- mondta az egyszeri ember, amikor életében először meglátott egy zsiráfot az állatkertben.[br]Ez volt a kedvenc mondása egykori tanáromnak és mentoromnak [url=https://www.math.u-szeged.hu/~csakany/]Csákány Bélának[/url], amikor hihetetlennek tűnő dologgal találkozott. [br][br]Ezt mondta akkor is, amikor kezébe vette a - jóval később - Szilassi-poliédernek nevezett geometriai konstrukciót.. Most én kerültem hasonló helyzetbe. Ezt a messze nem szokványos történetet szeretném megosztani olvasóimmal.

bukkantam egy [url=https://www.youtube.com/watch?v=5dd8_N_nKRI]YouTube videóra[/url], majd egy ezzel kapcsolatos weblapra:[br] [url=https://github.com/HackerPoet/NeighborlyPolyhedra]https://github.com/HackerPoet/NeighborlyPolyhedra[/url] [br][br]Mindez röviden arról szól, hogy a szerző arra tesz kísérletet, hogy a tetraéderen és a [url=http://www.math.u-szeged.hu/~csakany/Pdffiles/szilassi.pdf]Szilassi-poliéder[/url]en* kívül keressen olyan közönséges poliédert, amelynek bármely két lapja szomszédos. [br][size=85]* Nem kis szerénytelenséggel, a rövidség, egyértelműség kedvéért én is így hivatkozom erre a konstrukcióra. [br][/size]

Idézzünk fel néhány - reményeink szerint könnyen követhető - [url=https://www.mateking.hu/kozepiskolai-matek-teljes/grafok/minden-amit-a-grafokrol-tudni-erdemes]gráfeméleti, topológiai fogalmat.[/url][br][br][i]Teljes gráf[/i]nak nevezzük azt a [u]véges[/u] gráfot, amelynek bármely két csúcsát pontosan egy él köti össze.[br][i][br]Felületre rajzolható[/i] (feszíthető) az a gráf, amelynek minden [i]éle[/i] (a csúcsait összekötő folytonos vonal) illeszkedik a felületre, úgy, hogy az élek nem metszik egymást.[br] [br]Belátható, hogy az [i]n[/i] csúcsú teljes gráf csak akkor rajzolható a síkra - ezzel egyenértékű módon a gömbre - , ha n≤4 . Így p.l az 5 csúcsú teljes gráf már nem rajzolható a síkba.[br][br]Egyszerűen megfogalmazható, de körültekintő bizonyítást igényel[url=https://www.mateking.hu/matematika-kepletgyujtemeny/euler-fele-polieder-tetel] Euler poliéder-tétele,[/url] miszerint minden síkba rajzolt véges gráfra érvényes az [b]C[/b][i][b]+L-E=2[/b] [/i] összefüggés, ahol C a gráf csúcsainak [i]E[/i] az éleinek [i] L[/i] a lapjainak (tartományainak) a száma, amelyekre a gráf élei felbontják a síkot.[br][br]Ennek a tételnek az általánosítása az un. [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_characteristic]Euler - karakterisztika[/url] fogalma és az erre vonatkozó tétel. Eszerint ha egy irányítható felületre rajzolunk egy [i]C[/i] csúcsú,[i] E[/i] élű és [i]L[/i] tartományú egyszerű, véges gráfot akkor[br][i] [b]C+L-E=2-2k[/b][/i] , ahol [i]k [/i]a felület [i]Euler karakterisztikája,[/i] amely egy adott felületre jellemző szám, amely független attól, hogy éppen hány lapja, csúcsa és éle van az adott felületre rajzolt gráfnak.[br][br]Egy [i]k[/i] Euler karakterisztikájú felületet -topológiai azempontból vizsgált objektumként például úgy állíthatunk elő, hogy a gömbön vágunk[i] k[/i] darab kör alakú lyukat, és ezeket beragasztjuk egy-egy "fogantyúval",amelynek a határvonala ugyancsak kör. Ennek a tételnek az igazolása messze túlmutat a lehetőségeinken, alkalmazása viszont nem.

Vessük fel azt a kérdést, hogy melyek azok a felületek, amelyekre rajzolható teljes gráf.[br][br]Legyen egy ilyen gráfnak C csúcsa, E éle és L tartománya! Egy ilyen tartomány (topológiai értelemben) csak háromszög lehet, hiszen például egy négyszögtartomány átlói metszenék egymást. minden él pontosan két csúcsot köt össze és két tartományt választ el. Ebből : [i]C (C-1)=2E [/i]és [i]3L=2E [/i]Így [br][b]C+C((C-1)/3 - C(C-1)/2 = 2-2k . [/b]Ebben az egyenletben [i]C[/i]-nek és [i]k[/i]-nak egész számnak kell lennie.[br]Ez különböző [i]k[/i] érték esetén egy-egy [i]C-[/i]re nézve másodfokú egyenletet jelent , amiből [br][list][*]Ha [b]k=0 [/b], akkor[b][i] C=4, L=4 , L=6 [/i][/b]- ez a tetraéder gráfja.[br][br][/*][*]Ha [b]k=1,[/b] akkor [b][i]C=7, L=14, E=21 [/i][/b]ez a tóruszra rajzolt teljes gráf. [url=https://acta.bibl.u-szeged.hu/13665/]1949 óta tudjuk[/url], hogy ez a gráf poliéderként is realizálható, ez a [url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5#material/ntchmfa7]Császár poliéder[/url]; [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Heawood_conjecture]1890 óta tudjuk[/url], hogy ennek a gráfnak a duális gráfja, az a tóruszra feszíthető gráf amelynek [i]L=7 [/i]hatszögből álló tartománya , C= 14 olyan csúcsa van, amely mindegyikéből 3 él indul ki, így az éleinek a száma 21. 1977 óta tudjuk azt is, hogy ez a gráf ugyancsak realizálható közönséges poliéderként, ez a [url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5#material/dy6dfdut]Szilassi-poliéder[/url][br][/*][*]Ha [b]1<k<6 [/b] akkor a fenti egyenletből C-re nem kapunk egész értéket, azaz [u]nincs[/u] [i]2, 3, 4[/i] vagy 5 csúcsú zárt, irányított felületre rajzolható teljes gráf.[br][br][/*][*]Ha [b]k=6 [/b], akkor [i]C=12, L=44 , E=66.[/i] Tehát a hat lyukú tóruszra kifeszíthető a 12 csúcsú teljes gráf, vagy ennek a duálisa, amelynek az L=12 lapja 11 oldalú sokszög , C=44 csúcsának mindegyikébe 3 él fut be és E= 66 éle van. [b]De vajon vannak-e ilyen topológiai tulajdonságú közönséges poliéderek?[/b][/*][/list]Ez a kérdés annyira bonyolultnak tűnik, hogy a megválaszolására 2024. decemberéig senki nem tett kísérletet. Most viszont éppen ez a kérdés.

Lényegében olyan [u]közönséges[/u] poliédereket, amelyek bármely két lapja szomszédos.[br][br]Tekintsünk most el sokszög és a poliéder fogalom teljes kiépítésétől, azonban tisztázzuk, mit tekinthetünk "közönséges" poliédernek.[br] [br][i]Közönséges poliéder[/i]nek nevezzük azokat a poliédereket, amelyeket [br][list][*][u]véges sok egyszerű sokszöglap határol[/u], vagyis a sokszög határvonala nem lehet önátmetsző;[/*][*]továbbá bármely két lapjának legfeljebb két közös csúcsa van, és ha pontosan két csúcsuk közös, akkor az ezekhez tartozó szakasz a két - [i]szomszédos[/i]nak nevezett - lap közös éle;[/*][*]a poliéder lapjainak további közös pontjai nincsenek. Sem a sokszög határvonalán, sem a sokszög belső pontjai között. Ez a feltétel biztosítja, hogy maga a poliéderfelület ne legyen önátmetsző. Úgy is fogalmazhatjuk: [u]ne ütközzenek a lapok egymással.[/u] [/*][/list][br]A GeoGebra "ügyel arra" - olykor túlzásnak tűnő precizitással - , hogy a térbeli koordinátákkal adott sokszögeket csak akkor rajzolja meg, ha a sokszög csúcsai valóban egy síkban vannak. Ugyanakkor nem figyeli, hogy a lerajzolt sokszög önátmetsző-e, azt sem, hogy nem ütköznek-e a megjelenített lapok.[br]Ezeket a feltételeket nekünk, a felhasználóknak kell figyelnünk, vagy erre felkészített algoritmussal kielemeznünk, felderítenünk, hogy ezek a feltételek teljesülnek-e.

Ezeket az előzményeket végig követve képet kaphatunk arról, hogy az iménti kérdés mennyire bonyolult.[br]A fenti Yqutube videó lényegében az ilyen 12 egymással páronként szomszédos lapból álló poliéderek kereséséről szól. [br][br]A szerző azzal próbálta egyszerűsíteni a kérdést, hogy olyan poliédert keresett, amelynek három, egymásra páronként merőleges szimmetriasíkja van. Így elegendő volt -lett volna - azt a három sokszöget megkeresni, amelyekből a három szimmetriasíkra vonatkozó tükrözéssel előáll a keresett 12 lapú poliéder. [br][br]A kérdés még ilyen egyszerűsítés mellett is óriási, szerteágazó. Ugyanis addig, a míg a [b]k=1 [/b]Euler-karakterisztikához csak egy kombinatorikus elrendezés tartozhat, addig a [b]k=6[/b]-hoz [b]59[/b]. Vagyis 59 különböző elrendezésű - [i]egymással nem izomorf [/i]- teljes gráf feszíthető rá egy hatlyukú tóruszra. Ezek mindegyikét meg kell(ene) vizsgálni. [br][br]Ez meg is történt. Ha csak egy önátmetsző lap maradt volna, a szimmetria kapcsolatok miatt ez rögtön 4 önátmetsző lapot eredményezett volna a z egész konstrukción. Ugyanígy ha két lap "ütközött" akkor ez is négy lap-pár ütközését jelentette. Már az is szép eredménynek tekinthető, hogy sikerült ütközés mentes, de [u]legalább 8 önátmetszés[/u]t tartalmazó, vagy önátmetszés mentes, de [u]legalább nyolc ütközés[/u]t tartalmazó változatokat találni. Erről szó a videó.[br][br]Végül a szerző megpróbálkozott azzal, hogy csak egyetlen tengelyes szimmetriát szabott ki kezdő feltételként, így sikerült találnia egy olyan poliédert, amelynek lényegében egy (a tengelyes szimmetria miatt kettő) önátmetsző lapja van, és a lapok között nincs ütközés.[br][br]Ezt az eredményt itt közölte: [br]https://github.com/HackerPoet/NeighborlyPolyhedra/issues/3[br][br]Ennek a felhasználásával készült - [url=https://www.geogebra.org/m/pnq4u4kh]az itt részletezett módon[/url] - az alábbi GeoGebra applet.

Az applet egy olyan tizenkét lapú poliédert - mondhatnánk: dodekaédert - mutat be, amelyben [b]bármely két lapnak pontosan egy közös éle van.[/b] [br][br]Házi használatra nevezzük az így kapott konstrukciót [b]N[/b]-dodekaédernek. Az N betű jelenthetné a [b]N[/b]em ismert, [b]N[/b]ehéz , [b]N[/b]eighbouring (szomszédos) szavakra is. [br][br]Az alakzat tengelyesen szimmetrikus, ezért az egymással egybevágó lapokat azonos színnel jelöltük.[br]A lapok láthatósága egyenként ki-be kapcsolható. Javasoljuk olvasóinknak, hogy a lapokat az önátmetszést vizsgálva egyenként, az ütközésmentességet ellenőrizve néhányat vegyenek szemügyre egyszerre.

[list][*]az [b]5.[/b][color=#333333] és[/color][color=#ff00ff] [b]6[/b]. [/color][color=#333333]lap[/color][color=#ff00ff] [/color]önátmetsző;[/*][*]ha megjelenítjük a poliéder csúcsait, lehetőségünk nyílik szemügyre venni a két [color=#ff0000]nem kívánt[/color] önátmetsző pontot;[/*][*]bár a [b][color=#a4c2f4]4.[/color] [/b]és [color=#ff00ff][b]5.[/b] [/color]lap közös éle másutt van, ezeknek van két olyan élük, amelyek metszik egymást. Ugyanez a [b][color=#76a5af]3.[/color][/b] és [color=#ff00ff][b]6.[/b][/color] lapnál is így van. Ez is az egyetlen[color=#ff0000] hiba [/color] következménye.[/*][/list][br]Az applet lehetőséget nyújt arra, hogy változtassunk a konstrukció adatain. Ezt e lehetőséget bekapcsolva megjelenik hat pont beviteli mezője. E pontok a konstrukció duális alakzatának a csúcsai. Ha egy ilyen duális pont [b]P=(a,b,c)[/b], akkor - jelen esetben - az [b] a x +b y +c z =100 [/b]egyenlettel adható meg a konstrukció egy adott lapjának a síkja. Akik -netán - érdekelnek a fenti applet matematikai és technikai részletei ehhez, [url=https://www.geogebra.org/m/pnq4u4kh]itt talál némi segítséget[/url]. [br][br]Bár elvileg ezen az úton (talán) ki lehetne küszöbölni az egyetlen nem kívánt anomáliát, ez a lehetőség inkább annak a bemutatására szolgál, hogy mennyire "éles" ez az eredmény. Figyeljük meg, hogy az adatokat kicsit megváltoztatva mennyire össze tud kuszálódni a konstrukció. [br][br]Bízzunk benne, hogy egyszer a matematika állatkertjében mégis megpillanthatjuk majd az igazi zsiráfot.