[b]Wurzelzahlen[/b] sind der Mathematik bereits seit mehreren Tausend Jahren bekannt. Sie treten unter anderem bei der [b]Berechnung von Flächeninhalten und Volumina[/b] auf. Daher war es schon immer wichtig ihre Werte möglichst genau zu bestimmen. Materialaufwand und Kosten eines Bauwerkes mussten schließlich schon zu Zeiten der Babylonier berechnet werden. Doch wie genau hat man damals Wurzeln berechnet ohne Taschenrechner? Und wie macht der Taschenrechner das überhaupt? Diese Fragen sollen in diesem Blatt geklärt werden.

Wenn der Flächeninhalt eines Quadrates A beträgt, dann hat das Quadrat die Seitenlänge [math]\sqrt{A}[/math]. Ohne die genaue Seitenlänge zu kennen, kann man ein solches Quadrat allerdings nicht zeichnen. Es ist jedoch sehr einfach ein Rechteck mit der Fläche A zu konstruieren. Dieses soll dann anschließend an ein Quadrat angenähert werden.[br][br][u]Beispiel:[/u][br][color=rgb(51, 51, 51)][size=100]Gesucht ist der Wert für [math]\sqrt{10}[/math]. Man beginnt mit einem Rechteck mit [b]Flächeninhalt 10[/b] und zwei Seiten a und b. Dazu legt man eine der beiden Seiten auf einen willkürlichen Wert fest, z.B. [b]a = 5[/b]. Da die [b]Fläche A[/b] festgelegt ist, muss [math]a\cdot b=A=10[/math] bzw. [math]b=\frac{A}{a}=\frac{10}{5}=2[/math] sein.[br]Dieses Rechteck ist offensichtlich kein Quadrat, da a und b nicht identisch sind. Im nächsten Schritt ändert man das Rechteck, indem man für a einen neuen Wert wähl[/size][/color]t. Diesmal jedoch nicht willkürlich, sondern nach einem festen Muster. Gewählt wird das arithmetische Mittel (= Mittelwert) von a und b.[br][br][size=150][size=100][size=200][math]a_{neu}=\frac{1}{2}\left(a_{_{alt}}+b_{alt}\right)=\frac{1}{2}\left(a_{alt}+\frac{A}{a_{alt}}\right)=\frac{1}{2}\left(5+\frac{10}{5}\right)=3,5[/math][/size][/size][/size][br][br]Das resultierende neue Rechteck hat sich von der Form her einem Quadrat angenähert. Es ist jedoch [b]kein perfektes Quadrat[/b]. Um dem Ziel eines Quadrates näher zu kommen, kann der Wert für a über die oben beschriebene Formel erneut angepasst werden. Ein solcher wiederholbarer Schritt wird [b]Iterationsschritt [/b]oder auch[b] Rekursionsschritt[/b] genannt. Um mit der durchgeführten Anzahl der Schritte nicht durcheinander zu kommen, gibt man jedem Schritt und damit jeder Näherung für den Wurzelwert eine Nummer n. Daraus ergibt sich dann die [b]Iterationsformel[/b].

[code][/code][math]a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{A}{a_n}\right)[/math][br][br]Diese Iterationsformel (= Wiederholungsformel) errechnet einen Näherungswert für [math]\sqrt{A}[/math]. a[sub]n[/sub] ist dabei der Näherungswert, den man beim letzten Durchführen der Formel erhalten hat. Der neue Näherungswert ist a[sub]n+1[/sub].[br]Da man beim allerersten Schritt noch keinen Wert von davor hatte, muss ein Startwert a[sub]0[/sub] gewählt werden. Dieser Startwert muss größer als 0 sein und ist beliebig wählbar. Sollte aber im besten Fall schon möglichst nah an der gesuchten [math]\sqrt{A}[/math] sein.[br][br][b]Beispiel:[/b][br]Gesucht ist ein Wert für [math]\sqrt{10}[/math]. Dieser soll auf die ersten drei Nachkommastellen genau sein. Da [math]\sqrt{9}=3[/math] schon relativ nah dran ist, wird als Startwert a[sub]0[/sub] = 3 festgelegt.[br]Mit der Iterationsformel ergibt sich:[br][math]a_1=\frac{1}{2}\left(a_0+\frac{A}{a_0}\right)=\frac{1}{2}\left(3+\frac{10}{3}\right)=\frac{19}{6}\approx3.167[/math][br]Der nächste Wert a[sub]2[/sub] ergibt sich nun aus dem Wert von a[sub]1[/sub].[br][math]a_2=\frac{1}{2}\left(a_1+\frac{A}{a_1}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{19}{6}+\frac{10}{\frac{19}{6}}\right)=\frac{721}{228}\approx3.162[/math][br]Wie man sieht hat sich die dritte Nachkommastelle noch verändert.[br]Erst beim dritten ausführen ändert sich die dritte Nachkommastelle nicht mehr.[br][math]a_3=\frac{1}{2}\left(a_2+\frac{A}{a_2}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{721}{228}+\frac{10}{\frac{721}{228}}\right)=\frac{1039681}{328776}\approx3.162[/math][br]Jede weitere Ausführung der Iterationsformel würde das Ergebnis näher und näher an den Wert von [math]\sqrt{10}[/math] bringen. Die dritte Nachkommastelle steht allerdings schon fest, was in diesem Beispiel genügt.[br][br]Wenn man das Ergebnis von a[sub]3[/sub] mit dem Ergebnis der meisten Taschenrechner vergleicht, stellt man sogar fest, dass es mit allen angezeigten Stellen übereinstimmt.

[u][b]Aufgabe 1:[/b][/u][br][br]Nutze die unten stehende [b]Visualisierung[/b], um Näherungswerte für verschiedene Wurzeln (z.B. [math]\sqrt{2},\sqrt{4}[/math] oder [math]\sqrt{10}[/math]) heraus zu finden. Wähle dabei selbstständig [b]verschiedene Startwerte.[/b][list][*][b]Vergleiche[/b] deine Näherungswerte mit den Werten, die dein Taschenrechner dir für die Wurzel ausgibt und [b]diskutiere[/b] [b]mit deinem Nachbar[/b] wie die Genauigkeit des Verfahrens vom gewählten [b]Startwert und der Schrittzahl[/b] abhängt.[br][/*][*][b]Beschreibe[/b] die Besonderheiten, wenn man einen Näherungswert für [math]\sqrt{4}[/math] sucht und den Startwert 2 wählt.[br][/*][/list]

[u][b]Aufgabe 2:[/b][/u][br][br]Führe nun das Verfahren selbst mithilfe deines Taschenrechners durch, um einen Näherungswert für [math]\sqrt{15}[/math] zu bestimmen. [br][list][*]Wähle dazu selbst einen [b]geeigneten Startwert [math]a_0[/math][/b] und führe das Verfahren so oft aus, bis du die [b]Genauigkeit [/b]für[b] angemessen[/b] hältst. Notiere dein [b]Zwischenergebnis[/b] nach jedem Schritt.[/*][*][b]Prüfe[/b] dein Ergebnis, indem du es quadrierst. [b]Diskutiere mit deinem Nachbar[/b], ob du den exakten Wert von [math]\sqrt{15}[/math] gefunden hast.[br][/*][/list]

Das babylonische Wurzelziehen ist ein [b]numerisches[/b] Verfahren. Die meisten numerischen Verfahren basieren auf den folgenden Schritten:[br][list=1][*]Beginne mit einem Startwert, der optimalerweise nah an der gesuchten Lösung liegt.[/*][*]Führe nach einem festen Muster einen Rechenschritt durch, der den Startwert näher an die Lösung bringt.[/*][*]Wiederhole Schritt 2 so oft wie nötig, um eine gewünschte Genauigkeit zu erreichen.[/*][/list]Dabei ist es unbedingt notwendig, dass die Lösung selbst einen [b]Fixpunkt[/b] des Verfahrens darstellt. Das bedeutet:[br]Wird das Verfahren auf den Lösungswert angewandt, gibt das Verfahren [b]den gleichen Wert[/b] zurück. Mathematisch ausgedrückt heißt das in unserem Fall:[br][br][math]a_n=a_{n+1}[/math][br]

[u][b]Aufgabe 3:[/b][/u][br][br][b]Berechne die Fixpunkte[/b] des babylonischen Wurzelziehungsverfahrens, indem du folgende Gleichung nach [math]a_n[/math] auflöst:[br][br][math]a_n=a_{n+1}[/math][br][br]Nutze dafür die bereits erwähnte Iterationsformel:[br][br][math]a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{A}{a_n}\right)[/math][br][br]

[u][b]Zusatzaufgabe 1:[/b][/u][br][br]Nachdem Schüler Elbert A. verstanden hat, dass die gesuchte Lösung eines numerischen Verfahrens ein Fixpunkt sein muss, möchte er sein eigenes Verfahren entwickeln. Nach einigen Minuten ist sein Verfahren fertig, das auf folgender Formel basiert und [math]\sqrt{A}[/math] näherungsweise berechnen soll:[br][br][math]a_{n+1}=a_n^2+a_n-A[/math][br][br]Er behauptet, dass sein Verfahren bei [math]\sqrt{A}[/math] einen Fixpunkt besitzt. [b]Überprüfe[/b] diese Aussage.[br][br][b]Berechne[/b] nun mit diesem Verfahren eine Wurzel (z.B. [math]\sqrt{15}[/math]). Wähle selbst einen geeigneten Startwert.[br][br]Scheinbar funktioniert das Verfahren trotz Fixpunkt nicht. [b]Begründe[/b] woran das liegen könnte und [b]formuliere[/b] eine zusätzliche Bedingung an numerische Verfahren neben Fixpunkten [i](*Versuche diese Bedingung mathematisch mithilfe von (Un)Gleichungen auszudrücken)[/i].[br][br][br][u][b]Zusatzaufgabe 2:[/b][/u][br][br][b]Zeige mathematisch[/b], dass man beim babylonischen Wurzelziehen nie einen exakten Wert für die gesuchte [math]\sqrt{A}[/math] erhält, solange der Startwert nicht direkt die Lösung ist.[br][list][*] Beginne mit dem Fall, dass A keine Quadratzahl ist.[/*][*] Versuche dann den allgemeinen Fall zu lösen (A beliebig)[/*][/list][i]Tipp für den Sonderfall: falls A keine Quadratzahl ist, gilt [/i][math]\sqrt{A}\notin\mathbb{Q}[/math]