[br]Niech [center][math]f(x,y)=y^2+1[/math] dla [math](x,y)\in\mathbb{R}^2[/math].[/center]Jeśli [math]t[/math] jest ustaloną liczbą rzeczywistą, to[br][center][math]f(x,y)=y^2+1\ge0+1=f\left(t,0\right)[/math] dla [math](x,y)\in\mathbb{R}^2[/math],[/center]co oznacza, że funkcja [math]f[/math] osiąga minimum lokalne o wartości [math]1[/math] w każdym punkcie postaci [math](t,0).[/math] Są to [b]minima lokalne niewłaściwe[/b], gdyż w każdym sąsiedztwie punktu [math]P_t=(t,0)[/math] znajdziemy punkty, w których funkcja [math]f[/math] również przyjmuje wartość [math]1.[/math]

Niech [math]r[/math] będzie ustaloną liczbą dodatnią. Wskaż w odległości mniejszej niż [math]r[/math] od punktu [math]P_0=(0,0)[/math] punkty, w których [math]f[/math] przyjmuje wartość [math]-1[/math].

Zdefiniuj funkcję określoną wzorem [math]g(x,y)=3-\sqrt{\left|xy\right|}[/math] i wskaż punkty, w których funkcja [math]g[/math] posiada ekstrema lokalne niewłaściwe. Spróbuj udowodnić postawioną hipotezę.