[size=85]([i]k[/i][sub]1[/sub], [i]k[/i][sub]2[/sub]) és egy pont (O). Szerkesszünk olyan kört, ami illeszkedik az adott pontra és érinti az adott köröket![/size]

[size=85]Egy [i]O[/i] pólusú inverzió esetén a keresett [url=https://www.geogebra.org/m/ybbjdppp#material/xnhfn7bn]kör képe egyenes[/url]. Ez az egyenes érinti az adott két kör inverz képeit. Kényelmi szempontból olyan inverziót választunk, melyre nézve a [i]k[/i][sub]1[/sub] kör invariáns. Kihasználhatjuk még, hogy a geometriai inverzió [url=https://www.geogebra.org/m/ybbjdppp#material/dfyyjpak]szimmetrikus transzformáció[/url]. Ezek alapján a szerkesztés menete:[br][list=1][*][size=85]az inverzió alapköre [math]\Longrightarrow k_0[/math][br][/size][/*][*][size=85][math]k_2[/math] inverze [math]k_0[/math]-ra [math]\Longrightarrow k_2'[/math][br][/size][/*][*][size=85][url=https://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-10-osztaly/a-korokrol-tanultak-ismetlese/ket-kor-kozos-erintoinek-megszerkesztese]közös érintők szerkesztése[/url] [url=https://www.youtube.com/watch?v=z-YxfG42P2M][math]k_1[/math]-hez és [math]k_2'[/math]-hez[/url][/size][/*][*]a 3.-ban kapott érintők inverzei[/*][/list][/size]

[size=85]A megoldások számának vizsgálata nagyon bonyolult. Próbálkozunk minél több esetet vizsgálni, de a teljesség illúziójában nem ringatjuk magunkat.[br][/size][size=85]Ha [i]k[/i][sub]1[/sub] és [i]k[/i][sub]2[/sub] egymáson kívül vannak, és [i]O [/i]mindegyik körnek külső pontja, akkor [u]4 megoldás[/u]. (lásd 1. applet)[br][/size][size=85]Ha [i]k[/i][sub]1[/sub] és [i]k[/i][sub]2[/sub] kívülről érintik egymást, és [i]O [/i]mindegyik körnek külső pontja, akkor [u]3 megoldás[/u].[/size]

[size=85]Ha [i]k[/i][sub]1[/sub] és [i]k[/i][sub]2[/sub] metszik egymást, és [i]O [/i]mindegyik körnek külső pontja, akkor 2[u] megoldás[/u]. (lásd 1. applet)[br]Ha a két adott kör közül az egyeik belsejében van a másik, és az adott pont mindegyiknek külső pontja, akkor [u]mincs megoldás[/u].[br]Ha a körök közül az egyik a másikat belülről érinti, és [i]O [/i]mindegyik körnek külső pontja, akkor [u]1 megoldás[/u].[/size]

[size=85]Ha az adott pont az egyik adott körre illeszkedik, akkor az keresett kör inverz [url=https://www.geogebra.org/m/ybbjdppp#material/nuv3dxgm]képe egyenes[/url]. Ekkor módosul a szerkesztés:[/size]