Determine el plano que contiene a la intersección de los planos [br]P1: x+y-z=1 y P2: 2x-y+z=2 y pasa por el punto P(2,-1,1).[br][br]P1: A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1=0 [br]P2: A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0[br][br]P1 + kP2 = 0[br]x + y– z – 1 + k (2x – y + z – 2) = 0[br][br]El punto P(2,-1,1) pertenece a la intersección de los planos, por[br]lo que los valores del punto se remplazan para encontrar el valor de k :[br]2 - 1 – 1 – 1 + k (4 + 1 + 1 – 2)= 0[br]-1 + k (4) = 0[br]-1 + 4k = 0[br]-1 = - 4k[br]K =1/4[br][br][br]Sustituir valor de K en la ecuación de la intersección de los planos:[br]x +y – z – 1 + 1/4 (2x – y + z – 2) = 0[br][br]Simplificar la ecuación del plano: [br]4x+ 4y – 4z – 4 + 2x – y + z – 2 = 0[br][u]6x + 3y – 3z – 6 = 0[/u][br]P: 6x + 3y - 3z = 6
Obtener una ecuación paramétrica de la recta de intersección de los pares de planos cuyas ecuaciones son:[br]P1: 2x – y + 3z = -1; [br]P2: 5x + 4y – z = 17[br][br]P (punto de intersección)ϵ P1 ⌃ P2[br]-> Formar sistema de ecuaciones con ecuaciones de los planos:[br]2x – y + 3z = -1[br]5x + 4y – z = 17[br][br]->Resolver el sistema: [br](4)2x – y + 3z = -1[br] 5x + 4y – z = 17[br][br][br] 8x - 4y + 12z = -4[br] 5x + 4y – z = 17[br] ____________________[br] 13x +11z = 13[br][br]->Hacer x = 1[br]13(1)+ 11z = 13[br]13+ 11z = 13[br]11z= 13-13[br]z =0[br][br]->Reemplazar x y z en P1 para obtener y.[br]2(1) – y + 3(0) = -1[br]2 –y + 0 = -1[br]-y = - 1 – 2[br]y = 3[br][br][u]P ( 1 , 3 , 0 ) [/u]punto de intersección[br][br]-> Hacer producto cruz de los vectores dados para obtener el vector director de la recta.[br]V= v1 x v2[br]V=(-11 , 17 , 13)[br][br]->Sustituir el vector director y punto de intersección:[br] x= 1-11t[br]L= y= 3+17t[br] z= 13t[br]
En los ejercicios 1-6, encuentre las coordenadas del punto S de intersección de la recta y el plano cuyas ecuaciones se dan:[br][br](x-1)/1=(y+2)/2=(z-3)/4 x+4y-z+5=0.[br][br]Ecuación simétrica:[br](x-1)/1=(y+2)/2=(z-3)/4[br][br]Ecuación paramétrica:[br]x+4y-z+5=0[br][br]Observe primero que, de los números directores dados de la recta y de la ecuación dada del plano. Se deduce que la recta no es paralela al plano. Es decir:[br][br](1,2,4)•(1,4,-1)=1+8-4≠0[br][br]x-1)/1=(y+2)/2=(z-3)/4 [br][br]Despeje a x en (x-1)/1=(y+2)/2 en función de y para obtener x=(y+2)/2+1; Despéjese a z en (y+2)/2=(z-3)/4 en función de y para obtener z=2y+7.Estas ecuaciones establecen la relación que existen entre ‘x’ y ‘y’ para todo punto U(x,y,z) de la recta. En particular, se cumplen para el punto S de intersección de la recta y el plano.[br][br]Al sustituir los valores (y+2)/2+1 y 2y+7 de x y z respetivamente en las ecuaciones del plano se obtiene[br][br]–(y+2)/2+1+4y-(2y+7)=-5[br][br]–(y+2)/2+1+4y-2y-7=-5[br][br]–(y+2)/2+2y=1[br][br]–y=0[br][br]Finalmente sustituyendo a y por 0 en las ecuaciones x=(y+2)/2+1 y z=2y+7, se obtiene x=2 y z=7. Por lo tanto el punto S(2, 0, 7) es el único punto que esta tanto sobre la recta como el plano, y se puede verificar estas coordenadas que satisfacen las ecuaciones dadas. Por consiguiente el punto [u]S(2,0,7)[/u] es el único punto de intersección.[br]
[size=85][size=100]Calcule la distancia del punto dado S de la recta cuyas ecuaciones se dan. (2)[br]S(2,3,1); x/-1=y-2/-2= z+1/2[br][br]1.-Obtener la ecuación vectorial. [br] L:{ (0, 2, -1) , t (-1, -2, 2)[br][br]2.-Obtener el vector dirección [br] v= (-1, -2, 2)[br][/size][/size][br][br]3.-Hallar un punto en la recta [br] p= (-t, 2 - 2t, -1 +2t)[br][br][br]4.-Restar S al punto de la recta obtenido (p)[br] d= (-t, 2-2t, -1+2t) - (2, 3, 1)[br] d= (-2-t, -1-2t, -2+2t)[br][br]5.-Multiplicar el vector dirección por el vector d, igualando a 0 ya que la distancia debe ser la mínima y ésta se encuentra cuando son perpendiculares[br][br] (-1, -2, 2) • (-2-t, -1-2t, -2+2t) = 0[br] 2+t+2+4t -4+4t=0[br] 9t=0[br] t=0[br][br]6.-Sustituir t en el vector d[br] d= (-2-(0), -1-2(0), -2+2(0))[br] d= (-2, -1, -2)[br][br]7.- Obtener el módulo de d[br] ||d||= √(-2)²+(-1)²+(-2)²[br] ||d||=√ 9[br] ||d||=3[br]
Realizado por:[br] * Vargas Ramírez Eduardo[br] * Rojas Juárez César[br] * Cortes Sánchez Erika Daniela[br][br][br]
Determine el plano que contiene a la intersección de los planos [br]P1: x+y-z=1 y P2: 2x-y+z=2 y pasa por el punto P(2,-1,1).[br][br]P1: A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1=0 [br]P2: A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0[br][br]P1 + kP2 = 0[br]x + y– z – 1 + k (2x – y + z – 2) = 0[br][br]El punto P(2,-1,1) pertenece a la intersección de los planos, por[br]lo que los valores del punto se remplazan para encontrar el valor de k :[br]2 - 1 – 1 – 1 + k (4 + 1 + 1 – 2)= 0[br]-1 + k (4) = 0[br]-1 + 4k = 0[br]-1 = - 4k[br]K =1/4[br][br][br]Sustituir valor de K en la ecuación de la intersección de los planos:[br]x +y – z – 1 + 1/4 (2x – y + z – 2) = 0[br][br]Simplificar la ecuación del plano: [br]4x+ 4y – 4z – 4 + 2x – y + z – 2 = 0[br][u]6x + 3y – 3z – 6 = 0[/u][br]P: 6x + 3y - 3z = 6
Determine el plano que contiene a la intersección de los planos [br]P1: x+y-z=1 y P2: 2x-y+z=2 y pasa por el punto P(2,-1,1).[br][br]P1: A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1=0 [br]P2: A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0[br][br]P1 + kP2 = 0[br]x + y– z – 1 + k (2x – y + z – 2) = 0[br][br]El punto P(2,-1,1) pertenece a la intersección de los planos, por[br]lo que los valores del punto se remplazan para encontrar el valor de k :[br]2 - 1 – 1 – 1 + k (4 + 1 + 1 – 2)= 0[br]-1 + k (4) = 0[br]-1 + 4k = 0[br]-1 = - 4k[br]K =1/4[br][br][br]Sustituir valor de K en la ecuación de la intersección de los planos:[br]x +y – z – 1 + 1/4 (2x – y + z – 2) = 0[br][br]Simplificar la ecuación del plano: [br]4x+ 4y – 4z – 4 + 2x – y + z – 2 = 0[br][u]6x + 3y – 3z – 6 = 0[/u][br]P: 6x + 3y - 3z = 6
Determine el plano que contiene a la intersección de los planos [br]P1: x+y-z=1 y P2: 2x-y+z=2 y pasa por el punto P(2,-1,1).[br][br]P1: A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1=0 [br]P2: A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0[br][br]P1 + kP2 = 0[br]x + y– z – 1 + k (2x – y + z – 2) = 0[br][br]El punto P(2,-1,1) pertenece a la intersección de los planos, por[br]lo que los valores del punto se remplazan para encontrar el valor de k :[br]2 - 1 – 1 – 1 + k (4 + 1 + 1 – 2)= 0[br]-1 + k (4) = 0[br]-1 + 4k = 0[br]-1 = - 4k[br]K =1/4[br][br][br]Sustituir valor de K en la ecuación de la intersección de los planos:[br]x +y – z – 1 + 1/4 (2x – y + z – 2) = 0[br][br]Simplificar la ecuación del plano: [br]4x+ 4y – 4z – 4 + 2x – y + z – 2 = 0[br][u]6x + 3y – 3z – 6 = 0[/u][br]P: 6x + 3y - 3z = 6