzal a kiegészítéssel, hogy ha egy pont inverze kívül esik a modell alapkörén, akkor ennek a polár-reciprocitással képzett belső pontja a tükrözés eredménye . [/color][url=https://www.geogebra.org/m/xa9gzw7e#material/knnr3gvy][color=#333333](Itt: 2. app.)[/color][/url][color=#333333][/color][/*][*][color=#38761d]Az Elliptikus síkon értelmezett centrális tükrözés az E-modellen két, egymásra merőleges E-egyenesre vonatkozó E-tengelyes tükrözés szorzata. [/color][color=#333333](Épp úgy, mint az euklideszi és a hiperbolikus geometriában.)[/color][color=#6aa84f][br][/color][/*][/list] Meg kell barátkoznunk azzal a "jelenséggel", hogy - mivel az elliptikus geometriában nem érvényes a rendezési axiómák "közte van" fogalma - a tükrözés eredménye nem mindig oda kerül, ahol a "tükrözés" szót használva várnánk.[br][list=1][*]Legyen adott a[b] c=(A,B)[/b] E-egyenes, és két [b]c[/b]-re nem illeszkedő [b]P [/b]és [b]Q[/b] pont. Mutassuk meg, hogy a [b]P [/b]és [b]Q[/b] pontokkal adott egyik szakasz biztosan nem metszi c-t! (A másik viszont igen). Vagyis egy E-egyenes nem választja el a rá nem illeszkedő pontokat. [br][br][/*][*]Legyen [b]P[/b] és [b]O[/b] az E-modell két pontja, [b]P'[/b] a [b]P[/b] pont [b]O[/b]-ra vonatkozó centrális tükörképe! Mutassuk meg, hogy a [b]P [/b]és [b]P'[/b] pontokkal adott egyik szakasz biztosan nem tartalmazza [b]O[/b]-t! [br]Rövid kísérletezés után észrevehetjük, hogy az[b] O[/b] centrumú centrális tükrözésnek vannak az [b]O[/b] ponttól különböző fix pontjai is. Ezek az [b]O[/b] pont polárisára illeszkednek. ([b][color=#0000ff]√ [/color][/b][size=85]Szerkesztés[/size]) [br] [/*][*]A kölcsönösen egyértelmű [i]pólus→poláris[/i] és [i]poláris→pólus[/i] hozzárendeléssel szinte "ölünkbe pottyan" az E-sík talán legspeciálisabb háromszöge, amelyben a csúcsok polárisai a háromszög szemközti oldalai. Ennek mindhárom oldala és mindhárom szöge derékszög. [br]A továbbiakban ezt nevezzük [i]kvadrát háromszögnek , [/i]mivel négy ilyen háromszöggel lefedhető az egész E-sík. Egy kvadrát háromszöget legkönnyebben egy - az E-modellen belül szabadon mozgatható [b]P[/b] pontjával - és [b]P[/b] polárisán mozgó - így félig kötött - [b]M[/b] pontjával adhatunk meg. Ezzel a két ponttal leírható (modellezhető) az E-sík összes mozgása. A kvadrát háromszög egy fontos tulajdonsága, hogy az oldalai nem metszik az E-modell alapkörét. [br][br][/*][*]Mivel a [b](PP') [/b]egyenes - mint minden [b]O[/b]-ra illeszkedő egyenes - merőleges az [b]O[/b] pont polárisára, másrészt a [b]P[/b][b]→P'[/b] transzformáció [b]P'[/b]-t [b]P[/b]-be viszi, kimondhatjuk, hogy [b] az elliptikus síkon értelmezett centrális tükrözés és a poláris egyenesére vonatkozó tengelyes tükrözés ugyanaz a geometriai transzformáció. [br][/b][color=#333333]Az is könnyen észrevehető, hogy a[b] (P,P')[/b] és az [b](O,T)[/b] pontpár [u]elválasztó pontnégyest alkot[/u], ahol [b]T [/b]az [b]O[/b] pólusának és az [b](OP)[/b] E-egyenesnek a metszéspontja. Mindez úgy is megfogalmazható, hogy az E-sík bármely [b](P,P') [/b]pontpárjához két olyan centrális tükrözés is tartozik, amely ezeket egymásba viszi át. (Itt [b]O[/b] és [b]T[/b] a két centrum.)[/color][/*][/list]

[list=1][*]Az elemi geometria szóhasználatát követve adtuk ezt címet az alábbi szövegnek, noha helyesebb lenne [i]tükörpontok[/i]nak nevezni a keresett pontokat. Azokat, amelyekre vonatkozó centrális tükrözés az E-sík [color=#ff0000][b]A[/b] [/color]és [color=#38761d][b]B[/b] [/color]pontját egymásba viszi át. Mivel az E egyenes zárt vonal, az [b](AB)[/b] egyenesen két ilyen pont is található, (Előző app. 4. lépés) Így indokolt a többesszám használata. [br][br]A felezőpontok megadására készített saját eljárás a színeivel különbözteti meg, hogy a két E-zakasz közül melyik a kisebbnek és melyik a nagyobbnak a felezőpontja. Ezen alapszik a szakaszok nagyságuk szerinti megkülönböztethetősége is. [br][br][/*][*]Mivel a két [b]AB[/b] szakasz hossza együtt 180°, ezért a felezőpontok távolsága 90°, így a két felezőpont és az [b](AB)[/b] egyenes pólusa kvadrát háromszöget alkot. [br][br][/*][*]Az E-modell eljárásai között nincs olyan, amellyel megmérhető [color=#ff0000][b]A[/b][/color] és[b] [/b][b][color=#38761d]B[/color][/b][color=#0000ff] [/color][color=#333333] pontokkal meghatározott két szakasz hossza. De nincs is rá szükség. Ugyanis a két E-egyenes szögének - fokokban mért mértéke- (amely nem nagyobb 90°-nál), alkalmas a szakaszok hosszának a mérésére is: annak a két egyenesnek a szögével mérhetjük meg, amelyek illeszkednek az [/color][b]AB[/b][color=#333333] egyenes [/color][b]P[/b][color=#333333] pólusára, [/color][color=#ff0000][b]A[/b][/color][b] [/b][color=#333333]és [/color][b][color=#38761d]B[/color][color=#333333] [/color][/b][color=#333333]bármelyikre, valamint [/color][color=#333333] az [/color][b]F_1[/b][color=#333333] ill, és[/color][b] F_2[/b][color=#333333] tükörpontok egyikére. Az így kapott szög kétszerese a kiválasztott szakasz hossza.[br][br][/color][/*][*][color=#333333]Felvettünk egy további [/color][b][color=#0000ff]C [/color][/b][color=#333333]és egy [/color][color=#85200c][b]O[/b][/color][color=#333333] pontot. Egyelőre jelentse [i]ABCΔ [/i] az [b]A, B[/b] és [b]C[/b] pontokból és a rájuk illeszkedő E-egyenesekből álló geometria alakzatot. (A háromszög[/color][u][i]lap[/i][/u][color=#333333] fogalmának az egyértelmű kialakítását halasszuk későbbre.) Az A, B, C pontokat alávetve az [b][color=#980000]O[/color][/b] centrumú centrális nyújtásnak az ugyancsak három pontból és három egyenesből álló [i]A'B'C'Δ[/i] háromszöghöz jutunk.[br][br]Most azt vizsgáljuk, Van-e olyan [/color][i]ABCΔ ,[/i][color=#333333][i] [/i] és ehhez egy olyan [/color][b][color=#980000]O[/color][/b][color=#333333] pont, amelyre teljesül, hogy az [/color][i]ABCΔ [/i][color=#333333]és az[/color][i] [/i][i]A'B'C'Δ [/i][color=#333333] egybeessen. Némi kísérletezés után megsejthetjük, hogy ez előfordulhat. Az [/color][color=#980000][i]ABCΔ≡A'B'C'Δ?[/i][/color][color=#333333] feliratú szövegre kattintva erről meg is győződhetünk. Az nem meglepő, hogy az egyenlő szárú háromszög tengelyesen szimmetrikus alakzat, de az talán igen, hogy [/color][b][color=#980000]az elliptikus geometriában vannak centrálisan szimmetrikus háromszögek[/color][/b][color=#333333]: azok, amelyeknek van legalább két derékszögük. Ezek szimmetriacentruma az alap felezőpontja. (A kvadrát háromszögnek hat szimmetria centruma van.)[br][br]Aki kíváncsi arra, hogy hogyan lehet beállítani ezt a speciális esetet, [url=https://www.geogebra.org/material/edit/id/mpfhgw4g]itt (3.app.)[/url] talál némi magyarázatot.[/color][/*][/list]