Función Cuadrática
Secuencia de aprendizaje Función Cuadrática, indagación.
Tabla de Contenidos
- Indagación
- Exploración Función Cuadrática
- Fórmulas
- Fórmulas Función Cuadrática
- Consolidación
- Consolidación
- Ejercitación
- Ejercitación Función Cuadrática
Exploración Función Cuadrática
Exploración
A continuación utilice el recurso moviendo los deslizador y apretando los botones. Luego responda:
¿Qué ocurre cuando mueve cada deslizador?
De acuerdo a su respuesta anterior, la curva en celeste ¿corresponde a una función? ¿por qué?
¿Tiene algo especial el punto azul? Si es así, ¿qué tiene de especial?
¿Tiene algo de especial el punto verde? Si es así, ¿qué tiene de especial?
¿Tienen algo de especial los puntos rojos? Si es así, ¿qué tienen de especial?
Los puntos rojos, ¿siempre son dos? Si no es así ¿cuándo no son dos?
¿Qué entiende por función?
¿Qué muestra cada botón?
Fórmulas Función Cuadrática
Descubriendo Fórmulas
Utilice el recurso para responder las siguientes preguntas:
Exploración
Explique qué sucede con la gráfica cuando mueve el deslizador "c".
Explique qué sucede con la gráfica cuando mueve el deslizador "b".
Explique qué sucede con la gráfica cuando mueve el deslizador "a".
¿Qué deslizador le parece más interesante? ¿Por qué?
¿Qué muestra cada botón? ¿Qué nombre le daría a cada elemento?
Fórmulas
Mueva los deslizadores y observe cómo cambia el texto en naranja. ¿Cómo escribiría f(x) con "a", "b" y "c"?
¿Cuándo cambian los textos en rojo? ¿Qué cree que representa cada uno?
¿Cómo escribiría "V" y "x" en términos de "a", "b" y/o "c"?
¿Qué representan "A" y "B"?
Observe el texto en azul ("A" y "B"). ¿Cuándo son iguales? y ¿Cuándo son (?,?) ?
Consolidación
1. Definición
Una función cuadrática es toda función de la forma:[br][br][math]\text{f(x)=ax^2+bx+c}[/math][br][br]donde:[br]- [math]a,b,c[/math] son números reales,[br]- [math]a[/math]determina la concavidad y la "apertura" de la parábola,[br]- [math]b[/math] influye en la posición del vértice y el eje de simetría,[br]- [math]c[/math] corresponde a la intersección con el eje [math]y[/math].[br]
2. Gráfica
La gráfica de una función cuadrática es una [b]parábola[/b].[br]
La parábola es [b]cóncava hacia arriba c[/b]uando:
La parábola es [b]cóncava hacia abajo c[/b]uando:
¿Qué pasa con la gráfica cuando [math]a=0[/math]?
3. Eje de simetría
Recta vertical que pasa por el vértice:[br][br][size=150][math]x=\frac{-b}{2a}[/math][/size]
4. Vértice
Punto donde la parábola alcanza su valor máximo o mínimo:[br][br][math]V\left(\frac{-b}{2a},f\left(\frac{-b}{2a}\right)\right)[/math]
El vértice representa el [b]valor mínimo[/b] de la función si:
El vértice representa el [b]valor máximo[/b] de la función si:
5. Intersección con el eje y
Es el punto
6. Raíces o ceros de la función
Son los valores de [math]x[/math] que hacen [math]f(x)=0[/math]. Se calculan con la fórmula cuadrática:[br][br][math]x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math][br][br]Corresponden a las intersecciones de la gráfica con el eje [math]x[/math].
Hay [b]dos raíces reales[/b] distintas si:
[b]No hay raíces reales[/b] si:
Hay[b] una raíz real[/b] si:
7. Dominio y recorrido
- Dominio: [math]\mathbb{R}[/math] (todos los números reales)[br]- Recorrido: depende de la concavidad[br] - Si [math]a>0[/math]: [math]\left[f\left(-\frac{b}{2a}\right),\infty\right][/math][br] - Si [math]a<0[/math]: [math]\left[-\infty,f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right][/math]
Ejercitación Función Cuadrática
Problema 1: El salto del deportista
Un atleta lanza una pelota al aire y la altura (en metros) en función del tiempo (en segundos) se modela por:[br][size=150][br][math]\text{h(t)=−5t^2+20t}[/math][br][br]Grafique la función moviendo los deslizadores y responda:[br][/size]
¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?
¿En qué instante ocurre?
¿Cuánto tiempo tarda en volver al suelo?
Problema 2: Maximizar ganancias en un negocio
Un productor vende entradas para un evento. Su ganancia (en miles de pesos) en función del número de entradas vendidas x se modela por:[br][br][math]\text{G(x)=−2x^2+40x}[/math][br][br]Grafique la función moviendo los deslizadores y responda:
¿Cuántas entradas debe vender para maximizar la ganancia?
¿Cuál es la ganancia máxima posible?
¿Qué pasa si vende más entradas que el valor del vértice?
Problema 3: El diseño de un arco parabólico
Un arquitecto diseña un arco parabólico cuya forma está dada por la función:[br][br][math]\text{y=−x^2+6x}[/math][br][br]Grafique la función utilizando los deslizadores y responda:
¿Cuál es la altura máxima del arco?
¿A qué distancia entre los extremos se encuentra el arco (ancho en la base)?
Si el arquitecto quisiera que el arco fuera más alto, ¿qué parámetro debería modificar: a, b o c?