[b]Definition des Vektorprodukts[/b][br]Unter dem [b]Vektorprodukt [math]\vec{a} \times \vec{b}[/math] [/b][i](sprich: a kreuz b)[/i] zweier Vektoren [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math] versteht man den Vektor [math]\vec{c}[/math] mit folgenden Eigenschaften:[list=1][*][math]\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}[/math] steht normal sowohl zu [math]\vec{a}[/math] als auch zu [math] \vec{b}[/math].[/*][*][math]| \vec{c} | = | \vec{a} \times \vec{b} |[/math] gibt den Flächeninhalt des von den Vektoren [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math] aufgespannten Parallelogramms an.[/*][*]Die Vektoren [math]\vec{a}[/math] , [math]\vec{b}[/math] und [math]\vec{c}[/math] bilden in dieser Reihenfolge ein [b]rechtshändiges System[/b].[/*][/list][size=85](Bleier, G. u. a. : Dimensionen Mathematik 6. E. Dorner: Wien 2018.)[/size]

Aus den in der Definition formulierten Eigenschaften des Vektorprodukts (Kreuzprodukt) kann eine Formel zur Berechnung angeleitet werden.[br][br]Sei [math]\vec{a} = \left( \begin{array} {c c c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)[/math], [math]\vec{b} = \left( \begin{array} {c c c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)[/math] und [math]\vec{c} = \left( \begin{array} {c c c} x_c \\ y_c \\ z_c \end{array} \right)[/math][br][br]Aus Punkt (1) der Definition folgt [br] [math]\vec{a} \perp \vec{c}\quad\Rightarrow\quad \vec{a} \cdot \vec{c} = 0\quad \quad \Rightarrow\quad {x_a\cdot x_c+y_a\cdot y_c+z_a\cdot z_c=0[/math][br] [math]\vec{b} \perp \vec{c}\quad \Rightarrow\quad \vec{b} \cdot \vec{c} = 0\quad \quad \Rightarrow\quad x_b\cdot x_c+y_b\cdot y_c+z_b\cdot z_c=0[/math][br][br]Aus Punkt (2) der Definition folgt mit der Flächenformel in Vektorform [math]A_# = \sqrt{\vec{a}^2 \cdot \vec{b}^2 -\left( \vec{a} \cdot \vec{b} \right)^2}[/math][br] [math]\sqrt{x_c^2+y_c^2+z_c^2} = \sqrt{\vec{a}^2 \cdot \vec{b}^2 -\left( \vec{a} \cdot \vec{b} \right)^2}[/math][br][br]Aus diesen drei Gleichungen kann das Vektorprodukt berechnet werden, indem das Gleichungssystem nach x[sub]c[/sub], y[sub]c[/sub] und z[sub]c[/sub] gelöst wird.

Aus den beiden Lösungen des Gleichungssystems ergibt sich aufgrund des [b]Rechtssystems[/b] - siehe Definition Punkt (3) - folgende Formel für das [br][br][b]Vektorprodukt (Kreuprodukt) zweier Vektoren [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math] im [math]\mathbb{R}^3[/math][/b][br][center] [math]\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array} {c c c} y_a·z_b - y_b·z_a \\ -(x_a·z_b - x_b·z_a) \\ x_a·y_b - x_b·y_a \end{array} \right)[/math][/center]