Wie kann man zwei Punkte [color=#00ff00][b]A[/b][/color] und [color=#00ff00][b]B[/b][/color] auf der Kugel durch eine [color=#1e84cc][i][b]Kurve[/b][/i][/color] verbinden?[br]Die einfachsten Kurven auf der Kugel sind die [color=#1e84cc][i][b]Kreise[/b][/i][/color]. [br]Sie entstehen als Schnitte der Kugel mit Ebenen.[br]Durch zwei Kugel-Punkte geht ein ganzes Büschel von Kreisen; wohlgemerkt: über die Schnitt-Ebenen ist nichts weiter vorausgesetzt - die beiden Kugel-Punkte, und damit die ganze Raum-Gerade durch die beiden Punkte müssen auf der [color=#0000ff][i][b]Ebene[/b][/i][/color] liegen. Jede Ebene durch die Raumgerade ist (zunächst) zugelassen.[br][br]Ein [color=#1e84cc][i][b]Kreis[/b][/i][/color] durch zwei [color=#00ff00][i][b]Punkte[/b][/i][/color] legt [i][b]zwei[/b][/i] Strecken zwischen den Punkten fest. Bestimmt ist eine dieser Strecken durch einen weiteren [color=#00ff00][i][b]Punkt[/b][/i][/color] dazwischen. Generell ist ein [color=#1e84cc][i][b]Kreis[/b][/i][/color] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle3.png[/icon] auf der Kugel durch [i][b]drei [/b][color=#00ff00][b]Punkte[/b][/color][/i] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_planethreepoint.png[/icon]bestimmt.[br][br]Wir wollen ausloten, was man über [color=#ff0000][i][b]Dreiecke[/b][/i][/color] auf der Kugel aussagen kann. [br]Dies wird allerdings [size=150][color=#444444][b]keine Kugel-Dreiecks-Lehre[/b][/color][/size] werden, denn[br][br][list][*][b][color=#ff0000][size=150]Achtung und Vorsicht: [/size][/color] [/b] In diesem [b]ge[/b][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][b]gebra.book[/b] wird keine der Aussagen über Dreiecke bewiesen oder begründet werden. Die Aussagen könnten also auch falsch sein![/*][/list][br]Benutzt werden für fast alle [b]3D[/b]-Konstruktionen die Eigenschaften der [b]Polarität[/b] für eine [i][b]Quadrik vom Typ der Kugel[/b][/i]. Man könnte die Bilder auch für ein [color=#980000][i][b]Ellipsoid[/b][/i][/color] herstellen: die Schnitte der Quadrik mit Ebenen sind dann die "[color=#0000ff][i][b]Kreise[/b][/i][/color]". Verwendet man nämlich in dem zugrundeliegenden Vektorraum eine geeignete Basis in Richtung der Hauptachsen, so kann man die Quadrik vom Typ der Kugel durch die Gleichung [math]x^2+y^2+z^2-1=0[/math] beschreiben und alles verhält sich so wie in der obigen [b]3D[/b]-Ansicht![br][br][color=#980000][size=50][right]Diese Seite ist eine Aktivität des [b]geogebra-books[/b] [url=https://www.geogebra.org/m/efbe93k6]kugel-dreiecke[/url] (August 2018)[/right][/size][/color]

[color=#980000][b][size=100][size=150]Stereographische Projektion[/size][/size][/b][/color][br][br]Mit Hilfe der [i][b]stereographischen Projektion[/b][/i] werden wir viele Aussagen über [color=#ff0000][i][b]Kugel-Dreiecke[/b][/i][/color] auch [i][b]eben[/b][/i] als Kreis-Dreiecke darstellen können, siehe das Applet unten![br]Das wichtigste Hilfsmittel [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_tool.png[/icon] für ebene Kreis-Konstruktionen ist die [i][b]Spiegelung am Kreis [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_mirroratcircle.png[/icon][/b][/i], oft auch [i][b]Inversion am Kreis[/b][/i] genannt.

[size=85]Leider bietet [b]ge[/b][/size][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][size=85][b]gebra[/b] für räumliche Konstruktionen mit Quadriken wenige [icon]/images/ggb/toolbar/mode_tool.png[/icon] Werkzeuge an: [br][/size][list][*][size=85][i][b]Polarität [/b][/i]Punkt - Ebene bezüglich einer [i][b]Quadrik[/b][/i], [/size][/*][*][size=85]oder Polarität [i][b]Gerade - Polargerade[/b][/i], [/size][/*][*][size=85]oder [i][b]Spiegelung[/b][/i] an einer Schnitt-Ebene[/size][/*][*][size=85]oder [i][b]Tangentialebene[/b][/i][/size][/*][/list][size=85]sind mehr oder weniger mühsam selber zu konstruieren.[/size] [size=85]Unsere Erfahrungen mit "[color=#ff0000][i][b]Mach's doch selber![/b][/i][/color]" und dem daraus sich ergebenden erheblichen Zeitaufwand (siehe [color=#980000][b][url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh]Kegelschnitt-Werkzeuge[/url][/b][/color]) hindert uns, solches noch einmal selber zu versuchen![/size]

Die [color=#980000][b]hyperbolische Ebene[/b][/color] kann man auf mehrere Arten darstellen. [br]Oben liegt das [b]POINCARÉ[/b]sche Kreisscheibenmodell zugrunde:[br][br][list][*][color=#00ff00][i][b]PUNKTE[/b][/i][/color] sind die im Inneren des Kreises [b]K[sub]0[/sub][/b] liegende Punkte.[/*][*][color=#0000ff][i][b]GERADEN[/b][/i][/color] sind die im Inneren verlaufenden Segmente von Kreisen, die auf dem absoluten Kreis [b]K[sub]0[/sub][/b] senkrecht stehen.[/*][*]Zu zwei [color=#00ff00][i][b]PUNKTEN[/b][/i][/color] existiert genau eine [color=#0000ff][i][b]VERBINDUNGSGERADE[/b][/i][/color][/*][*]Zu einer [i][b][color=#0000ff]GERADEN[/color][/b][/i] und einem nicht auf dieser liegenden PUNKT kann es mehrere nicht-schneidende [color=#0000ff][i][b]GERADEN[/b][/i][/color] geben.[/*][/list][br]Die [color=#ff0000][i][b]HÖHEN[/b][/i][/color] in einem hyperbolischen Dreieck schneiden sich in einem [i][b][color=#ff0000]PUNKT[/color][/b][/i].[br]Dies würde auch zutreffen, wenn einer oder mehrere der [i][color=#00ff00][b]PUNKTE[/b][/color][/i] auf [b]K[sub]0[/sub][/b] lägen, also gar keine [color=#00ff00][i][b]PUNKTE[/b][/i][/color] mehr wären![br][br][right][color=#980000][size=50]Diese Seite ist eine Aktivität des [b]geogebra-books[/b] [url=https://www.geogebra.org/m/efbe93k6]kugel-dreiecke[/url] (August 2018)[/size][/color][/right]

Die [color=#980000][b]elliptischen Ebene[/b][/color] kann man [b]3D[/b] mit Hilfe einer Kugel darstellen. Man wähle einen Punkt im Inneren als "[color=#ffff00][i][b]Mitte[/b][/i][/color]". Im Applet kann man die elliptische Geometrie auf zwei Arten betrachten:[br][br][list][*]Auf der Kugel stellen die bezüglich der "[color=#ffff00][i][b]Mitte[/b][/i][/color]" diametralen [color=#00ff00][i][b]Punktepaare[/b][/i][/color] die [color=#00ff00][b]PUNKTE[/b][/color] dar. [color=#0000ff][b]GERADEN[/b][/color] sind die Kreise, deren Ebenen durch die "[color=#ffff00][i][b]Mitte[/b][/i][/color]" gehen. Zwei solche Kreise schneiden sich in diametralen Punkten, also schneiden sich 2 [color=#0000ff][b]GERADEN[/b][/color] stets in einem [color=#00ff00][b]PUNKT[/b][/color]. Durch 2 [color=#00ff00][b]PUNKTE[/b][/color] geht genau eine [color=#0000ff][b]GERADE[/b][/color]. Parallelen gibt es nicht! Zwei [color=#00ff00][b]PUNKTE[/b][/color] besitzen 2 [color=#ff00ff][b]MITTEN[/b][/color]![/*][br][*]Von der "[color=#ffff00][i][b]Mitte[/b][/i][/color]" aus werden die [color=#00ff00][b]PUNKTE[/b][/color] und [color=#0000ff][b]GERADEN[/b][/color] auf die bezüglich der Kugel polare [color=#f1c232][b]Ebene E[/b][/color] projiziert. [br]Dort sind die Punkte tatsächlich die [color=#00ff00][b]PUNKTE[/b][/color], und die Geraden tatsächlich die [color=#0000ff][b]GERADEN[/b][/color] der [color=#980000][b]elliptischen Ebene[/b][/color], die [b]3D[/b] projektiv ergänzt gesehen werden muss. [br][br][/*][/list]Je näher die "[i][color=#ffff00][b]Mitte[/b][/color][/i]" zur Kugeloberfläche liegt ([math]\tau\rightarrow1[/math]), umso näher liegt die [color=#f1c232][b]Ebene E[/b][/color]. Ist andererseits die "[color=#ffff00][i][b]Mitte[/b][/i][/color]" die [b]3D[/b]-Kugelmitte ([math]\tau=0[/math]), so ist die [color=#f1c232][b]Ebene E[/b][/color] unendlich fern![br][br][i][b][color=#980000][size=100][size=150]Aussagen über elliptische Dreiecke:[/size][/size][/color][/b][/i][br][br][list][*]Die [color=#6aa84f][i][b]HÖHEN[/b][/i][/color] schneiden sich in einem [color=#6aa84f][b]PUNKT H[/b][/color][/*][*]Die [color=#00ffff][i][b]SEITENMITTEN[/b][/i][/color] schneiden sich in einem [color=#00ffff][b]PUNKT S[/b][/color][/*][*]Die [color=#ff0000][i][b]MITTELSENKRECHTEN[/b][/i][/color] schneiden sich in [color=#ff0000][color=#000000]einem[/color] [b]PUNKT M[/b][/color][/*][*]Die [color=#999999][i][b]WINKELHALBIERENDEN[/b][/i][/color] schneiden sich in einem [color=#b6b6b6][b]PUNKT W[/b][/color][/*][/list][br]Die Punkte [color=#6aa84f][b]H[/b][/color], [color=#00ffff][b]S[/b][/color], [color=#ff0000][b]M[/b][/color] liegen [i][b]n i c h t[/b][/i] auf einer [color=#0000ff][b]GERADEN[/b][/color] (in der Regel)! [br]Die [b]EULER[/b]-Gerade gibt es elliptisch nicht![br][color=#980000][size=50][right]Diese Seite ist eine Aktivität des [b]geogebra-books[/b] [url=https://www.geogebra.org/m/efbe93k6]kugel-dreiecke[/url] (August 2018)[/right][/size][/color][br]Im Applet unten ist die "[color=#ffff00][i][b]Mitte[/b][/i][/color]" die [b]3D[/b]-Kugelmitte. Die polare Ebene ist unendlich fern, also nicht zu sehen.[br]Dafür sind die Konstruktionen einfacher. Im Prinzip gibt es zu jeder Dreiecks-Ecke 2 SEITENHALBIERENDE, wir haben uns mit je einer begnügt!

Der [b]Höhensatz[/b] in stereographischer Projektion[br][br][color=#0000ff][b]GERADEN[/b][/color] sind Kreise durch [math]\infty[/math]. Das ist hier der "[color=#ffff00][b]Nordpol[/b][/color]".[br][br][br][right][color=#980000][size=50]Diese Seite ist eine Aktivität des [b]geogebra-books[/b] [url=https://www.geogebra.org/m/efbe93k6]kugel-dreiecke[/url] (August 2018)[/size][/color][/right]