Aufgabe 3: Kreis und Trapeze

[size=150]Der obere Halbkreis ist als Linie gesehen der Graph der Funktion [math]f_1\left(x\right)=\sqrt{1-x^2}[/math] über dem Intervall [-1, 1].[br] Bei der Fläche geht es dann um den Bereich zwischen diesem Graphen und der x-Achse. [br][br]Der untere Halbkreis wird entsprechend durch [math]f_2\left(x\right)=-\sqrt{1-x^2}[/math]  beschrieben.[br]Wir unterteilen nun das Intervall [-1, 1] in k gleichgroße Teile und erhalten für den Vollkreis [b]n = 2k[/b] Sehnentrapeze (k Sehnentrapeze für den oberen Halbkreis, etwas hervorgehoben, und k für den unteren) bzw. einen Polygonzug aus n = 2k Sehnen. [br]Mit dem Schieberegler k kann nun die Anzahl dieser Streifen verändert werden. [/size]
[size=150][list=a][*]Notiere in einer Tabelle die Flächeninhalte für k = 2, 10, 50, 250, 500, 1000 (also n = 4, 20, 100, …)  und beobachte, wie sich die Werte stabilisieren. Wie lautet der auf den ersten drei Dezimalstellen stabile Wert? [br][table][tr][td]k[/td][td] 2 [/td][td] 10[/td][td] 50[/td][td] 250[/td][td] 500 [/td][td] 1000[/td][/tr][tr][td]n[/td][td] 4 [/td][td] 20 [/td][td] 100 [/td][td] 500 [/td][td] 1000 [/td][td] 2000 [/td][/tr][tr][td]Flächeninhalt Trapezsumme [/td][td] [br][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][/tr][/table][/*][*]Vergleiche dies mit den Ergebnissen aus Aufgabe 2. [/*][*]GeoGebra liefert uns auch den Umfang des jeweiligen einbeschriebenen Vielecks. [br]Notiere in einer Tabelle die Umfänge für k = 2, 10, 50, 250, 500, 1000 und beobachte, wie sich die Werte stabilisieren.[br]Wie lautet der auf den ersten zwei Dezimalstellen stabile Wert? [br][table][tr][td]k[/td][td] 2 [/td][td] 10 [/td][td] 50 [/td][td] 250 [/td][td] 500 [/td][td] 1000  [/td][/tr][tr][td]n[/td][td] 4[/td][td] 20[/td][td] 100[/td][td] 500 [/td][td] 1000 [/td][td] 2000 [/td][/tr][tr][td]Länge Sehnenpolygon [/td][td] [/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][/tr][/table][/*][*]Vergleiche dies mit den Ergebnissen aus Aufgabe 2. [/*][/list][/size]
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– H.-J. Elschenbroich. GeoGebra Institut NRW

Information: Aufgabe 3: Kreis und Trapeze